【2014理科数学一模】山东省各市2014年高三第一次模拟考试数学理科试题(word版_含答案)_图文

绝密★启用并使用完毕前

淄博 理 科 数 学
本试卷, 分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 共 4 页, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县 和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改 液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ? A. ? 0, 1? B. ?1, 2? C. (??, ?1) ? (0, ??) D. (??, ?1) ? (1, ??)

2.在复平面内,复数 A.第一象限

2?i 对应的点位于 i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

3.已知 tan ? =2 ,那么 sin 2? = A. ?

4 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.

3 5

4.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 = A.10 B.18 C.20 D.28

5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 2 ,则输出的 x 的 值为 A.3 B.126 C.127 D.128

高三数学(理科)试题

第 1 页(共 54 页)

6.如图所示,曲线 y ? x 2 ? 1 , x ? 2, x ? 0,y=0 围成的 阴影部分的面积为

A. C.

? |x
0

2

2

? 1 |dx ? 1)dx

B. | D.

? (x
0
1 2 0

2

2

? 1)dx |
2 1

? (x
0

2

2

? (x

? 1)dx ? ? (1 ? x 2 )dx

7.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A ? BCD 的正视图 与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为 A.

2 2 2 4

B.

1 2 1 4

C.

D.

8.下列说法正确 的是 .. A.“ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的充分不必要条件;
2 B.已知随机变量 X ? N 2, ? ,且 P ? X ? 4? ? 0.84 ,则 P ? X ? 0? ? 0.16 ;

?

?

C.若 a, b ??0,1? ,则不等式 a ? b ?
2 2

1 ? 成立的概率是 ; 4 4

D.已知空间直线 a, b, c ,若 a ? b , b ? c ,则 a //c .
2 9. 过抛物线 y ? 4 x 焦点 F 的直线交其于 A ,B 两点,O 为坐标原点. 若 | AF |? 3 ,

则 ?AOB 的面积为 A.
2 2

B. 2

C.

3 2 2

D.2 2

10 .若函数 f ( x ) 的导函数在区间 ? a, b ? 上的图像关于直线 x ?

a?b 对称,则函数 2

y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是

A.① ④

B.② ④

C.② ③

D.③ ④

高三数学(理科)试题

第 2 页(共 54 页)

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 的解集为 .

? x? y ?5 ? 0 ? x ? 2 y ?1 ? 0 12.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ? x ?1 ? 0 ?
13 .在直角三角形 ABC 中, ?C ? 900 , AB ? 2 , AC ? 1 ,若 AD ?



????

??? ? ??? ? CD ? CB ? . 14.从 0,1, 2,3, 4 中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数是
(用数字作答) . 15.已知在平面直角坐标系中有一个点列: P 1 ? 0,1? , P 2 ( x2 , y2 ) ,……,

? 3 ??? AB ,则 2

Pn ( xn , yn ) n N* ? .若点 P ? ? n ( xn , yn ) 到点 P n ?1 ? xn?1 , yn?1 ? 的变化关系为:

? xn?1 ? yn ? xn ? n ? N* ? ,则 | P2013 P2014 | 等于 ? y ? y ? x n n ? n?1 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.
16. (本题满分 12 分) 已 知 向 量 a ? (cos( 2 x ?



?

?
3

? ), cos x ? sin x) , b ? (1, cos x ? sin x) , 函 数

? ? f ( x) ? a ? b .
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

C 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 f ( A) ? (Ⅱ)在 ?AB

3 ,a ? 2 , 2

B?

?
3

,求 ?ABC 的面积 S .

17. (本题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,

AB ∥ CD , ?ABC ? 600 ,AB ? 2CB ? 2 . 在梯形 ACEF 中, EF ∥ AC ,且 AC =2EF , EC ⊥ 平面 ABCD .
(Ⅰ)求证: BC ? AF ; (Ⅱ)若二面角 D ? AF ? C 为 45 ,求 CE 的长.
0

高三数学(理科)试题

第 3 页(共 54 页)

18. (本题满分 12 分) 中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜).进入总决赛

2 1 ,乙队获胜的概率为 ,假设 3 3 每场比赛的结果互相独立.现已赛完两场,乙队以 2 : 0 暂时领先.
的甲乙两队中,若每一场比赛甲队获胜的概率为 (Ⅰ )求甲队获得这次比赛胜利的概率; (Ⅱ)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量 X ,求随机变量 X 的分布列和 数学期望 EX . 19.(本题满分 12 分) 若数列 ? An ? 满足 An?1 ? An 2 , 则称数列 ? An ? 为“平方递推数列”. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 9 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x ? 2x 的图象上,其中 n 为正整数.
2

