2014年高考数学重庆理科解析版(手录Word版)


2014 年普通高等学校招生考试(重庆卷) (理) 数学理科试题答案及解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复平面内表示复数 i(1 ? 2i) 的点位于 (A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 【答案】 :A 【解析】 :根据复数的乘法分配律可得 i (1 ? 2i ) ? 2 ? i ,因此该复数在复平面内所对应的坐 标为 (2,1) ,它在第一象限。 【点评】 :本题重点考查了复数的运算和复平面的对应关系,容易出错的地方是复数

z ? x ? yi , x, y 的位置容易记错。属于基本题,难度系数小。
2.对任意等比数列 {an } ,下列说法一定正确的是 (A) a1 , a3 , a9 成等比数列 (C) a2 , a4 , a8 成等比数列 【答案】 :D 【解析】 :根据等比数列中等比中项的性质可得,如果数列为等比数列,即若 2n ? l ? k , 则 有 a2n ? al ? ak 【点评】 : 本题重点考查了等比中项性质的运用, 容易出错的地方是与等差中项的性质混淆, 等差中项中间是加号连接的。属于容易题。 3.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x ? 3, y ? 3.5 ,则由该观测数据 算得的线性回归方程可能是 (A) ? y ? 0.4x ? 2.3 (B) ? y ? 2x ? 2.4 (C) ? y ? ?2x ? 9.5 (D) ? y ? ?0.3x ? 4.4 【答案】 :A
1

(B) a2 , a3 , a6 成等比数列 (D) a3 , a6 , a9 成等比数列

【解析】 : 根据线性回归方程过定点 ( x, y ) 的特点, 代入验证只有 A 选项的直线过点 ( x, y ) 。 【点评】 :本题考查了线性回归方程的性质,由于切合生活实际,所以线性回归方程也是高 考的热点问题。属于容易题。 4.已知向量 a ? (k ,3), b ? (1, 4), c ? (2,1), 且 (2a ? 3b) ? c ,则实数 k ? (A) ? 【答案】 :C 【 解 析 】 根 据 向 量 垂 直 的 性 质 可 知 ,

?

?

?

?

?

?

9 2

(B) 0 (C) 3

(D)

15 zhangwl 2

? ( a? 2

? b3 ?

? ) c?

? ? a ?2 c ?

? 3b ?

? c?2

( k? 2

? 3

)?

3k ?

6? 0 ?

3

【点评】 :本题考查了向量的坐标运算和垂直的充要条件 ( x1 x2 ? y1 y2 ? 0) ,容易出错的地 方是和向量坐标平行的充要条件 ( x1 y2 ? x2 y1 ? 0) 。属于容易题。 5.执行如题(5)图所示的程序框图,若输出 k 的值为 6 ,则判断框内可填入的条件是

1 3 (B) s ? 2 5 7 4 (C) s ? (D) s ? 10 5
(A) s ? 【答案】 :C 【解析】 :按照循环步骤:

开始

k=9,s=1 k=k-1

9 8 7 ,k ? 8 ? s ? ,k ? 7 ? s ? ,k ? 6, 10 10 10 7 此时需要不满足条件输出,则输出条件应为 s ? 。 10 s ? 1, k ? 9 ? s ?
【点评】 :本题考查了对程序框图循环结构的理解。何时开始运算, 运算几次能够达到条件是求出 s 的关键。属于容易题。 6.已知命题

是 否 输出 k 结束

s=s?

k k+1

p :对任意 x ? R ,总有 2 x ? 0 ; q : “ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件,则下列倒
是为真命题的是 (A) p ? q (C) ? p ? q 【答案】 :D 【解析】 :根据复合命题的判断关系可知,命题 p 为真,命题 q 为假,所以只有 p ? ?q 为
2

(B) ? p ? ? q (D) p ? ?q a

真。 【点评】 :本题主要考查了四种命题复合之后的关系,在对符号 ?和 ? 进行区分的时候容易 出错。属于容易题。 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

