2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—10.统计、概率

2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
一、选择题

10.统计、概率

【2018.3】某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区 农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【2017,2】为评估一种农作物的种植效果,选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量(单位: kg )分别为

x1 , x2 ,

, xn ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A. x1 , x2 , C. x1 , x2 ,

, xn 的平均数 , xn 的最大值

B. x1 , x2 , D. x1 , x2 ,

, xn 的标准差 , xn 的中位数

【2017,4】如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机 取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ) A.

1 4

B.

π 8

C.

1 2

D.

π 4

【2016,3】为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花 种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( A. ) .

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

【2015,4】如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) A.

3 10

B.

1 5

C.
1 / 17

1 10

D.

1 20

【2013,3】从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( A.

).

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6 1 x ? 1 上,则这组样本 2

【2012,3】在一组样本数据( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,…, ( xn , yn ) ( n ? 2 , x1 , x2 ,…, xn 不全相 等)的散点图中,若所有样本点( xi , yi ) ( i =1,2,…, n )都在直线 y ? 数据的样本相关系数为( A.-1 B.0 ) C.

1 2

D.1

【2011,6】有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相 同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ). A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

二、填空题 【2014, 13】 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为_____. 三、解答题 【2018.19】(12 分) 某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据(单位:m )和使用了节水龙头 50 天的日用水量 数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 频数
3

?0 ,0.1?
1

?0.1,0.2?
3

?0.2 ,0.3?
2

?0.3 ,0.4?
4

?0.4 ,0.5?
9

?0.5 ,0.6?
26

?0.6 ,0.7?
5

使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 频数

?0 ,0.1?
1

?0.1,0.2?
5

?0.2 ,0.3?
13

?0.3 ,0.4?
10

?0.4 ,0.5?
16

?0.5 ,0.6?
5

(1)在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数 据的频率分布直方图: (2) 估计该家庭使用节水龙头后, 日用水量小于 0.35 m3 的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少 水?(一年按 365 天计算,同一组中的数据以这组数 据所在区间中点的值作代表.)

2 / 17

【2017,19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个 零件,并测量其尺寸(单位:cm) .下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸: 抽取次序 零件尺寸 抽取次序 零件尺寸 经计算得 x ? 1 9.95 9 10.26 2 10.12 10 9.91 3 9.96 11 10.13 4 9.96 12 10.02 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 10.04 7 9.98 15 10.05 8 10.04 16 9.95

1 16 1 16 1 16 2 2 x ? 9.97 , s ? ( x ? x ) ? (? xi ? 16 x 2 )2 ? 0.212 , ?i ? i 16 i ?1 16 i ?1 16 i ?1
16

? ? i ? 8.5?
i ?1

16

2

? 18.439 , ? ( xi ? x ) ? i ? 8.5? ? ?2.78 ,其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
i ?1

(1)求 ? xi , i ? (i=1,2,…,16)的相关系数 r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进 行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小) . (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 ( x ? 3s, x ? 3s) 之外的零件,就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查? (ⅱ)在 ( x ? 3s, x ? 3s) 之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的 均值与标准差. (精确到 0.01)

附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数 r ?

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

, 0.008 ? 0.09 .
2

3 / 17

【2016,19】某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器 时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内 更换的易损零件数,得下面柱状图.
频数

24 20 16 10 6 0 16 17 18 19 20 21 更换的易损零件数

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用 (单 位:元) , n 表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若 n ? 19 ,求 y 与 x 的函数解析式; (2)若要求 “需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5 ,求 n 的最小值; (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损零件,分别计算 这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个 还是 20 个易损零件?

【2015,19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售 量(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 xi,和年销售量 yi(i=1,2,3,…,8)的数据 作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值,表中 ?i ?

xi , ? ?

1 8 ??i 8 i ?1
n i i

x
46.6

y
563

?
6.8

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2

? (?
i ?1

n

i

? ? )2

? ( x ? x)( y ? y) ? (? ? ?)( y ? y)
i ?1 i i
i ?1

n

289.8

1.6

1469

108.8

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y ? c ? d x ,哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程 类型(给出判断即可,不必说明理由) ; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x,根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (1)当年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (2)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?
4 / 17

【2014,18】18.从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如 下频数分布表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图: (II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组 中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这 种产品符合 “质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产 品的 80%”的规定?

