湖南省长沙市2013届高三高考模拟数学(理)试题 Word版含答案

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科目:数学(理科)
(试题卷)
注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该 试题卷的封面上,并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。 2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿 纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。 3. 本试题卷共 5 页。如缺页,考生须及时报告监考老师,否则 后果自负。 4. 考试结束后,将本试题卷和答题一并交回。





准考证号

1

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绝密★启用前

高考湘军

2013 年长沙市高考模拟试卷(一)

数 学(理科)
长沙市教科院组织名优教师联合命制 满分:150 分 时量:120 分钟

说明:本卷为试题卷,要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知 z 是复数,i 是虚数单位, ? 1 ? i ? z 在复平面中对应的点为 P,若 P 对应的复数是模 等于 2 的负实数,那么 z ? A. ? 1 ? i B. ? 1 ? i 2.已知不等式
ma a
7

C. 1 ? i
? b x
2

D. ? i
)
6

x ? 2 ax ? b

? 0

的解集为 ? ? 1, 2 ? , m 是二项式 ( a x

的展开式的常数项,那么

? 2b

7

?

A. ? 15 3.以双曲线
x
2

B. ? 5
? y
2

C. ? 5 a

D. 5

?1

x 的离心率为首项,以函数 f ? x ? ? 4 ? 2 的零点为公比的等比数列

4

5

的前 n 项的和 S n ? A. 3 ? ? 2 n
? 1? ? 3 2

B. 3 ?

3 2
n

C.

2

n ?1

? 3

2 3

D.

4 3

?

2

n

3

4.已知几何体 M 的正视图是一个面积为 2 ? 的半圆,俯视图是正三角形,那么这个几何体 的表面积和体积为
正 视

A.6 ? 和

4 3

3

?
3 3

B.6 ? +4 3 和 8
3

3

?

侧 视 图



C.6 ? +4 3 和 4

?

D.4( ? + 3 )和 4
3

3

?

俯 视 图 结束 输出 s

5.执行下列的程序框图,输出的 s ?
开始

S=0

i=1

a=100- (i MOD 100) B.10100

s=s+a C.5050

i=i+1 D.4950

i >200?




A.9900 6.与抛物线 y
2

? 8 x 相切倾斜角为 135
2

0

的直线 L 与 x 轴和 y 轴的交点分别是 A 和 B,那么

过 A、B 两点的最小圆截抛物线 y

? 8 x 的准线所得的弦长为

2

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A.4

B.2 2

C.2

D. 2

7.已知直线 l 与平面 ? 平行,P 是直线 l 上的一点,平面 ? 内的动点 B 满足:PB 与直线 l 成 60 。那么 B 点轨迹是
0

A..双曲线 8.使得函数 f ? x ? ?
1 5

B.椭圆
x
2

C.抛物线
7 5

D.两直线

?

4 5

x ?

?a

? x ? b ? 的值域为 ? a , b ?? a ? b ? 的实数对 ? a , b ?

有( )对 A.1 B.2 C.3 D.无数 二.填空题:(每大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中 的横线上)选做题(从 13 题、14 题和 15 题中选两题作答,全做则按前两题记分) 9.G ? x ? 表示函数 y ? 2 cos x ? 3 的导数,在区间 ? ?
? ?

?
3

,?

? ? ?

上,随机取值 a , G ? a ? ? 1 的概率




? ? ?x | a ? ? b

10.已知向量 a ? ? x , y ? , b ? ? x ? 2 ,1 ? ,设集合 P
x ? P ? Q 时, y 的取值范围是

?, Q ? ? x | b

?

?

5

? ,当



11.计算:

? 1? x ?

2?

2

?

1? _____________; ? dx ? x?