5 2 4 正视图 3 左视图 俯视图

(A)54 【答案】 :B

(B)60

(C)66

(D)72a

【解析】 :由三视图可知,该几何体是由下方的直三棱柱与上方的四棱锥组成的组合体,其 中直三棱柱底面为一个边长为 3,4,5 的直角三角形,高为 2,上方的四棱锥是底面边长是 3

1 ? 3? 4 ? 6 , 2 (2 ? 5) ? 5 35 (2 ? 5) ? 4 ? , S4 ? ? 14 ,剩下 竖直的三个面面积分别为 S 2 ? 3 ? 5 ? 15, S3 ? 2 2 2 1 15 的 一 个 面 是 一 个 直 角 边 长 为 3,5 的 直 角 三 角 形 , S5 ? ? 3 ? 5 ? 。所以表面积为 2 2
的正方形,一个侧面与直三棱柱的底面重合。此图形共有 5 个面,底面 S1 ?

S ? ? Si ? 60
i ?1

5

【点评】 :该题考查了三视图的立体图形还原和各个面的面积计算,在还原的过程中注意 以俯视图为主,侧视图和主视图为辅,有 5 个面需要进行计算,在计算的过程中容易漏算 和错算面积。属于容易题。 8.设 F1 ,F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使 a 2 b2
9 ab ,则双曲线的离心率为 4

得 PF 1 ? PF2 ? 1 ? PF 2 ? 3b , PF (A)

4 5 9 (B) (C) (D)3 3 3 4

【答案】 :B

3

【解析】 :根据双曲线的性质不妨设点 P 在右支上, 则由题意

3b ? 2a ? | PF1 |? ? | PF | ? | PF | ? 3 b ? 1 9b 2 ? 4a 2 9ab ? 2 2 ?? ?| PF1 | ? | PF1 |? ? ? 4a 2 ? 9ab ? 9b 2 ? 0 ? 4 4 ?| PF1 | ? | PF2 |? 2a ?| PF |? 3b ? 2a 2 ? ? 2
b 4 b2 25 5 2 ?e? 即 (4a ? 3b)(a ? 3b) ? 0 ? 4a ? 3b ? ? ? e ? 1 ? 2 ? a 3 a 9 3
【点评】 :本题主要是考查了双曲线离心率的公式以及双曲线的定义,然后利用离心率的定 义就可解答了。属于中档题。 9.某次联欢晚会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,则 同类节目不相邻的排法种数是 (A)72 (B)120(C)144(D)168a 【答案】 :B
3 【解析】 :歌舞类节目较多可先排 A3 ,然后将三个歌舞类节目中间的两个空排满,分成两种 3 2 1 情况:第一种,插入的是两个小品类节目,种类为 A3 A2 A6 ? 72 ;第二种,插入的是一个 3 1 2 1 小品一个相声,种类为 A3 C2 A2 A4 ? 48 。所以总的种树为 72+48=120

【点评】 : 考查了对排列组合中的分步和分类的综合运用, 需要对小品节目进行先进行分类, 然后就行分步的计算。属于中档题。 10.已知 ?ABC 的内角 A, B, C 满足 sin 2 A ? sin ? A ? B ? C ? ? sin ? C ? A ? B ? ? 满足 1 ? S ? 2 ,记 a, b, c 分别为 A, B, C 所对的边,则下列不等式一定成立的是 (A) bc ?b ? c ? ? 8 (C) 6 ? abc ? 12 【答案】 :A 【解析】 :由题目第一个条件可得: (B) ab ? a ? b ? ? 16 2 (D) 12 ? abc ? 24 a

1 , 面积 S 2

sin 2 A ? sin 2 B ? sin(2 A ? 2 B) ?

