基于网络缩简的K-剩余连通可靠度的蒙特卡洛方法_图文

第! 东 北 大 学 学 报( 自 然 科 学 版 ) , )卷 第)期 @ . 3 A ! ) 5 . B ) (5 ) ! " " ’年 )月 . / 0 1 2 3 . 45 . 0 6 7 8 2 9 6 8 0 1: 1 ; < 8 0 9 ; 6 2 6 / 0 2 3 > ? ; 8 1 ? 8 / 3 B! " " ’ = ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
文章编号: ( ) * " " # $ & " ! ’ ! " " ’ " ) $ " ) # * $ " (

基于网络缩简的 ! ! 剩余连通 可靠度的蒙特卡洛方法
孙艳蕊,马玉杰,张祥德
(东北大学 理学院,辽宁 沈阳 * ) * " " " (

摘 要:讨论了具有不可靠结点网络的可靠度估计问题, 提出了具有不可靠结点 !,终端网 络的串并联缩简原则,并将该缩简原则应用于递归方差衰减 (C , 8 ? / 0 9 ; < 8@ 2 0 ; 2 1 ? 8C 8 D / ? 6 ; . 1 C @ C) 蒙特卡洛 (E ) 方法中,得到一种无偏且高效的估计可靠度的方法 . 1 6 8F 2 0 3 . ? 该方法是依据状态空 间分解原理,将对原状态空间的抽样实验递归地转为对其子空间的实验,并且在对子空间抽样实 验前进行网络缩简, 使得有些子空间不用抽样, 对应方差为" 通过实验验证了算法的有效 ? 最后, 性 ? 关 键 词:网络可靠度; 蒙特卡洛方法; 不可靠结点; 保持可靠度缩简 文献标识码:I

中图分类号:G H& " ! A )

[ ] 一般网络可靠度计算问题是 5 H, 难的 * ,

因此出现了许多估计网络可靠度的近似算法, 其
[ ] ! ! * " 中蒙 特 卡 洛 方 法 是 常 用 方 法 之 一 ?JB

&, (, ):分别表示 # , $, ! 集合中元素的 个数; * :集合 * 含有元素的个数; :指示函数, , ; ! ! L * ! L " ( #) (G ) (M ) 0 / 8 2 3 9 8 表示结点 % 的状态; + ! (1 ) %: . D 8%; 9 / N
{ } , 结点 % 工作的概率; H 0 + * , %: %L { } 结点 % 失效的概 H 0 + L*,, %: % L" %, 率; (+ , , …, ) , 随机网络状态向量; !: + + % % % * ! & ". :从网络 " 中去掉所有. 和! 中的失效 结点后得到的网络; (.) , " " L! . " :可靠度函数, " " ; 9 ) / ? . 1 1 8 ? 6 8 D .
(; , } ${ " * (") : (.) , 网络 " 的随机状态; 0 " "

F 2 1 ? 8 3 2 C @ C 方法是一种无偏且高效 的估计可靠度的蒙特卡洛方法, 已经被应用于多
[ ] ) ! * " 具有不可靠结点 种网络可靠度指标的估计 ?

[ ] ’ 等 提出的

网络的 剩 余 连 通 可 靠 度 (C 8 9 ; D / 2 3F . 1 1 8 ? 6 8 D 1 8 9 9 ) 定义为链路完好、 结点存在失效状态 C 8 3 ; 2 K ; 3 ; 6 = 的无向网络的拓扑结构保持连通的概率, 简记为 C F, ! , 终端 C F 可靠度是指网络的 ? 目标结点集 ! 中的完好结点保持连通的概率 文 ? ] 提出了一种基于 C 献 [ ) @ C 的计算 ! , 终端 C F 可靠度的蒙特卡洛方法?本文在此基础上提出了 一种基于网络缩简的计算 ! ,终端 C F 可靠度的 蒙特卡洛方法, 证明了该估计方法是无偏的, 并且 具有较小的方差 ?
[ ] + 可靠度

(") : { (." ) } , 网络 " 的! ,的终端 1 $ " " 剩余连通可靠度, 简记为 1; ( :通过无向边和结点 3 关联的所有结 2 3) 点构成的集合 ? 定义与术语: 如果 ! 中任意两点之间至少存在 ! ,连通: (# , 中一条路, 则称网络 " (# , 是 " $, !) $, !) ! ,连通 ?