(Ⅰ)证明数列 ?an ?1 ? 是“平方递推数列”,且数列 ?lg(an ?1)? 为等比数列; (Ⅱ )设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项积为 Tn , 即 Tn ? (a1 ? 1)(a2 ? 1)?(an ? 1) ,求 lg Tn ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记 bn ? 使 Sn ? 4026 的 n 的最小值. 20. (本题满分 13 分) 已知椭圆 C :

lg Tn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ,并求 lg(an ? 1)

2 x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 2 ,且过点( 1 , ) ,右焦点 2 a b 2
1 , 线段 AB 2

为 F2 . 设 A ,B 是 C 上的两个动点, 线段 AB 的中点 M 的横坐标为 ? 的中垂线交椭圆 C 于 P , Q 两点. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )求 F2 P ? F2Q 的取值范围. 21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e

???? ? ???? ?

? ln(2x) . (Ⅰ )设 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 m 的值并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ )当 m ? 2 时,证明: f ( x) > ? ln 2 .
高三数学(理科)试题 第 4 页(共 54 页)

x ?m

数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C 10.D 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (理)[?2,3] 12.9 13. (理)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 16. (理科 本题满分 12 分) 解: (Ⅰ ) f ( x) ? a ? b ? cos( 2 x ?

9 2

14. (理)60

15. (理)2

1006

? ?

?
3

) ? cos 2 x ? sin 2 x

? cos(2 x ? ) ? cos 2 x ? cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? cos 2 x 3 3 3

?

?

?

?

3 3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 sin(2 x ? ) …………3 分 2 2 2 2 3

令?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ( k ? Z ) ,得 ?

5? ? ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) , 12 12

所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ?

? ? 5? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) . …………6 分 12 ? 12 ?

(Ⅱ )由 f ( A) ?

? 1 3 ,得 sin( 2 A ? ) ? , 3 2 2
2 ? ? 5 ? ,所以 ? 2 A ? ? ? , 3 3 3 3
…………………………… 得b ? 8分

因为 A 为 ?ABC 的内角,由题意知 0 ? A ? 因此 2 A ?

? 5 ? ? ,解得 A ? , 4 3 6 ? a b ? 又 a ? 2 , B ? ,由正弦定理 , 3 sin A sin B
由A?

?

6 ,……………… 10 分

?

4

,B ?

?

3

,可得 sin C ? sin(? ? ( A ? B)) ? sin( A ? B)

= sin A cos B ? cos A sin B ?

6? 2 2 1 2 3 ? ? ? ? ,…………………11 分 4 2 2 2 2

高三数学(理科)试题

第 5 页(共 54 页)

所以, ?ABC 的面积 S ? 17. (理科

1 1 6 ? 2 3? 3 ab sin C ? ? 2 ? 6 ? = .…12 分 2 2 4 2

本题满分 12 分)

解证: (Ⅰ )证明:在 ?ABC 中, AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos 60? ? 3 所以 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,由勾股定理知 ?ACB ? 90? 所以 BC ? AC . 又因为 EC ⊥ 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD 所以 BC ? EC . 所以 BC ? AF . 点,建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz . 设 CE =h , 则 C ? 0,0,0? , A ………………………4 分 ………………………6 分 又因为 AC ? EC ? C 所以 BC ⊥ 平面 ACEF ,又 AF ? 平面 ACEF (Ⅱ )因为 EC ⊥ 平面 ABCD ,又由(Ⅰ )知 BC ? AC ,以 C 为原 ……2 分

?

3, 0, 0

?

, F? ?

? 3 ? , , 0, h ? ? 2 ? ?

? 3 1 ? ???? ? 3 1 ? , AD ? ? ? D? , ? , 0 ? ? 2 ,? 2 ,0? ?, ? 2 2 ? ? ? ? ?

??? ? ? ? 3 AF ? ? ? ? 2 , 0, h ? ?. ? ?

…………………………8 分

???? ? ? AD ? n1 ? 0, 设平面 DAF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ? ? ? AF ? n1 ? 0.
3 2h

? ?? ? 所以 ? ?? ? ?