1 1 ? 2sin( A ? B) cos( A ? B) ? 2sin( A ? B) cos( A ? B) ? ? 2 2 1 1 2sin( A ? B)[cos( A ? B) ? cos( A ? B)] ? ? sin C sin A sin B ? 2 8
4

由 1 ? S ? 2 可得:

? 1 ?1 ? 2 ab sin C ? 2 ? 1 2 2 2 ? 1 2 2 2 ?1 ? bc sin A ? 2 ? 8 ? a b c sin C sin A sin B ? 64 ? 8 ? a b c ? 64 ? 8 ? abc ? 16 2 8 ? 2 ? 1 ?1 ? 2 ac sin B ? 2 ?
由三角形两边之和大于第三边可得 abc ? bc(b ? c) ,则 bc(b ? c) ? 8 同理 abc ? ab(a ? b) ,则 ab(a ? b) ? 8 。 综上:只有 A 选项的不等式是一定成立的。 【点评】 :考察了三角函数的恒等变换,面积公式以及构成三角形的条件,应用的公式比较 多,且综合性很强。属于难题。

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答 题卡相应位置上。 11.设全集 U ? {n ? N | 1 ? n ? 10}, A ? {1,2,3,5,8}, B ? {1,3,5,7,9}, 则(CU A) ? B ? ______. 【答案】 : {7, 9}

2, ?10 的 整 数 , 通 过 补 集 的 概 念 求 出 【解析】 : 根 据 集 合 的 概 念 求 出 全 集 是 1,
9} Cu A ? {4, 6, 7, 9, 10},根据交集概念求出结果为 {7,
【点评】 :本题重点考查集合的运算,容易出错的地方是审题出错,属于基本题,难度系数 较小 12.函数 f ( x) ? log x ? log 2 (2 x) 的最小值为_________. 【答案】 :-

1 4

【解析】 : 根 据 对 数 的 运 算 变 型 f ( x) ? log2 x ? ?log2 x ? log2 x ? , 换 元 法 令 t ? l o g 2 x ,

f (t ) ? t 2 ? t ,通过二次函数最直求出最小值即可
【点评】 :本题重点考察基本初等函数的运算,和复合函数值域问题,容易出错的地方是换 元法运用不熟练的考生没能把解析式变型。属中档题,难度系数一般

B 两点,且 13. 已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆心为 C 的圆 ?x ?1? ? ? y ? a? ? 4 相交于 A,
2 2

5

?ABC 为等边三角形,则实数 a ? _________.
【答案】 : 4 ? 15 【解析】 :根据直线和圆相交于 A,B 两点,C 是圆心,ABC 是等边三角形可知等边三角形边 长等于圆 C 的半径 2 ,所以 C 到直线的距离即为等边三角形 AB 边上的高,列出等式

a?a?2 a 2 ? 12

? 3 ,解得 a ? 4 ? 15 。

【点评】 : 本题重点考查平面解析几何图形的分析, 直线和圆的方程, 点到直线的距离公式, 易错点是没分析出半径和三角形边长的关系。属中档题,难度系数一般。 考生注意:14、15、16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给 分: 14. 过圆外一点 P 作圆的切线 PA ( A 为切点) ,再作割线 PB , PC 分别交圆于 B ,C , 若 PA ? 6 ,AC=8,BC=9,则 AB=________. 【答案】 :4 【解析】 : 通 过 弦 切 角 定 理 找 到 ?PAB ? ?C , 易 得 ?PAB 与 ?PCA 相 似 ,

PA PB AB ? ? 解得 AB=4 PC PA AC
【点评】 :本题重点考察圆的切线的性质,易错点是忘记弦切角定理,没找到相似。属基础 题,难度系数低 15. 已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 正半轴为极轴 ?y ? 3 ? t

线 l 与曲线 C 的公共点的极经 ? ? ________. 【答案】 : 5 【解析】 :把直线的参数方程化为一般方程 x-y+1=0,曲线 C 化为一般方程为 y ? 4 x ,求出直
2

线与 C 的交点为(1,2) ,则 ? ? 12 ? 22 ? 5 【点评】 : 本题考查参数方程化一般方程, 极坐标方程化直角坐标方程, 易错点为忘记公式。 属基础题,难度系数低
2 16. 若不等式 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a ?

