2017年北京市东城区高考数学二模试卷及答案(理科)

2017 年北京市东城区高考数学二模试卷(理科) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 1. (5 分)已知集合 A={x|x2﹣4<0},则?RA=( ) A.{x|x≤﹣2 或 x≥2} B.{x|x<﹣2 或 x>2} C.{x|﹣2<x<2} D . {x| ﹣ 2 ≤x≤2} 2. (5 分)下列函数中为奇函数的是( A.y=x+cosx B.y=x+sinx C. 3. (5 分)若 x,y 满足 ) D.y=e﹣|x| ,则 x+2y 的最大值为( ) A.﹣1 B.0 C. D.2 ) 4. (5 分)设 , 是非零向量,则“ , 共线”是“| + |=| |+| |”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分) 已知等比数列{an}为递增数列, Sn 是其前 n 项和. 若 a1+a5= 则 S 6= ( A. B. ) C. D. , a2a4=4, 6. (5 分)我国南宋时期的数学家秦九韶(约 1202﹣1261)在他的著作《数书九 章》 中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法 求多项式的一个实例.若输入的 n=5,v=1,x=2,则程序框图计算的是( ) A.25+24+23+22+2+1 B.25+24+23+22+2+5 C.26+25+24+23+22+2+1 D.24+23+22+2+1 7. (5 分)动点 P 从点 A 出发,按逆时针方向沿周长为 1 的平面图形运动一周, A,P 两点间的距离 y 与动点 P 所走过的路程 x 的关系如图所示,那么动点 P 所 走的图形可能是( ) A. B. C. D. 8. (5 分)据统计某超市两种蔬菜 A,B 连续 n 天价格分别为 a1,a2,a3,…,an, 和 b1,b2,b3,…,bn,令 M={m|am<bm,m=1,2,…,n},若 M 中元素个数 大于 n,则称蔬菜 A 在这 n 天的价格低于蔬菜 B 的价格,记作:AB,现有三 种蔬菜 A,B,C,下列说法正确的是( A.若 AB,BC,则 AC B.若 AB,BC 同时不成立,则 AC 不成立 C.AB,BA 可同时不成立 D.AB,BA 可同时成立 ) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (5 分)复数 i(2﹣i)在复平面内所对应的点的坐标为 10. (5 分)在极坐标系中,直线 ρcosθ+ 切,则 a= . . ρsinθ+1=0 与圆 ρ=2acosθ(a>0)相 11. (5 分)某校开设 A 类选修课 4 门,B 类选修课 2 门,每位同学需从两类选 修课中共选 4 门, 若要求至少选一门 B 类课程, 则不同的选法共有 数字作答) 12. (5 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠ABD=45°,∠ADB=30°,BC=1,DC=2, cos∠BCD= ,则 BD= ;三角形 ABD 的面积为 . 种. (用 13. (5 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物 线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°,则 |OA|= . 14. (5 分)已知函数 ①若 f(x)=a 有且只有一个根,则实数 a 的取值范围是 . ②若关于 x 的方程 f(x+T)=f(x)有且仅有 3 个不同的实根,则实数 T 的取值 范围是 . 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (13 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)若 f( sin2x+a?cos2x(a∈R) . )=2,求 a 的值; , ]上单调递减,求 f(x)的最大值. (Ⅱ)若 f(x)在[ 16. (13 分)小明计划在 8 月 11 日至 8 月 20 日期间游览某主题公园.根据旅游 局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”(即在园人数与景区主管部门核 定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤) 情况如图所示. 小明随机选择 8 月 11 日至 8 月 19 日中的某一天到达该主题公园, 并游览 2 天. (Ⅰ)求小明连续两天都遇上拥挤的概率; (Ⅱ)设 X 是小明游览期间遇上舒适的天数,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ) 由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大? (结论不要求证明) 17. (14 分)如图,在几何体 ABCDEF 中,平面 ADE⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为菱形,且∠DAB=60°,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M 为 BC 中点. (Ⅰ)求证:FM∥平面 BDE; (Ⅱ)求直线 CF 与平面 BDE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 CF 上是否存在点 G,使 BG⊥DE?若存在,求 说明理由. 的值;若不存在, 18. (13 分)设函数 f(x)=(x2+ax﹣a)?e﹣x(a∈R) . (Ⅰ)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程; (Ⅱ)设 g(x)=x2﹣x﹣1,若对任意的 t∈[0,2],存在 s∈[0,2]使得 f(s) ≥g(t)成立,求 a 的取值范围. 19. (14 分)已知椭圆 C: =1(a>b>0)的短轴长为 2 ,右焦点为 F (1,0) ,点 M 是椭圆 C 上异于左、右顶点 A,B 的一点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 AM 与直线 x=2 交于点 N,线段 BN 的中点为 E.证明:点 B 关于 直线 EF 的对称点在直线 MF 上. 20. (13 分)对于 n 维向量 A=(a1,a2,…,an) ,若对任意 i∈{1,2,…,n}均 有

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