人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.4椭圆的几何性质(二)同步练习题

人教新课标版(A)高二选修 1-1 2.1.4 椭圆的几何性质(二)同步练习题 【基础演练】 题型一:由椭圆的方程研究椭圆的性质 椭圆的几何性质: 请根据以上知识解决以下 1~5 题。 x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 25 ? m 16 ? m 9 9 9 A. ? 16 ? m ? 25 B. C. ? 16 ? m ? D. m ? ? m ? 25 2 2 2 2 2 x y ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中的中点在 y 轴上, 2. 椭圆 12 3 1. 方程 那么 | PF1 | 是 | PF2 | 的 A. 7 倍 B. 5 倍 C. 4 倍 D. 3 倍 3. 椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆离心率为 A. 2 2 B. 3 2 C. 5 3 D. 6 3 x2 y2 1 ? ? 1 的离心率是 ,那么实数 k 的值为__________。 k ?8 9 2 5. 已知椭圆的对称轴是坐标轴, 以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形, 4. 如果椭圆 且焦点到椭圆长轴端点的最短距离是 3 ,求此椭圆方程,并写出其中焦点在 y 轴上的椭圆 的焦点坐标、离心率。 题型二:由椭圆的几何性质求椭圆的方程 (1)充分利用椭圆的几何性质,以及 a、b、c、e 间的数量关系,并结合平面几何知识, 求出基本参数 a、b、c 的值,进而求出椭圆的标准方程。 (2)利用椭圆的几何性质求标准方程的一般步骤是:①求基本参数 a、b;②确定焦点 所在坐标轴;③写出方程。请根据以上知识解决以下 6~8 题。 6. 已知椭圆 3 x 2 y2 a2 8 3 a ? b ? 0 ? ? 1 ( )的离心率为 , ,则椭圆方程为 ? 2 2 2 3 a b a 2 ? b2 B. A. x 2 y2 ? ?1 4 3 x 2 y2 ? ?1 16 3 1 C. x 2 y2 ? ?1 16 12 D. x 2 y2 ? ?1 16 4 http://school.chinaedu.com 7. 离心率为 3 ,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 2 x2 x2 y2 ? y2 ? 1 ? y 2 ? 1或 x 2 ? ?1 A. B. 4 4 4 x2 x 2 y2 ? y 2 ? 1或 ? ?1 C. x 2 ? 4y 2 ? 1 D. 4 4 16 8. 已知椭圆 x 2 y2 ? ,A(2,0)为长轴的一个端点,过椭圆的中心 O ?1( a ? b ? 0 ) b a2 的直线交椭圆于 B、C 两点,且 AC ? BC ? 0 ,| OC ? OB |? 2 | BC ? BA | ,求此椭圆的方程。 题型二:椭圆的第二定义 椭圆的第二定义也是圆锥曲线的统一定义,指 P 点到一定点的距离与到一定直线的比 为常数 e, (0 ? e ?1) ,则动点 P 的轨迹是椭圆。请用以上知识解决以下 9~11 题。 9. 已知点 M 到定点 F 的距离与 M 到定直线 l 的距离的比为 0.8,则动点 M 的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 无法确定 10. 如图 2-1-6,已知点 A(1,2)在椭圆 求一点 P,使 | PA | ?2 | PF | 最小。 x 2 y2 ? ? 1 内,F 的坐标为(2,0) ,在椭圆上 16 12 11. 椭圆 x 2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 上一点 M 满足∠ F1MF2 ? ? ,其中 F1 、 F2 为椭圆的两个 a 2 b2 焦点,求证:△ F1MF2 的面积为 b 2 tan 【互动探究】 [学科内综合] 12. 已知椭圆 ? 。 2 1 2 ,过这一点引直线与椭圆交于 A、B 两 x ? y 2 ? 1 及其外一点 M(0,2) 2 1 。 2 点,求 AB 的中点 P 的轨迹方程。 13. 已知椭圆的焦点是 F1 (0,-1)和 F2 (0,1) ,离心率 e ? (1)求椭圆的方程; (2)又设点 P 在这个椭圆上,且 | PF 1 | ? | PF 2 |? 1 ,求∠ F 1 PF2 。 http://school.chinaedu.com 2 [操作实践题] 14. 椭圆 x 2 y2 ? ? 1 上一点 P 到两焦点 F1 、 F2 的距离之差为 2,试判断△ PF1F2 的形状。 16 12 15. 已知椭圆 x 2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴两端点为 A、B,如果椭圆上存在一点 Q, a 2 b2 使∠AQB=120°,求椭圆的离心率 e 的取值范围。 [创新题] 16. 如图 2-1-7, F1 、 F2 是椭圆 x 2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的弦 AB 与 F2 组成等腰直 a 2 b2 角△ ABF2 ,其中∠ BAF 2 ? 90°。 求证:这个椭圆的离心率 e ? 6 ? 3 。 【经典名题】 17. 过椭圆 方程。 18. (2006·江西)如图 2-1-8,椭圆 Q: x 2 y2 ? ? 1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被 M 点平分,求此弦所在直线 16 4 x 2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的右焦点为 F(c,0) , a 2 b2 过点 F 的一动直线 m 绕点 F 转动,并且交椭圆于 A、B 两点,P 为线段 AB 的中点。 (1)求点 P 的轨迹 H 的方程; ?? ? (2)若在 Q 的方程中,令 a 2 ? 1 ? cos ? ? sin ? , b 2 ? sin ?? 0 ? ? ? ? ,确定 ? 值, 2? ? 使原点距椭圆 Q 的右准线 l 最远,此时,设 l 与 x 轴交点为 D,当直线 m 绕点 F 转动到

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