3 1 x ? y ? 0, 2 2 3 x ? hz ? 0. 2

令 x ? 3 .所以 n1 ? ( 3, ?3, ) . 又平面 AFC 的法向量 n2 ? (0,1,0) 所以 cos 45 ?
?

……………………………9 分 ……………………………10 分

n1 ? n2 n1 ? n2

?

2 6 , 解得 h ? . ……………………11 分 4 2
第 6 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

所以 CE 的长为

6 . 4

……………………………………12 分

18. (理科 本题满分 12 分) 解: (Ⅰ )设甲队获胜为事件 A ,则甲队获胜包括甲队以 4 : 2 获胜和甲队以 4 : 3 获 胜两种情况.

? 2 ? 16 设甲队以 4 : 2 获胜为事件 A ……………………2 分 1 ,则 P ? A 1? ? ? ? ? ? 3 ? 81
1 设甲队以 4 : 3 获胜为事件 A2 ,则 P ? A2 ? ? C4 ? ?? ? ?

4

1 ?2? 3 ?3?

3

2 64 ………4 分 ? 3 243

16 64 112 ? ? 81 243 243 5, 6, 7. (Ⅱ )随机变量 X 可能的取值为 4, P ? A? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ?
2

…………………………… 6 分

?1? 1 P ? X ? 4? ? ? ? ? ? 3? 9 1 2 1 4 1 P ? X ? 5 ? ? C2 ? ? ? ? 3 3 3 27 1 ? 2 ? 28 1 1 ?2? P ? X ? 6? ? C3 ? ?? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 81 1 ? 2 ? 32 1 P ? X ? 7 ? ? C4 ? ?? ? ? 3 ? 3 ? 81
3 1 4 3 2 4

…………………………… 7 分 ……………………………… 8 分

…………… …………… 9 分

…………………………………… 10 分
3

1 ? 2 ? 1 3 ? 2 ? 1 2 32 64 32 (或者 P ? X ? 7 ? ? C ? ? ? ? ? +C4 + = ) ? ? ? ? ? 3 ?3? 3 ? 3 ? 3 3 243 243 81 X 的概率分布为:
X
P

4

5

6

7

1 9

4 27

28 81

32 81

1 4 28 32 488 EX ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 9 27 81 81 81
19.(理科 本题满分 12 分)
2

……………………………12 分

解证:(Ⅰ )由题意得: an?1 ? an ? 2an ,即 an?1 ? 1 ? (an ? 1) ,
2

高三数学(理科)试题

第 7 页(共 54 页)

则 ?an ?1 ? 是“平方递推数列”.

……………………………………………2 分

对 an?1 ? 1 ? (an ? 1)2 两边取对数得 lg(an?1 ? 1) ? 2lg(an ? 1) , 所以数列 ?lg(an ?1)? 是以 ?lg(a1 ? 1)? 为首项, 2 为公比的等比数列.………4 分 (Ⅱ )由(Ⅰ )知 lg(an ? 1) ? lg(a1 ?1) ? 2n?1 ? 2n?1 ……………………………5 分

lg Tn ? lg(a1 ? 1)(a2 ? 1)?(an ? 1) ? lg(a1 ? 1) ? lg(a2 ?1) ? ?? lg(an ? 1)
? 1? (1 ? 2n ) ? 2n ? 1 1? 2
……………………………………8 分

lg Tn 2n ? 1 1 ………………………………9 分 ? n?1 ? 2 ? ( )n?1 lg(an ? 1) 2 2 1 1? n 1 ……………………………………10 分 Sn ? 2n ? 2 ? 2n ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 1 又 Sn ? 4026 ,即 2n ? 2 ? n ?1 ? 4026, n ? n ? 2014 …………………11 分 2 2 1 又 0 ? n ? 1 ,所以 nmin ? 2014 . …………………………………12 分 2
(Ⅲ ) bn ? 20. (理科 本题满分 13 分) 解: (Ⅰ ) 因为焦距为 2 ,所以 a ? b ? 1.因为椭圆 C 过点( 1 ,
2 2

2 ) , 2
y P M A F1 O B

1 1 2 2 所以 2 ? 2 ? 1.故 a ? 2 , b ? 1 … 2 分 a 2b
所以椭圆 C 的方程为

x ? y 2 ? 1 …………4 分 2

2

F

(Ⅱ ) 由题意,当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方 程 为 x ? ?