1 a ? 2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 2

____________.
6

【答案】 : ?? 1, ? 2

? ?

1? ?

【解析】 : 通过不等式恒成立可知右边需小于等于左边的最小值, 求出 2x -1 ? x ? 2 的最小

值为

5 1 5 ? 1? 2 ,解不等式 a ? a ? 2 ? 得 a ? ?? 1, ? 2 2 2 ? 2?

【点评】 :本题主要考虑恒成立问题分析和绝对值不等式最值问题,易错点为求错绝对值不 等式的最小值。属基础题,难度系数低

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题 13 分, (I)小问 5 分, (II)小问 8 分 已知函数 f ?x ? ? 3 sin ??x ? ? ? ? ? ? 0, ? 且图像上相邻两个最高点的距离为 ? . (I)求 ? 和 ? 的值; (II)若 f ? 【答案】 :略 【解析】 : (Ⅰ)由题意 f ( x ) 最小正周期为 T ? ? ,从而 ? ?

? ?

?
2

?? ?

??

? ? 的图像关于直线 x ? 对称, 3 2?

3 ?? 2? ? 3? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ,求 cos?? ? ? 的值. 2 ? 3 ? ? ?2? 4 ?6
2? ? 2 。又 f ( x) 图象关于 T ?? ?

x?

?
3

对称, 故 2?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

,k ?Z , 而?

?

?

2

2

得k ? 0, ? ? ?

?

6

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( ) ? 3 sin(2 ?

?

?

2

? 1 ? 3 。所以 sin(? ? ) ? , ? )? 6 4 2 6 4

?
6

?? ?

2? ? ? ? 15 得0 ? ? ? ? ,故 cos(? ? ) ? ,于是 3 6 2 6 4

cos(? ?

3? ? ? ) ? sin ? ? sin[(? ? ) ? ] 2 6 6

? ? ? ? 1 3 15 1 3 ? 15 ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin ? ? ? ? ? 6 6 6 6 4 2 4 2 8
【点评】 :本题考查同角三角函数基本关系、三角函数图象及性质、三角恒等变换等知识, 此类问题合理使用公式可以化简解题过程, 注意角的范围对三角函数值符号的影响。 属于基
7

础题型。

18.(本小题满分 13 分) 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字 是 2,2 张卡片上的数字是 3,从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列(注:若三个数 a, b, c 满 足 a ? b ? c ,则称 b 为这三个数的中位数) 【答案】 :略
3 3 C4 ? C3 5 【解析】 : (Ⅰ)由古典概型计算公式可得 P ? ? 。 3 C9 84

(Ⅱ) X 的可能值为 1, 2,3 ,其分布列为

X
P

1

2

3
11 12

17 42 17 43 1 47 ? 2 ? ? 3? ? 从而 E ( X ) ? 1? 。 42 84 12 28

43 84

【点评】 :本题考查离散型随机变量的分布列及期望,属于传统题型,难度系数较小。

19.(本小题满分 12 分) 如图(19) ,四棱锥 P ? ABCD ,底面是以 O 为中心的菱形, PO ? 底面 ABCD ,

AB ? 2, ?BAD ?

?
3

, M 为 BC 上一点,且 BM ?

1 , MP ? AP . 2

(1)求 PO 的长; (2)求二面角 A ? PM ? C 的正弦值。

【答案】 :略 【解析】 : (Ⅰ)
题(19)图

8

连结 AC , BD ,因 ABCD 为菱形,则 AC ? BD ? O ,且 AC ? BD 以 O 为坐标原点, OA, OB, OP 的方向分别为 x轴 , y轴 , z轴 的正方向,建立空间直角坐 标 系 O ? xyz 。 因 ?BAD ?

??? ? ??? ? ??? ?

?
3

, 则 OA ? AB?cos

?
6

? 3 , OB ? AB ? sin

?
6

? 1 , 所以

??? ? ??? ? O(0,0,0) , A( 3,0,0) , B(0,1, 0) ,C(? 3,0,0) ,OB ? (0,1,0) , BC ? (? 3, ?1,0) 由
BM ?