【2013,18】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试 验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

5 / 17

【2012,18】某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如 果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1) 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 求当天的利润 y(单位: 元) 关于当天需求量 n(单位: 枝,n ? N ) 的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

①假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; ②若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 求当天的利润不少于 75 元的概率。

【2011,19】某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或 等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别成为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这样的 产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到了下面试验结果. A 配方的频数分布表 指标值分组 频数

?90,94?
8

?94,98?
20

?98,102?
42

?102,106?
22

?106,110?
8

B 配方的频数分布表
指标值分组 频数

?90,94?

?94,98?

?98,102?

?102,106?
32

?106,110?
10

42 4 12 (1)分别估计用 A 配方, B 配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y (单位:元)

??2, t ? 94, ? 与其质量指标值 t 的关系式为 y ? ?2,94 ? t ? 102, 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率, 并 ?4, t …102. ?
求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润.

6 / 17

2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 10.统计、概率(解析版)
一、选择题 【2018.3】某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区 农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 答案:A 【2017,2】为评估一种农作物的种植效果,选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量(单位: kg )分别为

x1 , x2 ,

, xn ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A. x1 , x2 , C. x1 , x2 ,

, xn 的平均数 , xn 的最大值

B. x1 , x2 , D. x1 , x2 ,

, xn 的标准差 , xn 的中位数

解:一组样本数据的方差与标准差反映了这组样本数据的稳定程度,故选 B 【2017,4】如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机 取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ) A.

1 4

B.

π 8

C.

1 2 1 2

D.

π 4

2 2 解:设正方形的边长为 2 a ,则黑色部分的面积为 ? a ,而正方形的面积为 4 a ,由几何概率模型可得,

1 2 ?a ? 所求概率为 2 2 ? ,选 B 4a 8
7 / 17

【2016,3】为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花 种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( A. ) .

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

解析:选 C.

只需考虑分组即可,分组(只考虑第一个花坛中的两种花)情况为(红,黄) , (红,白) ,

(红,紫) , (黄,白) , (黄,紫) , (白,紫) ,共 6 种情况,其中符合题意的情况有 4 种,因此红色和紫色 的花不在同一花坛的概率是

2 .故选 C. 3

【2015,4】如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) A.

3 10 1 ,故选 C 10

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 20

解:选 C,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法,其中的勾股数只有 3,4,5,1 种, 故所求概率为

【2013,3】从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是(

).

1 A. 2
解析:选 B.

1 B. 3

1 C. 4 1 . 3

1 D. 6

由题意知总事件数为 6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的

事件数是 2,所以所求的概率为

【2012,3】3.在一组样本数据( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,…, ( xn , yn ) ( n ? 2 , x1 , x2 ,…, xn 不全 相等)的散点图中,若所有样本点( xi , yi ) ( i =1,2,…, n )都在直线 y ? 本数据的样本相关系数为( A.-1 【解析】因为 y ? B.0 ) C.

1 x ? 1 上,则这组样 2

1 2

D.1

1 1 x ? 1 中, k ? ? 0 ,所以样本相关系数 r ? 0 , 2 2 1 又所有样本点( xi , yi ) ( i =1,2,…, n )都在直线 y ? x ? 1 上, 2 所以样本相关系数 r ? 1 ,故选择 D。 【2011,6】有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相
同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ). A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

【解析】选 A.. 甲、乙两位同学参加 3 个小组的所有可能性有 3 ? 3 ? 9 (种) ,其中甲、乙两人参加同一 个小组的情况有 3 种.故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率 P ?

3 1 ? . 9 3

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二、填空题 【2014,13】将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为 ________. 解:设数学书为 1,2,语文书为 A,则所有的排法有(1,2,A),(1,A,2),(2,1, A),(2, A,1),(A,1,2),(A,2,1) 共 6 种,其中 2 本数学书相邻的情况有 4 种情况,故所求概率为 P ? 三、解答题 【2018.19】(12 分) 某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据(单位:m )和使用了节水龙头 50 天的日用水量 数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 频数
3

4 2 ? . 6 3

?0 ,0.1?
1

?0.1,0.2?
3

?0.2 ,0.3?
2

?0.3 ,0.4?
4

?0.4 ,0.5?
9

?0.5 ,0.6?
26

?0.6 ,0.7?
5

使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 频数

?0 ,0.1?
1

?0.1,0.2?
5

?0.2 ,0.3?
13

?0.3 ,0.4?
10

?0.4 ,0.5?
16

?0.5 ,0.6?
5

(1)在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的 频率分布直方图:
3 (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于 0.35 m

的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水? (一年按 365 天计算,同一组中的数据以这组数据所在区 间中点的值作代表.)