12.从正方体的各表面对角线中随机取两条,这两条表面对角线成的角的度数的数学期望 为 ;

13. (极坐标和参数方程 4-4)极坐标系中,质点 P 自极点出发作直线运动到达圆:
? ? 4 cos ? ? 0 的圆心位置后顺时针方向旋转 60 后直线方向到达圆周 ? ? 4 cos ? ? 0
o

上,此时 P 点的极坐标为

; P E A C O1 ; ,那么 ( x ?
1 4y

B

14. (几何证明 4-1)已知⊙O1 和⊙O2 交于点 C 和 D, ⊙O1 上的点 P 处的切线交⊙O2 于 A、B 点,交直 线 CD 于点 E,M 是⊙O2 上的一点,若 PE=2, EA=1, ? AMB=30o,那么⊙O2 的半径为 15.(不等式 4-5)已知 x 最小值为 16. 方程
x
2

O2 D M

? 0, y ? 0, z ? 0, x ? 2 y ? 3 z ? 3

) ? (2 y ?
2

1 6z

) ? (3 z ?
2

1 2x

)

2




y b
2

+

=1( a , b ? {1, 3, …, 2, 4, 2013})的曲线中, 所有圆面积的和等于 .



a

离心率最小的椭圆方程为

3

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三、解答题: (前三题各 12 分,后三道题各 13 分,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤) 17.函数 f ? x ? ? 6 cos
2

?x
2

?

3 sin ? x ? 3 ?? ? 0 ? 在一个周期内的图像如

图所示,A 为图像的最高点,B.C 为图像与 x 轴的交点,且 ? ABC 为正三角 形. (1)若 x ? ?0 ,1 ? ,求函数 f ? x ? 的值域; (2)若 f ? x 0 ? ?
8 5 3

,且 x 0

? 10 2 ? ? ?? , ? 3 3? ?

,求 f ? x 0 ? 1 ? 的值.

18.如图一,△ ABC 是正三角形,△ ABD 是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ ABD 沿边 AB 折起, 使得△ ABD 与△ ABC 成 30o 的二面角 D ? AB ? C ,如图二,在二面角 D ? AB ? C 中. (1) 求 D、C 之间的距离; (2) 求 CD 与面 ABC 所成的角的大小; (3) 求证:对于 AD 上任意点 H,CH 不与面 ABD 垂直。 A A

C D B
图二

C

B
图一

D

19.某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定 对这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为 x 元/千克,政府补贴为 t 元/千克,根据市场调查,当 16 ? x ? 24 时,这种食品市场日供应量 p 万千克与市场日 需 量 q 万 千 克 近 似 地 满 足 关 系 :
q ? 2 4 ? 8 ln 20 x , ?1 6 ? x ? 2 4 ?

p ? 2

?x ?

4t ? 14 ? , ? x ? 16, t ? 0 ?



。当 p ? q 市场价格称为市场平衡价格。

(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域; (2)为使市场平衡价格不高于每千克 20 元,政府补贴至少为每千克多少元?

4

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(a ? 5) x ? b x ?1

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20.设命题 p:函数 f ? x ? ?

在 ? 0 , ?? ? 上是增函数;命题 q:方程 x 2

? ax ? b ? 2 ? 0



两个不相等的负实数根。求使得 p ? q 是真命题的实数对 ? a , b ? 为坐标的点的轨迹图形及其 面积。

21.已知 A ( , 0 ) ,点 B 是 y 轴上的动点,过 B 作 AB 的垂线 l 交 x 轴于点 Q,若
4

1

AP ? AQ ? 2 AB , M ? 4 , 0 ? .

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)是否存在定直线 x ? a ,以 PM 为直径的圆与直线 x ? a 的相交弦长为定值,若存在, 求出定直线方程;若不存在,请说明理由。 B Q O A x y

5

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22.(1)已知 a ? b ? c ? 1, a , b , c ? ? 0 , ?? ? ,求证: a log

3

a ? b log

3

b ? c log

3

c ? ?1 ;

(2)已知 a 1 ? a 2 ? ? ? a 3 ? 1 , a i >0(i=1,2,3,…,3n),求证:
n

a 1 log

3

a 1 + a 2 log

3

a 2 + a 3 log

3

a 3 +…+ a 3 n log

3

a

3

n

? ?n

6

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2013 年长沙市高考数学模拟试卷 (一)

数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)

题号 答案

1 A

2 D

3 B

4 C

5 B

6 C

7 A

8 B

二.填空题:(每大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中 的横线上) 9.
7 8 5? 6

10. )
x
2

(-8,1] 14. 3
y
2

11.