Q

Q

?

1 , 此 时 P ? 2, 0 、 2 ???? ? ???? ? 2, 0 ,得 F2 P ? F2Q ? ?1.……… 5 分

?

?

?

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k ( k ? 0 ), M ( ?

1 , m ) ( m ? 0 ), 2

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?
高三数学(理科)试题 第 8 页(共 54 页)

? x12 ? y12 ? 1, ? y ? y2 ? 由 ? 2 得 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 1 ? 0 ,则 ?1 ? 4mk ? 0 , 2 x1 ? x2 ? x2 ? y 2 ? 1, 2 ? ? 2
故 4mk ? 1 . ………………………………………… 6 分

此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? ?4m , PQ 的直线方程为 y ? m ? ?4m ? x ? 即 y ? ?4mx ? m .

? ?

1? ?. 2?

? y ? ?4mx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y ,整理得 (32m2 ? 1) x2 ? 16m2 x ? 2m2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
设 P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ? 所以 x3 ? x4 ? ? 于是

16m 2 2m 2 ? 2 x x ? , . ……………………………9 分 3 4 32m 2 ? 1 32m 2 ? 1

???? ? ???? ? F2 P ? F2Q ? ? x3 ? 1?? x4 ? 1? ? y3 y4 ? x3 x4 ? ? x3 ? x4 ? ? 1 ? ? 4mx3 ? m ?? 4mx4 ? m ?

? ? 4m 2 ? 1? ? x3 ? x4 ? ? ?16m 2 ? 1? x3 x4 ? m 2 ? 1

?

(1 ? 16m2 )(2m2 ? 2) (4m2 ? 1)(?16m2 ) 19m 2 ? 1 2 ? ? 1 ? m ? .…… 11 分 32m2 ? 1 32m2 ? 1 32m 2 ? 1

1 7 , m) 在椭圆的内部,故 0 ? m 2 ? 2 8 ???? ? ???? ? 19 51 2 ? 令 t ? 32m ? 1 , 1 ? t ? 29 ,则 F2 P ? F2Q ? . 32 32t ???? ? ???? ? 125 又 1 ? t ? 29 ,所以 ?1 ? F2 P ? F2Q ? . 232
由于 M ( ? 综上, F2 P ? F2Q 的取值范围为 ? ?1,

…………… 12 分

? ?

125 ? ?. 232 ?

…………………… 13 分

高三数学(理科)试题

第 9 页(共 54 页)

21. (理科 本题满分 12 分) 解证: (Ⅰ ) f ?( x ) ? e 即e
1? m
x?m

1 ? ,由 x ? 1 是 f ( x) 的极值点得 f ?(1) ? 0 , x
………………………………2分
x ?1

? 1 ? 0 ,所以 m ? 1 .

于是 f ( x) ? e x?1 ? ln(2 x),(x ? 0) , f ?( x) ? e 由 f ??( x) ? e
x ?1

?

1 , x

?

1 ? 0 知 f ?( x ) 在 x ? (0, ??) 上单调递增,且 f ?(1) ? 0 , x2
……………………………4分

所以 x ? 1 是 f ?( x) ? 0 的唯一零点.

1 , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以,函数 f ( x) 因此,当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (
在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. ……………………………6分 (Ⅱ )解法一:当 m ? 2 , x ? (0, ??) 时, e
x?m

? e x?2 ,

故只需证明当 m ? 2 时, f ( x) > ? ln 2 . ………………………………8分
x?2 当 m ? 2 时,函数 f ?( x ) ? e ?

1 在 (0, ??) 上单调递增, x

又 f ?(1) ? 0, f ?(2) ? 0 , 故 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有唯一实根 x0 ,且 x0 ? (1, 2) .…………………10 分 当 x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , 从而当 x ? x0 时, f ( x) 取得最小值且 f ?( x0 ) ? 0 . 由 f ?( x0 ) ? 0 得 e 故 f ( x) ? f ( x0 )
x0 ? 2

?

1 , ln x0 ? 2 ? x0 .…………………………………12 分 x0

f ( x0 ) ? ex0 ?2 ? ln(2x) =

1 1 ? ln 2 ? 2 ? x0 = ( ? x0 )2 ? ln 2 ? ? ln 2 . x0 x0
第 10 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

综上,当 m ? 2 时, f ( x) ? ? ln 2 . 解法二:当 m ? 2 , x ? (0, ??) 时, e

…………………………14 分
x?m

? e x ?2 ,又 e x ? x ? 1 ,所以

e x ?m ? e x ?2 ? x ? 1 .

