2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第2课时_图文

第七章

立体几何

第2课时

空间几何体的表面积和体积

第七章

立体几何

柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积 圆柱 体积

2πrh S 侧 = ______

Sh = ______ π r2 h V= ______

圆锥

πrl S 侧 = ______

1 2 1 Sh = ______ πr h V= ______ 3 3
1 2 2 2 = π r l -r 3

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面积

体积 1 V= (S 上 + S 下 + S上 S下)h 3 1 2 = π (r2 1+ r2+ r1r2)h 3

圆台

π(r1+r2)l S 侧 = ________

直棱柱 正棱锥 正棱台 球

Ch S 侧 = _______ 1 Ch′ S 侧 = ________ 2

Sh V= _______
1 V= Sh 3

1 1 ( C + C ′) h ′ S 侧 = _________ V= (S 上 + S 下 + S上 S下)h 2 3

4πR2 S 球面= _______

4 V= π R3 3
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温馨提醒:(1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和, 而全面积是侧面积与所有底面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、 扇环形.

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1.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半 径是( B ) A. 3 C. 4 B.3 D. 5

4 解析:设球半径为 R,则 π R3=4π R2, 3 ∴R=3.

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2.(2012· 高考广东卷 )某几何体的三视图如图所示,它的 体积为 ( C ) A. 72π B.48π C. 30π D. 24π

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解析:由三视图知,该几何体是由圆锥和半球组合而成的, 直观图如图所示,圆锥的底面半径为 3,高为 4,半球的半 径为 3. 1 4 1 V= V 半球 + V 圆锥 = · π · 33+ ·π · 32· 4=30π . 2 3 3

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3.(2013· 高考山东卷 )一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正 方形,其正视图如图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是 ( B )

A. 4 5, 8 8 C. 4( 5+ 1), 3

8 B. 4 5, 3 D. 8, 8

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解析:

由主视图知:四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,四棱锥的 1 8 2 高为 2, ∴ V= × 2 × 2= . 四棱锥的侧面是全等的等腰三角 3 3 1 形,底为 2,高为 5,∴S 侧= 4× × 2× 5= 4 5. 2

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4.(2014· 辽宁大连市双基测试 )一个几何体的三视图及其 尺寸如图所示(单位: cm),

2 24π 则该几何体的表面积为________cm .

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解析:由题可知,该几何体为一圆柱体且底面半径和母线分 别为 R=2 cm,L=4 cm,所以所求几何体的表面积为 2π RL+2π R2=16π +8π =24π (cm2).

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5. (2013· 高考天津卷 )已知一个正方体的所有顶点在一个球面 9π 3 上,若球的体积为 ,则正方体的棱长为________ . 2
4 9 解析:设正方体棱长为 a,球半径为 R,则 π R3= π , 3 2 3 ∴R= ,∴ 3a=3,∴a= 3. 2

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几何体的表面积 (1)(2013· 高考重庆卷) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( D ) A.180

B.200
C.220 D.240

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(2)(2013· 高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示,则其表面 3π . 积为________

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[ 解析 ](1) 由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直 四棱柱.等腰梯形的上底长为 2,下底长为 8,高为 4,腰 1 长为 5,直四棱柱的高为 10,所以 S 底= × (8+2)× 4× 2= 2 40, S 侧=10× 8+ 10×2+ 2× 10×5=200,S 表= 40+200= 240. (2)由三视图可知,该几何体为一个半径 r=1 的半球体,表 面积为底面圆面积加上半球面的面积,所以 S=π r2+2π r2 = 3π .
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(1)多面体的表面积的求法:
求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图 形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三 角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁,从而 架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系. (2)旋转体的表面积的求法: 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将曲面 展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之 和.
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1. (1)(2014· 河北省普通高中质量检测)某几何体的三视图(单 位:m)如图所示,则其表面积为( D ) A. (96+32 2)m2 B.(64+32 3)m2 C. (144+ 16 2+ 16 3)m2 D. (80+16 2+16 3)m2

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(2)(2012· 高考辽宁卷)一个几何体的三视图如图所示, 则该几 何体的表面积为 ________ 38 .

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解析: (1)依题意可得该几何体是一个组合体, 它的上部分与 下部分都是四棱锥,中间是一个正方体 (如图 ).上部分的表 1 1 面积为 × 4× 4× 2+ × 4× 4 2× 2= (16+ 16 2)m2,中间 2 2 1 2 部分的表面积为 4× 4×4=64 m ,下部分的表面积为 × 4 2 × 2 3 × 4 = 16 3 m2. 故 所 求 的 表 面 积 为 (80 + 16 2 + 16 3)m2. (2)根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱, 所以 S= 2× (4+ 3+12)+ 2π - 2π = 38.