术语与假设 * 符号说明、
符号说明 (# , :一个无向网络的拓扑图, 简记 " $, !) 为 ", 其中, …, 是 " 的结点集; # L{ % % % *, !, &} …, 是 " 的边集; $L{ ’ ’ ’ ! "# 是" 的 *, !, (} 终端点集合;

" / %:从 " 中去掉结点% 及与其关联的所有

收稿日期: ! " " # $ " % $ & " 基金项目:国家自然科学基金资助项目 ( ) ;国家博士后基金资助项目 ( ) ’ " ( ) # " & ’ ! " " & " & & & ) ! ? 万方数据   作者简介:孙艳蕊 ( , 女, 河北丰南人, 东北大学副教授;张祥德 ( , 男, 山东昌乐人, 东北大学教授 * + ’ # ,) * + ’ & ,) ?

6 : "

东北大学学报 (自然科学版)

第" 6卷

边, { " #} ! " # 的目标结点集合为$ ? / :将网络 中的结点 !# ! # 工作的概率置
为!后得到的网络 ? 假设 网络的每个结点都独立地失效和工作, 每条 边都可靠; 网络的各元件失效是统计独立的 ?

! " # 串联缩简 对于两个不同结点 ’, 如果 ) (’) #, #{ (, , ( , 则称结点 ’, ) ’, *} #{ ? (} () ( 串联 串联且 , , 则进行图 如果结点 ’, ’ (!$ ! $ ( 所示的化简, 化简保持网络的可靠度不变, 其中结 , ! 点 + 的可靠度, ? , , +# ’ ( !# 如果结点 ’, 串联且 , 则进行图 ! ’ % ( ("$ , 所示的化简, !#, ? , ’ ( 如果结点 ’, #, * "$ , ( 串联且’, (!$ , 则进行图! !#, &所示的化简, ? ’

" 串联缩简与并联缩简
已知网络 ! (% , , 给出几个保持网络 &, $) 可靠度的缩简 ?

图# 串联结点缩简 $ % " # ’ ( ) * + % , ) ( . % , . ( / % ( . & &, ( ) — , 时的缩简; ( ) — , 时的缩简; ( ) — $ ’ (!$ % ’ ("$ & ’, #, * "$, (!$ 时的缩简; #—不属于 $ 中的结点;$—属于 $ 中的结点;%—可能在 $ 中也可能不在$ 中的结点 ?

! " ! 并联缩简 如果 ) (’) (() 则两个结点 ’ ’(#) ’’,
[ , ] ! ! ! " 和( 称为并联的 ? 并联, 则进行图 " 所示的化 如果结点 ’, ( 简, 化简保持网络的可靠度不变?其中结点 + 的

; 结点, 即 4 #{ “4 # ) #"% , !} 6 , #* 4 为事件 (6 中所 有 结 点 都 处 于 工 作 状 态 ” , 0 + 4 #8 4) ; “{ , ", …, } 中所有 9 # # # +, ! # 8 表示事件 !# 8 3 8
! 8 2

4 7 7

结点都处于工作状态, 而# , (9 ( 8 + !3 2 8 失效” 8) ) , ; (! / /" / … / ) # ! # # , # # 8 是网络 !# 8 ’ ! ’ 8 8 + :
! 2 : ! 8 3

可靠度 , ,’# ! ’, ? , , +# ’( ’ ’ (-

) ; ( (! 的离散随机 8, ) 4 ) . 是不依赖于1 ! , 8) 变量, 其分布为 ( ) , !3, # # + + : (9 8 + ! +) 2 : (. 2 +) 8 + 2 2 ) ( ) ( !30 !30 4 4 ( ) !, + , 747 ? 随机变量 1 (! ) 根据 ! 中所有可能失效的 结点集合4 中结点的状态应用网络抽样状态空 个网络 ! ) 间的递归划分 利用 ( 4 ) 8,) 4 ) ) !, ? 8 来定义这个变量, 其中每个 ! 8 从 ! 中去掉结点 将结点 # …, # # # ? 8, !, ", 8 ’ !标记为以概率 ! 工作 (!. ) 中的网络 !. 是根据 . 的分布随机选取 1 的 [1 (!) ] (!) , 且方差 45 * $ 1 & . 3 $证明了 & #0 ? 比* / * 模拟的方差要小 ?
! + 3