7 3

? ln 2

12. 60
27 4

0

13. (2 3 ,

15.
x
2

16. 2027091 ? ;

+

=1 和

+

y

2

=1,

2012

2013

2013

2012

三、解答题: (前三题各 12 分,后三道题各 13 分,满分 75 分。解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤) 17.解(1)由已知得: f ? x ? ?
3 cos ? x ? 3 sin ? x ? 2

? ? ? 3 sin ? ? x ? ? 3 ? ?

又 ? ABC 为 正 三 角 形 , 且 高 为 2 3 , 则 BC=4. 所 以 函 数 f ? x ? 的 最 小 正 周 期 为 8, 即
2?

?

? 8, ? ?

?
4

, f ?x ? ?

2

? ? ?? 3 sin ? x ? ? 3 ? ? 4

.
,3 ? f ? x ? ? 2 3

因为 x ? ?0 ,1 ? ,所以 ?
3

?

?
4

x ?

?
3

?

7? 12

.

函数 f ? x ? 的值域为 ?3 , 2 3 ? ………………………6 分 (2)因为 f ? x 0 ? ? 由 x0 ? (
? 10
8 5 3

,有

f (x0 ) ? 2

3 sin (

?x0
4

?

?
3

) ?

8 5

3



即 s i n(

?x0
4

?

?
3

) ?

4 5

?x 0 2 ? ? ? , ),得 ( ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2
(

所以, 即 cos

?x0
4

?

?
3

) ?

1? (

4 5

)

2

?

3 5

故 f ( x 0 ? 1) ?

2

3 sin (

?x0
4

?

?
4

?

?
3

) ? 2

3 sin[ (

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

? 2

3 [sin ( 4 5

?x0
4

?

?
3

) cos 2 2

?
4

? cos(

?x0
4

?

?
3

) sin

?
4

? 2

3(

?

2 2

?

3 5

?

)

?

7 5

6

………………………………………………12 分

7

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18. 解: 依题意,? ABD=90o ,建立如图的坐标系使得△ ABC 在 yoz 平面上,? △ ABD 与 △ ABC 成 30o 的二面角, ? ? DBY=30o,又 AB=BD=2, ? A(0,0,2),B(0,0,0), C(0, 3 ,1),D(1, 3 ,0), (1)|CD|= (1 ? 0 ) ? ( 3 ?
2

3 ) ? ( 0 ? 1) =
2 2

2 ……… 5 分

z

A (2)? x 轴与面 ABC 垂直,故(1,0,0)是面 ABC 的一个法向量。 设 CD 与面 ABC 成的角为 ? ,而 CD = (1,0,-1), C
?

sin ? =
2

| (1, 0 , 0 ) ? (1, 0 , ? 1 ) | 1 ? 0 ? 0
2 2

=
2

2 2

1 ? 0 ? ( ? 1)
2 2

B D

y

? ? ?

[0,

?
2

],? ? =

?
4

;…………………8 分

x

(3) 设 AH =t AD = t(1, 3 ,-2)= (t, 3 t,-2 t),
CH = CA + AH =(0,3 ,1) +(t, 3 t,-2 t) = (t, 3 t3 ,-2 t+1),

若 CH ? BA ,则 (t, 3 t- 3 ,-2 t+1)· (0,0,2)=0 得 t=
1 2
3 2

1 2

, ……………10 分

此时 CH =(

,-

,0),
1 2 3 2
20 x

BD 而 BD =(1, 3 ,0), CH · =

-

=-1 ? 0,? CH 和 BD 不垂直,

即 CH 不可能同时垂直 BD 和 BA,即 CH 不与面 ABD 垂直。…………………12 分 19. 解: (1)由 P=Q 得 2(x + 4t -14 )= 24+8ln t=
?

(16≤x≤24 ,t>0) 。 …………………3 分

13 2

-

1 4 1 x

x+ ln

20 x

(16≤x≤24) 。

t′=-

1 4

<0,? t 是 x 的减函数。 1 4
? ?