???? ? 1 ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? 1 3 1 3 3 , BC ? 2 知 BM ? BC ? (? , ? , 0) 从 而 OM ? OB ? BM ? (? , , 0) 2 4 4 4 4 4 3 3 , , 0) 4 4

即 M (?

设 P(0, 0, a)(a ? 0) ,AP ? (? 3,0, a) ,MP ? (

??? ?

????

???? ??? ? 3 3 P ?A P ,MP ? AP ? 0 因M , ? , a) , 4 4

即: ?

3 3 3 3 ? a 2 ? 0 所以 a ? , a ? ? (舍去) ,故 PO ? 4 2 2 2

(2)由(1)知 AP ? (? 3, 0,

??? ?

???? ??? ? 3 3 3 3 3 ) , MP ? ( , ? , ) , CP ? ( 3, 0, ) 4 4 2 2 2

设平面 APM 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 PMC 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 )

??

?? ?

? 3 z1 ? 0 ?? 3x1 ? ?? ??? ? ?? ???? ?? 5 3 ? 2 由 n1 ? AP ? 0 , n1 ? MP ? 0 得 ? 得 n1 ? (1, , 2) 3 ? 3 x ?3 y ? 3 z ?0 1 1 1 ? ? 4 4 2 ? 3 3 3 x2 ? y2 ? z2 ? 0 ?? ? ?? ? ???? ?? ? ??? ? ? ? 4 4 2 由 n2 ? MP ? 0 , n2 ? CP ? 0 得 ? 得 n2 ? (1, ? 3, ?2) ? 3x ? 3 z ? 0 2 2 ? ? 2

9

?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 15 从而法向量 n1 , n2 的夹角余弦值 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ?? 5 n1 , n2
故所求二面角 A ? PM ? C 的正弦值为

10 。 5

【点评】 :本题考查利用空间直角坐标法解决立体几何问题, ,利用空间向量的基本运算,便 可解决问题,计算量偏大,难度中档。

20.(本小题满分 12 分.(Ι)小问 4 分, (ΙΙ)小问 3 分, (ΙΙΙ)小问 5 分) 已知函数 = 2 ? ?2 ? (, , ∈ )的导函数 ‘ ()为偶函数,且曲线在 = () 在点(0, (0))处的切线的斜率为4 ? (Ι)确定, 的值; (ΙΙ)若 = 3,判断 ()的单调性; (ΙΙΙ)若()有极值,求的取值范围. 【答案】 : (Ι)对()求导得 ‘ = 2 2 + 2 ?2 ,由 ‘ 为偶函数, 知 ‘ ? = ‘ , 即2 ? 2 + ?2 = 0,因 2 + ?2 > 0,所以 = . 又 ‘ 0 =2 + 2 ? = 4 ? ,故 = 1, = 1. (ΙΙ)当 = 3时, = 2 ? ?2 ? 3,那么 ‘ = 2 2 + 2 ?2 -3 ≥ 2 2 2 ? 2 ?2 ? 3 = 1 > 0 故 在 R 上为增函数. (III)由(Ι)知 f ?( x) ? 2e2x +2e-2x ? c ,而 2e +2e
2x -2x

? 2 2e 2x ? 2e-2x =4 ,当 x ? 0 时

等号成立。 下面分三种情况进行讨论。 当 c ? 4 时,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2e 当 c =4 时,对任意 x ? 0 , f ?( x) ? 2e
2x

+2e-2x ? c ? 0 ,此时 f ( x) 无极值;

2x

+2e-2x ? 4 ? 0 ,此时 f ( x) 无极值;

2x 当 c ? 4 时,令 e =t ,注意到方程 2t ?

c ? c 2 ? 16 2 ? c ? 0 有两根 t1,2 ? ? 0, t 4

即 f ?( x) ? 0 有两个根 x1 ?