图! 并联结点缩简 $ % " ! ’ ( ) * + % , ) ( . % ,0 1 / 1 2 2 ( 2 & &,

) $ ’ 终端剩余连通可靠度的递归 方差缩减蒙特卡洛方法
(* 方法是用随机变 * + , ./ 0 1 2 .* $ + 3 0 / *) 量. (!) (/! ) 来估计 0 (!) 的 #" 45 * $ 1 & . 3 $ ? ! 在文献 [ ] 中提出了一个新的随机变量 1 (! ) 来 6 (!) (!) 定义如下: 估计 0 1 ? , ! 是 $ 3 连通的并且所有的 ! ’ 结点都是完好的; , (!) 7 ! 不是$ 3 连通的; 1 2& 是一单点集合; $ 2{ #} , #, ( (!. ) , 其他? ( !30 0 1 45 4)
万   方数据 { 这里, …, 是 ! 的所有非完好 4# # # # !, ", ) 4 )}

9 基于保持可靠度缩简的 $ ’ 剩余 连通可靠度的蒙特卡洛方法
根据 !. 的定义, !. 中有很多可进行串并联 因此, 结合网 缩简及!度点和"度点缩简的结点, 络保持可靠度不变的缩简, 定义一个新的随机变

第(期

孙艳蕊等:基于网络缩简的 & *剩余连通可靠度的蒙特卡洛方法

( > ’

! 量! (") , 可以证明 # ( (" ) ) (" ) , 且方差 ! ! !$
减小 ? 定理 义 (% , , 定 设给定一无向网络 " #, &)

求出所有可以失效的结点构成的集合 + ! { , <, …, } * * #* * + *
+ 4 4

$ + ) +) * 1
1 # ’

" !, " 是# & ( 连通的并且所有的 % 结点都是完好的; " , ! (" " 不是# & ( 连通的; " ! ") ’$ # 是一单点集合; & ’{ !?) *} *, ! ( (" , 其他? & #($ ! "- ) $ +, +)
这里 " " 是" 经过保持可靠度不变的缩简后得到 # 的网络; & 是集合& 在" " 中剩余 ! 是缩简系数; (! (" ) (" ) , 且$ (! 的结点集 合?则 # ! ") ! !$ % & (" ) ) ( ( ) ) " ’$ % &! " ? (" 的前 ’ 种情形取值均 随机变量! ! ") ! (" ) 均为 " , 而后 # 种 为常数, 因此, 方差 $ ( ! ") % & 证明 情形, 与文献 [ ] 中命题 ’ 可以证 ( ) ’ 的证明类似, ! (" ) (! (") ) 而! (" 的前 ’ 种 明$ ( ! ") ! ") ($ % & % & ?

(抽样确定 5 { , <, 7 3 &*! # 2 3* + *9 3 5 6, #5 } ) …, 5 * + * 4 5 . / 6 产生 [ , ] 区间均匀分布的随机数 " " #
6 (5 (5 , & , & 1) 1) 2 ; 5 / ’" ( + + # #($ # #($ 1 1 ’ ’ 第6 个 5 6*# 个结点完好, 6 为+ 中前 结点失效这一随机事件
# 6 (

. 7-

(根据 5 6 构造网络" 6) (% (" / /< / … / ) " # & * * ) 6 6, 6, 6) 6 #* 6* # ** 6 对" (# % 6 进行网络缩简得到网络 " 6 6, " # 及缩简因子 ! # & 6, 6)

! 情形一定出现, 因此 $ ( (" ) (! (") ) ! ") % & ’$ % & ? 根据上述定理, 给出一个估计 & * 剩余连通
可靠度的蒙特卡洛算法: + , $ - 算法 ? (") + , $ (% , 及相关参数: #, &) ., /, . / 1 2 网络 " 0 , …, ( 0, 1! # /) ) 1 方差估计 # % 3 1 2 1 2 网络的可靠度估计! 0 2, 4 5 . / 6 ! " 2) # 2 30 7 3 & 3! 4 5 . / 6 ! (") , & 3 8 5 9 1 & 5 ! ! ! ! (") ! 2) 2: 5 / 9 ! 2 ! 2) 0 ! ! ( # * 2 2) # %) 0* # 5 / 9 ! (") , & 3 8 5 9 1 & 5 ! (% , 及相关参数: #, &) ., /, . / 1 2 网络 " 0 , …, ( 1! # /) ) 1 (") 的一随机样本 ! 3 1 2 1 2 随机变量! 0 4 5 . / 6 !) # ( ) ; 5 / & 5 2 1 & / " . 7" 不是& *连通的2 且所有结点都是完 . 7" 是& * 连通的, 好的2 (!) ; 5 / & 5 2 1 & / 即 & !{ *} . 7" 仅 有 一 个 终 端, 2 ; 5 / 万   方数据 ()!) & 5 2 1 & /
*