19.解:(1)

(2) 根据以上数据, 该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量 小于 0.35m 的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
3 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m 的概率的 3

估计值为 0.48.
9 / 17

(3)该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为

x1 ?

1 (0.05 ?1 ? 0.15 ? 3 ? 0.25 ? 2 ? 0.35 ? 4 ? 0.45 ? 9 ? 0.55 ? 26 ? 0.65 ? 5) ? 0.48 . 50

该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为

x2 ?

1 (0.05 ?1 ? 0.15 ? 5 ? 0.25 ?13 ? 0.35 ?10 ? 0.45 ?16 ? 0.55 ? 5) ? 0.35 . 50

估计使用节水龙头后,一年可节省水 (0.48 ? 0.35) ? 365 ? 47.45(m3 ) . 【2017,19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个 零件,并测量其尺寸(单位:cm) .下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸: 抽取次序 零件尺寸 抽取次序 零件尺寸 经计算得 x ? 1 9.95 9 10.26 2 10.12 10 9.91 3 9.96 11 10.13 4 9.96 12 10.02 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 10.04 7 9.98 15 10.05 8 10.04 16 9.95

1 16 1 16 1 16 2 2 x ? 9.97 , s ? ( x ? x ) ? (? xi ? 16 x 2 )2 ? 0.212 , ?i ? i 16 i ?1 16 i ?1 16 i ?1
16

? ? i ? 8.5?
i ?1

16

2

? 18.439 , ? ( xi ? x ) ? i ? 8.5? ? ?2.78 ,其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
i ?1

(1)求 ? xi , i ? (i=1,2,…,16)的相关系数 r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进 行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小) . (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 ( x ? 3s, x ? 3s) 之外的零件,就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查? (ⅱ)在 ( x ? 3s, x ? 3s) 之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的 均值与标准差. (精确到 0.01)

附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数 r ?

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

, 0.008 ? 0.09 .
2

【解析】 (1) y ?

16 16 1 16 yi ? 8.5 , ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ? ( xi ? x )(i ? y ) ? ?2.78 ? 16 i ?1 i ?1 i ?1

10 / 17

? (x
i ?1

n

i

? x) =
2

? (x
i ?1
i

16

i

? x ) =4s ? 0.848 ,
2

?(y
i ?1

n

i

? y) =
2

? (i ? 8.5)
i ?1

16

2

? 18.439

故r ?

? (x
i ?1

n

? x )( yi ? y )

? (x
i ?1

n

i

? x )2

?(y
i ?1

n

=
i

? y )2

?2.78 ? ?0.178 0.848 ? 18.439

r ? 0.178<0.25 . 所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
(2)(i) x ? 3s ? 9.97 ? 3 ? 0.212 ? 9.334 , x ? 3s ? 9.97 ? 3 ? 0.212 ? 10.606 第 13 个零件的尺寸为 9.22 , 9.22 ? 9.334 , 所以从这一天抽检的结果看,需对当天的生产过程进行检查. (ii)剔除 9.22 ,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为

16 x ? 9.22 16 ? 9.97 ? 9.22 ? ? 10.02 , 15 15

方差为

1 [(9.95 ? 10.02)2 ? (10.12 ? 10.02) 2 ? (9.96 ? 10.02) 2 ? (9.96 ? 10.02)2 ? (10.01 ? 10.02)2 15

?(9.92 ? 10.02)2 ? (9.98 ? 10.02)2 ? (10.04 ? 10.02)2 ? (10.26 ? 10.02)2 ? (9.91 ? 10.02)2 ? (10.13 ? 10.02)2
?(10.02 ? 10.02)2 ? (10.04 ? 10.02)2 ? (10.05 ? 10.02)2 ? (9.95 ? 10.02)2 ] ? 0.008
故标准差为 0.09 . (ii)解法二: 剔除 9.22 , 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为 由s ?