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几何体的体积 (1)(2013· 高考湖北卷)一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为 V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两 个简单几何体均为多面体,则有( A.V1 <V2<V4 <V3 B. V1 <V3<V2<V4 C.V2<V1<V3<V4 D.V2<V3 <V1<V4 C)

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(2)(2012· 高考湖北卷)已知某几何体的三视图如图所示,则该 12π . 几何体的体积为________

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[解析 ](1)由三视图可知, 四个几何体自上而下依次是: 圆台、 1 圆柱、正方体、棱台,其体积分别为 V1= × 1×(π +2π + 3 7 1 2 3 4π )= π , V2= π ×1 × 2= 2π , V3= 2 = 8, V4= × 1× 3 3 28 (4+8+ 16)= ,于是有 V2<V1< V3< V4. 3 (2)由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱 (底面 圆半径为 2,高为 1)与中间一个圆柱 (底面圆半径为 1,高为 4)组合而成,故该几何体的体积是 V= π ×22× 1× 2+π × 12×4= 12π .

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给出几何体的三视图,求该几何体的体积或表面积时,可以 根据三视图还原出实物,画出该几何体的直观图,确定该几 何体的结构特征,并利用相应的体积公式求出其体积,求体 积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多 种.若所给几何体为不规则几何体,常用等体积转换法和割 补法求解.

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2. (1)(2014· 湖北省黄冈中学高三模拟考试)某几何体的三视 图如图所示,则此几何体的体积是 ( C ) 20 A. π 3 B.6π 10 C. π 3 16 D. π 3

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(2)(2014· 湖北省黄冈中学高三适应性考试 )一几何体的三视 图如图,它的体积为( A ) 3 A. 2 C. 2 4 B. 3 5 D. 2

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解析: (1)此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体,故此 10π 1?1 ? 几何体的体积是 V= 3× 4π × 2+ 4π × 1 = . 2? ? 3 (2)显然由三视图我们易知原几何体为左边是一个正方体, 右 边是正方体沿对角线切去一半所得到的三棱柱, 这样不难得 3 到体积为 . 2

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关于球的切、接问题
(2013· 高考辽宁卷)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个 顶点都在球 O 的球面上.若 AB= 3,AC= 4,AB⊥ AC,AA1 = 12,则球 O 的半径为 ( C ) 3 17 A. 2 B.2 10 13 C. 2 D. 3 10
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[解析 ]因为直三棱柱中 AB= 3, AC=4, AA1= 12, AB⊥ AC, 所以 BC= 5,且 BC 为过底面 ABC 的截面圆的直径.取 BC 的中点 D,则 OD⊥底面 ABC,则 O 在侧面 BCC1B1 内,矩 形 BCC1B1 的对角线长即为球直径,所以 2R= 122+ 52= 13 13,即 R= . 2

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解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分 析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截 面 (要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以 及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.

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转化思想求解几何体的体积问题

(2012· 高考山东卷) 如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱
长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1EDF
1 的体积为__________ . 6

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[解析]

三棱锥 D1? EDF 的体积即为三棱锥 FDD1E 的体

积.因为 E, F 分别为 AA1, B1C 上的点,所以在正方体 1 ABCDA1B1C1D1 中 △ EDD1 的 面 积 为 定 值 , F 到 平 面 2 1 1 1 AA1D1D 的距离为定值 1,所以 VF? DD1E= × × 1= . 3 2 6

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本题解答利用了转化思想, 把三棱锥 D1? EDF 的体积转化为 三棱锥 FDD1E 的体积.求解几何体的体积经常用到等体积 转化.在求几何体体积时还经常用到割补法,其方法是: (1) 补法是指把不规则 (不熟悉或复杂的 )几何体延伸或补成 规则的 (熟悉的或简单的 )几何体,把不完整的图形补成完整 的图形. (2)割法是把复杂的 (不规则的 )几何体切割成简单的 (规则的 ) 几何体. (3)等积法的前提是几何图形 (或几何体 )的面积 (或体积 )通过 已知条件转化为易求的面积(或体积 )问题.
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3. (2012· 高考湖北卷)已知某几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积为( B ) 8π A. 3 B.3π 10π C. 3 D. 6π

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解析:由三视图可知,此几何体 (如图所示)是底面半径为 1, 1 3 高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的 ,所以 V= 4 4 ×π ×12×4= 3π .

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