?

tmin=

13 2

24+ ln

20 24

= =
5 2 20 x

1 2

+ln + ln

20 24 5 4

=

1 2

+ ln

5 6

;
1 2

……………………5 分 + ln
5 6

tmax=

13 2

-

1 4

16+ ln 1 4

20 16

, ? 值域为[



5 2

+ ln

5 4

]

………7 分

(2)由(1) t=

13 2

x+ ln
13 2

(16≤x≤24) 。
?

而 x=20 时,t=

-

1 4

20 + ln

20 20

=1.5(元/千克)

…………………9 分

? t 是 x 的减函数。欲使 x ? 20,必须 t ? 1.5(元/千克)

要使市场平衡价格不高于每千克 20 元,政府补贴至少为 1.5 元/千克。……12 分 20. 解:? f(x) =
(a ? 5) x ? b x ?1

,p 真 ? f ′(x)=

a ? 5? b ( x ? 1)
2

>0

8

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对于 x ? (0,+ ? )成立 ? a-b+5>0。
?a ? 0 ? q 真 ? 方程 x2-ax+b-2=0 有两个不相等的负实数根 ? ? b ? 2 ? 0 …………4 分 ? 2 ?a ? 4b ? 8 ? 0

?a ? 0 ? ?b ? 2 ? 0 ? q 是真命题 ? p 真且 q 真 ? ? p a ? b ? 5 ? 0 ? ?a 2 ? 4b ? 8 ? 0 ?

b

P A B o a

实数对(a,b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分, 不包括边界。) ……………8 分 解: ?
?a ? b ? 5 ? 0 ?a
2

? 4b ? 8 ? 0

得 a1= -2,a2= 6, 解 ?

?a ? b ? 5 ? 0 ?b ? 2

得 a= -3;

? (a,b)为坐标的点的轨迹图形的面积:

S= ? ( a ? 5 ? 2 ) da + ? (
?3

?2

0

a

2

?2

4
7 6

? 2 ? 2 ) da = ?

?2 ?3

( a ? 3 ) da + ?

0 ?2

a

2

da

…………11 分

4

=(

1 2

a2+3a)| ? 3 +

?2

1 12

a3| ? 2 =
0

………………………………13 分
1 4

y B Q O A x

21. 解: (1)设 B(0,t),设 Q(m,0),t2=
?

|m|,? m ? 0,m=-4t2,
1 4

Q(-4t2,0),设 P(x,y),则 AP =(xAQ =(-4t 2

,y),

1 4

,0),2 AB =(1 4

1 2

,2 t), ? AP + AQ =2 AB 。

? ?

(x-

1 4

,y)+ (-4t2-

,0)= (-

1 2

,2 t),

x=4t2,y=2 t,? y2=x,此即点 P 的轨迹方程;…………………6 分。 (2)由(1),点 P 的轨迹方程是 y2=x;设 P(y2,y),? M (4,0) ,则以 PM 为直径的圆的
y
2

圆心即 PM 的中点 T(

? 4 2



y 2

), 以 PM 为直径的圆与直线 x=a 的相交弦长:

L=2 (

y ? 4
2

? 4) ? (
2

y 2

? 0) ? (
2

y ? 4
2

? a)

2

2

2
2

=2 ( a ? 4 )( y 2 ? a ) ?

y

=2

(a ?

15 4

)y

2

? a (a ? 4)

……………10 分
15 4

4

若 a 为常数,则对于任意实数 y,L 为定值的条件是 a?

15 4

=0, 即 a=

时,L= 15

存在定直线 x=

15 4

,以 PM 为直径的圆与直线 x=

15 4

的相交弦长为定值 15 。……13 分

22. 解: (1)证明:? a+b+c=1,a、b、c∈(0,+∞),
9

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?

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alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)=f(a)
1? b 2

那么 f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b),当 a∈(0,
? ?

)时 f ′ (a)<0,当 a∈(

1? b 2

,1)时 f ′ (a)>0,

f(a)在(0,
1? b 2

1? b 2

]上递减,在[
1? b 2

1? b 2

,1) 上递增;
1? b 2

f(a)≥f(

)=(1-b) log3
1? b 2

+ blog3b,记 g(b)= (1-b) log3
1 3

+ blog3b,………3 分 ,1)时,g′(b) >0,

得:g′(b)= log3b-log3
?