16 x ? 9.22 16 ? 9.97 ? 9.22 ? ? 10.02 , 15 15

16 1 16 1 16 2 2 2 ,得 xi2 =0.2122 ? 16+16 ? 9.972 =1591.13 , ( x ? x ) ? ( x ? 16 x ) ? 0.212 ? ? i ?i 16 i ?1 16 i ?1 i ?1

试剔除离群值,这条生产线当天生产的零件尺寸的方差 s ? ?

1 16 2 (? xi ? 9.222 ? 15 ? 10.222) ? 0.09 15 i ?1

【2016,19】某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器 时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内 更换的易损零件数,得下面柱状图.

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频数

24 20 16 10 6 0 16 17 18 19 20 21 更换的易损零件数

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用 (单 位:元) , n 表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若 n ? 19 ,求 y 与 x 的函数解析式; (2)若要求 “需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5 ,求 n 的最小值; (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损零件,分别计算 这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个 还是 20 个易损零件? 解析 (1)当 x? 19 时, y ? 19 ? 200 ? 3800 (元) ;

当 x ? 19 时, y ? 19 ? 200 ? ? x ?19? ? 500 ? 500x ? 5700 (元) , 所以 y ? ?

x ? N, x? 19 ? 3800, . ?500 x ? 5700, x ? N, x ? 19

(2)由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示. 更换的易损零件数 频率 16 0.06 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.20 21 0.10

所以更换易损零件数不大于 18 的频率为: 0.06 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.46 ? 0.5 , 更换易损零件数不大于 19 的频率为: 0.06 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.24 ? 0.70 ? 0.5 ,故 n 最小值为 19 . (3)若每台都购买 19 个易损零件,则这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为:

100 ?19 ? 200 ? 20 ? 500 ? 2 ?10 ? 500 ? 4000 (元) ; 100
若每台都够买 20 个易损零件,则这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为:

100 ? 20 ? 200 ? 10 ? 500 ? 4050 (元). 100
因为 4000 ? 4050 ,所以购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.
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【2015,19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售 量(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 xi,和年销售量 yi(i=1,2,3,…,8)的数据 作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

x
46.6 表中 ?i ?

y
563

?
6.8

? ( xi ? x)2
i ?1

n

? (?
i ?1

n

i

? ? )2

? ( x ? x)( y ? y) ? (? ? ?)( y ? y)
i ?1 i i
i ?1 i i

n

n

289.8

1.6

1469

108.8

xi , ? ?

1 8 ? ?i 8 i ?1

(Ⅰ)根据散点图判断, y=a+bx 与 y ? c ? d x , 哪一个 宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 (给出判 断即可,不必说明理由) ; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x,根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (1)当年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (2)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 解:(Ⅰ) 由散点图可知 y ? c ? d x 适合作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型. 分 (Ⅱ)设 ? ? …2

x ,则线性回归方程为 y=c+dω,由公式得

108.8 =68,α=563-68× 6.8=100.6,所以 y=100.6+68ω, 1.6 所以 y 关于 x 的回归方程为 y ? 100.6+68 x 。 …6 分

?=

(Ⅲ) (1)当 x=49 时,年销售量的预报值 y=100.6+68× 7=576.6, 年利润的预报值 z=0.2× 576.6y-49=66.32, (2)因为 z ? 0.2(100.6+68 x ) ? x ? ?( x ) ? 13.6 x ? 20.12
2

…9 分

所以当 x =6.8,即宣传费 x=46.24 千元时,年利润的预报值最大. …12 分 考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识 19. 解析 (1)由散点图变化情况选择 y ? c ? d x 较为适宜.

(2)由题意知 d ?

? ? w ? w?? y ? y ?
8 i ?1 i i

? ? w ? w?
8 i ?1 i

2

?

108.8 ? 68 . 1.6

又 y ? c ? d x 一定过点 w, y , 所以 c ? y ? dw ? 563 ? 68 ? 6.8 ? 100.6 , 所以 y 关于 x 的回归方程为 y ? 100.6 ? 68 x . (3) (ⅰ)由(2)可知当 x ? 49 时, y ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 ,

? ?

z ? 0.2 ? 576.6 ? 49 ? 66.32 . 所以年宣传费 x ? 49 时,年销售量为 576.6t ,年利润的预报值为 66.32 千元.
(ⅱ) z ? 0.2 y ? x ? 0.2 100.6 ? 68 x ? x ? 13.6 x ? x ? 20.12 ?

?

?

13 / 17

?

?

x ? 6.8 ? 6.82 ? 20.12 .
2

?