" # (# % # & " 6)" 6 6, 6, 6) ( (" ) ($ # *$ =+ , $ & 5 2 1 & / +: +) 6)
5 / 9 5 / 9

> 例



以图’所示的网络为例, 取结点的可靠度分 别为" , , , , , 7 ? ? ? " 7 ? ? " 7 ? @ " 7 ? > " 7 ? " " 7 @ @ 进行仿 真模拟, 图A给出了文献 [ ] 中算法与本文算法模 ( 拟所得方差比的变化趋势 从图中可看出, 本文算 ? 法估计的方差比文献 [ ] 的要小得多 ( ?

图! 网络 ! " # % ! & ’ ( ) * + ,! $

图- 方差比较 " # % - . * / 1 + # 2 * 3* 4 5 1 + # 1 3 6 ’ 2 4 + * /7 # 4 4 ’ + ’ 3 ( 1 8 * + # ( 9 / 2 $ 0 $

F I G

东北大学学报 (自然科学版)

第H F卷

! 结



以 "# (* 方法 $ % & ’ ( ) %等的递归方差衰减 + *) 为基础, 给出了一个基于网络缩简的估计具有不 可靠结点网络 ! ,终端可靠度的蒙特卡洛方法? 该方法是依据状态空间分解原理, 将对原状态空 间的抽样实验递归地转为对其子空间的实验, 并 且在对子空间抽样实验前进行网络缩简, 使得有 些子空间不用抽样, 而对应方差却减为 并且该 ? 估计方法是无偏的, 证明了方差比文献中所给随 机变量的方差要小, 实验仿真也说明了这一点 ? 参考文献:
[.] $ [4] / ) 0 / 1 2 &$3 # " # $ % & ’ ( ) * + , & ) % . & * $ , 0 & 1 $ 2 ) + ( ) 2 ) , # / 3 : , 5 ( 67 / 2 8 9 : ; / 2 <= & > ? ( 2 @ > A 2 ( @ @ . D E F # . , G # BC [H] 刘普寅, 张维明 [ ] 3 ? 通信网络可靠性研究中的数学问题 ? , ( ) : 通信学报, H H . . I , I F ? , (J > 17C K L % & % A L ( O % A > ’ % ) 2 / 0 ) ( O @ > &2 ( @ ( % 2 ’ L M N 4#4 P [3] #4 & 5 * + 2& / &2 ( ) > % 0 > ) > A ;’ / O O 1 & > ’ % A > / && ( A 6 / 2 8 @ B/ / , (. : 6 # ) * +7 * . , ) , 5 , $& & ’’ 5 * ) % + , ) & * ., H H . -) I -, /6 ) I F # ’ [Q] 4 % & R > S, J % 0 0 (4# T > @ L O % & @ @ % O ) > & ) % & ; / 2 ’ / O 1 A > & P MP P M [ ] & ( A 6 / 2 82 ( ) > % 0 > ) > A 3 # 7 8 8 8 " + * . + % , ) & *& *9 $ 2 ) + ( ) 2 ) , B 3, , ( ) : H . I . G . , G ! # [G] T > @ L O % &UV #S @ A > O % A > / &A L (. : ,2 ( ) > % 0 > ) > A 1 & ’ A > / &1 @ > & B; M [ ] > O / 2 A % & ’ ( % & < @ A 2 % A > ; > ( < @ % O ) > & 3 # ; $ + , ) & *9 $ . $ + % #, P P M <