,当 b∈(0,
1 3

)时 g′(b) <0,当 b∈(
1 3

1 3

g(b)在(0,

1 3

)递减,在(

,1)上递增;? g(b)≥g(
1 3

)=-1。

alog3a+blog3b+clog3c≥-1 当 a=b=c=

时等号成立。……………………5 分

(2)证明:n=1 时, a 1 + a 2 + a 3 =1, a i >0(i=1,2,3),由(1)知
a 1 l o g3 a 1 + a 2 log
3

a 2 + a 3 log

3

a 3 ≥-1 成立,即 n=1 时,结论成立。

设 n=k 时结论成立,即 a 1 + a 2 +…+ a 3 =1, a i >0(i=1,2,3,…,3k)时
k

a 1 log

3

a 1 + a 2 log

3

a 2 + a 3 log

3

a 3 +…+ a 3 k log

3

a 3 k ≥-k.

那么,n=k+1 时,若 a 1 + a 2 +…+ a 3 + a 3
k

k

?1

+…+ a 3
a

k ?1

=1, a i >0(i=1,2,3,…,3k+1)时,

令a3

k

+…+ a 3 ?1

k ?1

=t,则

a1 1? t

+

a2 1? t

+…+

3

k

1? t

=1,由归纳假设:

a1 1? t
?

l o g3

a1 1? t

+

a2 1? t

log

a2
3

a

a
3 k

1? t

+…+

1? t

log

3

k

3

1? t
a

≥-k.……………… 8 分

a 1 log

3

a 1 + a 2 log

3

a 2 + a 3 log

3

a 3 +…+ a 3 k log

3

3

k

-(1-t) log 3 (1-t) ≥-k(1-t). (1-t)…(1)

? a 1 log

3

a 1 + a 2 log

3

a 2 + a 3 log

3

a 3 +…+ a 3 k log

3

a

3

k

≥-k(1-t)+ (1-t) log

3

设 a 2?3

k

?1

+…+ a 3
a

k ?1

=s,则 a 3
a
log
3

k

?1

+…+ a 2 ? 3 =t-s,
k

a

3

k

?1

t ? s

+

a

3

k

?2

t ? s

+…+

a

2?3

k

t ? s

=1,

由归纳假设:

3

k

?1

3

k

?1

t ? s
a

t ? s
log

+

a

3

k

?2

a
log
3

3

k

?2

t ? s

t ? s

+…+

a

2?3

k

a
log
3

2?3

k

t ? s

t ? s

≥-k.

? a

3

k

?1

log

3

3

k

?1

+a3

k

?2

3

a

3

k

?2

+…+ a 2 ? 3 log
k

3

a

2?3

k

≥-k(t-s)+ (t-s) log

3

(t-s)

………(2)………………10 分
? a 2?3

k

?1

+…+ a 3

k ?1

=s,?

a

2?3

k

?1

a

+

2?3

k

?2

+…+

a

3

k ?1

=1;由归纳假设同理可得:

s

s

s

10

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a

2?3

k

?1

l o g3 a 2 ? 3 k ? 1 + a 2 ? 3 k ? 2 log

3

a

2?3

k

?2

+…+ a 3

k ?1

log

3

a

3

k ?1

≥-ks+ s log

3

s ……(3)

将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得:
a 1 l o g3 a 1 + a 2 log
3

a 2 +…+ a 3 k log

3

a 3 k +…+ a 2 ? 3 k log

3

a

2?3

k

+…+ a 3

k ?1

log

3

a

3

k ?1

≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t) log

3

(1-t)+ (t-s) log 3 (t-s) + s log 3 s (1-t)+ (t-s) log (t-s) + s log 3 s≥-1。

而(1-t)+(t-s)+s=1,(1-t)>0,(t-s) >0,s >0。? (1-t) log
?

3

3

-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t) log 3 (1-t)+ (t-s) log 3 (t-s) + s log 3 s≥-k-1=-(k+1)。
3

? a 1 log ?

a 1 + a 2 log

3

a 2 +…+ a 3 k log

3

a 3 k +…+ a 3 k ? 1 log

3

a

3

k ?1

≥-(k+1)。

n=k+1 时,题设结论成立。综上所述,题设结论得证。…………………………13 分

11


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