2

所以当 x ? 6.8 ,即 x ? 6.8 ? 46.24 (千元)时,年利润的预报值最大, 18.从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布 表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少 要占全部产品的 80%”的规定? 【答案】 (1)

(2)质量指标值的样本平均数为 100,质量指标值的样本方差为 104 (3)不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定. 【解析】 试题分析: (1)根据频率分布表与频率分布直方图的关系,先根据:频率=频数/总数计算出各组的频率,
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再根据: 高度=频率/组距计算出各组的高度, 即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图; (2) 根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数,由平均数计算公式可得:质量指标值的样本平均数为

x ? 80 ? 0.06 ? 90 ? 0.26 ? 100 ? 0.38 ? 110 ? 0.22 ? 120 ? 0.08 ? 100 ,进而由方差公式可得:质量指标值
的样本方差为 s 2 ? (?20)2 ? 0.06 ? (?10)2 ? 0.26 ? 0 ? 0.38 ? 102 ? 0.22 ? 202 ? 0.08 ? 104 ; ( 3 )根据题 意可知质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38 ? 0.22 ? 0.08 ? 0.68 ,由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规 定. 试题解析: (1) (2)质量指标值的样本平均数为

x ? 80 ? 0.06 ? 90 ? 0.26 ? 100 ? 0.38 ? 110 ? 0.22 ? 120 ? 0.08 ? 100 .
质量指标值的样本方差为

s2 ? (?20)2 ? 0.06 ? (?10)2 ? 0.26 ? 0 ? 0.38 ? 102 ? 0.22 ? 202 ? 0.08 ? 104 .
所以这种产品质量指标值 (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38 ? 0.22 ? 0.08 ? 0.68 , 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全 部产品 80%”的规定.

【2013,18】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试 验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

解:(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据的平均数为 y . 由观测结果可得

x=

1 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1 20

+3.2+3.5)=2.3,

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y=

1 (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6 20

+2.7+3.2)=1.6. 由以上计算结果可得 x > y ,因此可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:

从以上茎叶图可以看出, A 药疗效的试验结果有

7 7 的叶集中在茎 2,3 上, 而 B 药疗效的试验结果有 10 10

的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 【2012,18】某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如 果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1) 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 求当天的利润 y(单位: 元) 关于当天需求量 n(单位: 枝,n ? N ) 的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

①假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; ②若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 求当天的利润不少于 75 元的概率。 【解析】 (1)当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 17 ? 5 ? 85 ; 当日需求量 n ? 16 时,利润 y ? 5n ? 5(17 ? n) ? 10n ? 85 。 所以当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式为 y ? ? (2)①假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花, 则这 100 天的日利润(单位:元)的平均数为

?10n ? 85(n ? 16) (n? N ) 。 (n ? 17) ?85

y?

1 ? [10 ? (140 ? 85) ? 20 ? (150 ? 85) ? 16 ? (160 ? 85) ? 16 ? 85 ? 15 ? 85 ? 13 ? 85 ? 10 ? 85] 100 ? 76 .4 (元) 。
故当天的利润不少于 75 元的概率为

②利润不低于 75 元当且仅当日需求量不少于 16 枝。

p ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.10 ? 0.7 。
【2011,19】某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或 等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别成为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这样的
16 / 17

产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到了下面试验结果. A 配方的频数分布表 指标值分组 频数

?90,94?
8

?94,98?
20

?98,102?
42

?102,106?
22

?106,110?
8

B 配方的频数分布表
指标值分组 频数

?90,94?
4

?94,98?
12

?98,102?
42

?102,106?
32

?106,110?
10

(1)分别估计用 A 配方, B 配方生产的产品的优质品率; (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y (单位:元)

??2, t ? 94, ? 与其质量指标值 t 的关系式为 y ? ?2,94 ? t ? 102, 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率, 并 ?4, t …102. ?
求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润. 【解析】 (1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 产品的优质品率的估计值为 0.3 . 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品率的频率为

22 ? 8 ? 0.3 ,所以用 A 配方生产的 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品的优 100

质品率的估计值为 0.42 . (2)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 ,需其质量指标值 t …94 , 由试验结果知,质量指标值 t …94 的频率为 0.96 . 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为

1 ? ? 4 ? ? ?2 ? ? 54 ? 2 ? 42 ? 4 ? ? ? 2.68 (元) 100 ?

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