, ( ) : . D E D Q F G G ! H , G F Q # [I] T > @ L O % &UV # W’ / O % 2 > @ / &/ ; ; / 1 24 / & A ($ % 2 ) /O ( A L / < ; / 2 P [3 ] : ,’ / & & ( ’ A ( < & ( @ @ # 7 8 8 8 ( @ A > O % A > & L (P 2 / 0 % 0 > ) > A ;. MA B/ , ( ) : " + * . + % , ) & *& *9 $ 2 ) + ( ) 2 ) , . D E ! Q I H . G I , . I I # 3, [!] $ % & ’ ( ) %",X L % < > 2 >4 S#Y L (2 ( ’ 1 2 @ > ? (? % 2 > % & ’ ( Z 2 ( < 1 ’ A > / & [3 ] @ > O 1 ) % A > / &% ) / 2 > A L O; / 2& ( A 6 / 2 82 ( ) > % 0 > ) > A ? % ) 1 % A > / & # M B( , ( ) : 7 8 8 8" + * . % + , ) & *& *9 $ 2 ) + ( ) 2 ) , H Q I H H H F , H . H # 3, [F] $ % & ’ ( ) % ",X L % < > 2 > 4 S#W 2 ( ’ 1 2 @ > ? (? % 2 > % & ’ ( Z 2 ( < 1 ’ A > / & % ) / 2 > A L O; / 2( @ A > O % A > & / O O 1 & > ’ % A > / & Z & ( A 6 / 2 82 ( ) > % 0 > ) > A M M’ B [ ] , ( ) : 3 # 7 8 8 8" + * . + % , ) & *& *9 $ 2 ) + ( ) 2 ) , . D D I G G I I D D , 3, ! H # [E] $ % & ’ ( ) %", X L % < > 2 >4 S# V ( 2 > ( @ Z % 2 % ) ) ( ) 2 ( < 1 ’ A > / & @ > &4 / & A ( P [3 ] $ % 2 ) /& ( A 6 / 2 8 Z 2 ( ) > % 0 > ) > A ? % ) 1 % A > / & # 7 8 8 8" + * . + % , ) & * . B( , ( ) : & *9 $ 2 ) + ( ) 2 ) , . D D E G F H . I D , . ! G # 3, [D] $ % & ’ ( ) % ", = 2 1 L % 2 A 4 S#W < % A > & + *@ > O 1 ) % A > / & [ P M* A ( ’ L & > 1 ( @; / 22 ( @ > < 1 % )’ / & & ( ’ A ( < & ( @ @& ( A 6 / 2 82 ( ) > % 0 > ) > A [ B [3 ] , O / < ( ) @ # 7 8 8 8" + * . + % , ) & * .& *6 & ’ 5 , $ ., H H I . < ( ) : G G Q D , G G Q # [ ] 王芳, 侯朝桢 [ ] . 3 ? 一种估计网络可靠性的蒙特卡洛方法 ? , ( ) : 计算机工程, H GQ -. E . H , . I ? (N ," % & / 1$ K #W 4 / & A ($ % 2 ) /O ( A L / <A /( @ A > O % A ( MT [3 ] , & ( A 6 / 2 82 ( ) > % 0 > ) > A #6 & ’ 5 , $ -8 * ) * $ $ ) * G Q B < = =,H ( ) : ) . E . H , . I # [ ] 孙艳蕊, 张祥德, 车文 . . ? 具有不可靠结点网络可靠度的计 ] (自然科学版) , , (I) : 算 [ 3 . D D D H I ! H, ? 东北大学学报 I ! G ? ( V 1 &7 *, K L % & $ L ( N# $ / O 1 A % A > / &; / 2& ( A 6 / 2 8 M\ ], P [3 ] 2 ( ) > % 0 > ) > A > A L& / < (; % > ) 1 2 ( @ # 4 & 5 * + 2& & , # $ + . , $ * B6 /> (> , , ( ) : ) ? * ) @ $ . ) , + , 5 + 2 A % ) $ * % $) . D D D H I I ! H , I ! G # 3 [ ] W . H 0 / S > T / A / L " 4,$ / ) 0 / 1 2 & $3 #$ / O 1 A > & Z A ( 2 O > & % ) P MH 2 ( ) > % 0 > ) > A / 2 2 % < > / Z 0 2 / % < ’ % @ A & ( A 6 / 2 8 @[ 3 ] #7 8 8 8 B ; , ( ) : " + * . + % , ) & *& *9 $ 2 ) + ( ) 2 ) , . D E D Q E G I Q E , I I I # 3,

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万方数据  

基于网络缩简的K-剩余连通可靠度的蒙特卡洛方法
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 引用次数: 孙艳蕊, 马玉杰, 张祥德, SUN Yan-rui, MA Yü-jie, ZHANG Xiang-de 东北大学,理学院,辽宁,沈阳,110004 东北大学学报(自然科学版) JOURNAL OF NORTHEASTERN UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 2006,27(7) 0次

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