1 1 ln t1 或 x2 ? ln t2 2 2

当 x1 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ; 又当 x ? x2 时,f ?( x) ? 0 , 从而 f ( x ) 在 x =x2 处取得最小值。
10

综上,若 f ( x ) 有极值,则 c 的取值范围为 ? 4, +? ? 。

【点评】 :此题考察内容为求导, (Ι)问考查复合函数求导,和导函数和原函数切线斜率得 关系,以及偶函数得基本性质。考察形式常规,难度中等。 (ΙΙ)问结合基本不等式判断导 函数得符号, 方法并不常规, 需要通过观察 2 + ?2 积定的形式使用基本不等式判断符号。 (ΙΙΙ) 含参数的导函数极值问题研究, 需要结合第二问的结论围绕导函数与 0 的大小关系进 行讨论。难度中等。 21.如题(21)图,设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ,点 D 在椭 a 2 b2

圆上, DF 1

? F1F2 ,

2 | F1F2 | . ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 |

(1)求该椭圆的标准方程; 是否存在圆心在 y 轴上的圆, 使圆在

x 轴的上方与椭圆两个交点,

且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点, 求圆的半径.

2 2? 2 【答案】 :解: (1)设 F ( ( 1 -c,0),F 2 c,0),其中 c ? a b ,



F1F2 DF1

=2 2 得 DF1 =

F1F2 2 2

=

2 c. 2

从而 S?DF1F2 ?

1 2 2 2 ,故 c ? 1 . DF1 F1F2 ? c ? 2 2 2

从而 DF1 =

2 DF1 ? F1F2 得 DF 2 = DF 2 ? F F 2 ? 9 ,因此 DF = 3 2 . ,由 2 1 1 2 2 2 2 2
2 2 2

所以 2a = DF1 + DF2 =2 2 ,故 a= 2,b ? a -c =1 . 因此,所求椭圆方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 2 x2 ? y 2 ? 1相交,P 1 (x1 , y1 ), P 2 (x 2 , y2 ) 2

(2)如 (21) 图, 设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

是两个交点, y1 ? 0 , y2 ? 0 , F1P 1,F2 P 2 是圆 C 的切线,且 F1P 1 ? F2 P 2 .由圆和椭圆
11

的的对称性,易知 x2 ? ?x1, y1 ? y2 , PP 1 2 =2 x1 . 由(1)知 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,所以 F 1P 1 =(x1 +1,y1 ), F 2P 2 =(-x1 -1,y1 ) .

???? ?

???? ?

?( x1 ? 1) ? 再由 F 得 1 P 1? F 2 P 2
2

y

2 1

?0 .

由 椭 圆 方 程 得 1?

x12 ? ( x1 ? 1) 2 , 即 2

4 3x12 ? 4x1 ? 0 ,解得 x1 ? ? 或 x1 ? 0 . 3
当 x1 ? 0 时, P ,P2 重合,此时题意要求的圆不存在。 1 当 x1 ? ?

4 时,过 P ,F2 P2 垂直的直线的交点即为圆心 C . ,P2 分别与 F1P 1 1 3

C 的半 由 F1P ,F2 P2 是圆 C 的切线,且 F1P 1 1 ?F 2P 2 ,知 CP 1 ? CP 2 ,又 CP 1 = CP 2 ,故圆
径 CP 1 =

2 4 2 PP 2 x1 ? 1 2 ? 2 3

【点评】 :第一问,常规出题解析几何,几何特征结合代数运算求出 a,c. 第二问,椭圆结合圆的切线问题,关键在于利用图形对称性设出点的坐标,结合垂直,以及 点在圆上完成计算。本题坐标设法合理计算量并不太大。难度中等偏上。

22.(本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 设1 = 1, +1 =
2 ? 2 + 2 +

( ∈ ? )

(Ⅰ)若 b=1,求2 ,3 及数列 的通项公式; (Ⅱ) 若 b=-1, 问: 是否存在实数 c 使得2 < < 2 +1 对所有 ∈ ? 成立?证明你的结论。 【答案】 : (Ⅰ)2 = 2,3 = 2 + 1. (Ⅱ)见解析 【解析】 : (Ⅰ)解法一:2 = 2,3 = 2 + 1, 由题设条件知 从而 ? 1 故 ? 1
2 2

+1 ? 1

2

= ? 1 2 +1

是首项为 0 公差为 1 的等差数列 ( ∈ ? )

= n ? 1,即 = ? 1 + 1

解法二:2 = 2,3 = 2 + 1.
12

可写为1 = 1 ? 1 + 1,2 = 2 ? 1 + 1,3 = 3 ? 1 + 1.因此猜想 = ? 1 + 1 下面用数学归纳法证明上式: 当 n=1 时结论显然成立. 假设当 n=k 时结论成立,即 = ? 1 + 1 ,则 +1 = ? 1
2

+ 1 + 1 = ? 1 + 1 + 1 = + 1 ? 1 + 1 ( ∈ ? )

这就是说当 n=k+1 时结论也成立,所以 = ? 1 + 1 (Ⅱ)解法一:设f x = 令 = f(c),即 c= ? 1
2 2

+ 1 ? 1,则 +1 = f( ) 1 4

? 1

+ 1 ? 1,解得 c =

下面用数学归纳法证明加强命题 2n < < 2 +1 < 1 1 当 n=1 时,2 = f 1 = 0,3 = f 0 = 2 ? 1,所以2 < 4 < 3 < 1,结论成立。 假设 n=k 时结论成立,则2k < < 2k+1 < 1. 易知f x 在 ?∞,1 上为减函数,从而 c= f(c)> f(2 +1 )> f(1)=2 ,即 1 > c >2 +2 >2 再由f x 在 ?∞,1 上为减函数得 c = f c < 2 +2 < 2 = 3 < 1 故 c<2 +3 <1,因此2( +1) < < 2
+1 +1

< 1.这就是说 n=k+1 的时候也成立,

1 综上,符合条件的 c 存在,其中一个值为 c= 4 解法二:设f x = 先证:0≤ ≤1 ? 1
2

+ 1 ? 1,则 +1 = f( ) ①

( ∈ ? )

当 n=1 时,结论明显成立. 假设 n=k 时结论成立,即 0≤ ≤1 易知f x 在 ?∞,1 上为减函数,从而 0 = f 1 ≤ f ≤ f 0 = 2 ? 1 < 1 即 0≤ +1 ≤1,这就是说,当 n=k+1 时结论成立,故①成立. 再证:2n < 2 +1 ( ∈ ? ) ②

当 n=1 时, 2 = f 1 = 0,3 = f 2 = f 0 = 2 ? 1,有2 < 3 , 即 n=1 时②成立. 假设 n=k 时,结论成立,即2k < 2 +1 .
13

由①及f x 在 ?∞,1 上为减函数,得 2 +1 = f 2 > 2 +1 = 2 +2 2( +1) = f 2 +1 < 2 +2 = 2
+1 +1

这就是说,当 n=k+1 时②成立,所以②对于一切 ∈ ? 成立 由②得2n < 即 2 + 1
2 2 2 ? 22 + 2 ? 1 2 < 2 ? 22 + 2

1 因此2n < ③ 4 又由①、②在 ?∞,1 上为减函数得f 2 > 2 +1 即2 +1 > 2n . 所以2 +1 > 1 2 2 +1 ? 22 +1 + 2 ? 1.解得2 +1 > 4④

1 综上,由②③④知存在 c= ,使得2 < < 2 +1 对所有 ∈ ? 成立。 4 【点评】 :第一问主要考查递推关系求通项公式,方法一通过变形配方得到 an ? 1
2

是首

项为 0 公差为 1 的等差数列, 从而可以求出通项公式, 方法二通过特殊到一般观察前几项的 规律探索出通项公式,运用数学归纳法证明,难度一般;第二问把数列与函数的单调性结合 考查,同时运用数学归纳法证明不等式,比较抽象,难度系数较大。

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