………………………………………8分

取函数 h( x) ? x ? 1 ? ln(2 x)( x ? 0) ( x ? 0) , h' ( x) ? 1 ?

1 ,当 0 ? x ? 1 时, x

h' ( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? 1 时, h' ( x) ? 0 ,h( x) 单调递增,得函数 h( x) 在
x ? 1 时取唯一的极小值即最小值为 h(1) ? ? ln 2 . ……12 分
所以 f ( x) ? ex?m ? ln(2x) ? ex?2 ? ln(2x ) ? x ? 1? ln(2x )? ? ln 2,而上式三个不等 号不能同时成立,故 f ( x) > ? ln 2 .…………………………………14 分

高三数学(理科)试题

第 11 页(共 54 页)

临沂市高三教学质量检测考试
理科数学
本试卷分为选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如 需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 z ?

1? i 在复平面上对应的点的坐标为 2?i 1 1 3 1 1 1 (A) ( , ? ) (B) ( , ? ) (C) ( , ) 5 5 5 5 5 5

(D) ( , ? )

1 5

3 5

2.已知集合 A ? x | x ? 1 ? 2 , B ? ? x | log 2 x ? 2? ,则 A ? B = (A)(-1,3) (B)(0,4) (C)(0,3) (D)(-1,4)

?

?

3.若向量 a ? (2cos? , ?1), b ? ( 2,tan ? ) ,且 a / / b ,则 sin ? ?

(A)

2 2

(B) ?

2 2

(C)

? 4

(D) ?

?
4

4.下列说法正确的是 (A)“a>b”是“ a ? b ”的充分不必要条件
2 2

(B)命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0
2

2

(C)若 p ? q 为假命题,则 p、g 均为假命题
高三数学(理科)试题 第 12 页(共 54 页)

(D)若 f ( x ? 1) 为 R 上的偶函数,则 f ( x ) 的图象关于直线 x=l 对称 5.函数 f ( x) ? sin x ? ln x 的部分图象为

6.若曲线 f ( x) ? x sin x ? 1在 x ?

?
2

处的切线与直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 互相垂直,则

1 ( ax 2 ? )5 展开式中 x 的系数为 x
(A)40 (B) -10 (C)10 (D) -40 7.已知 an ? 3n ? 1, n ? N ? ,如果执行右边的程序框图,那 么输出的 S 等于 (A)17.5 (C)175 8.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: (B)35 (D)350

? ?a ? ? bx ? .若某同学根据上表中的 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y
最后两组数据(5,2)和(6,0)求得的直线方程为 y ? b ' x ? a ' ,则以下结论正确的是

? ? b ', a ? ? a' (A) b ? ? b ', a ? ? a' (C) b

? ? b ', a ? ? a' (B) b ? ? b ', a ? ? a' (D) b

9.已知一个三棱锥的三视图如图,其中俯视图是斜边长为 2 的等 腰直角三角形,该三棱锥的外接球的半径为 2 ,则该三棱锥的体 积为 (A)

2 3
高三数学(理科)试题

(B)

4 3

第 13 页(共 54 页)

(C)

2 3

(D)

2 2 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点, 若双曲线右支上存 a 2 b2 ????? ????? ???? ? ???? ???? ? F M ? 3 F2 M ,则该 在一点 M,使 FM , O 为坐标原点,且 ? ( OF ? OM ) ? 0 1 1 1
10.设 F1 , F 分别是双曲线 双曲线的离心率为 ( A) (D) 6 ?

3 ?1 2

(B)

3 ?1

(C)

6? 2 2

2

第Ⅱ卷

(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填写在答题纸给 定的横线上. 11.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生, 将他们的模块测试成绩分成 6 组:[40,50) ,[50,60) , [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到 如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学 生 500 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的 学生人数为_________. 12.在△ABC,中, ?ABC ?

?
3

, AB ? 2, BC ? 3 ,则

sin ?ABC ? _________.

? x ? y ? 8, ? 2 y ? x ? 4, ? 13.若变量 x,y 满足约束条件 ? 且 z=5y-x 的最大值为 m,最小值 n, ? x ? 0, ? ? y ? 0,
则 m+n=___________. 14.在长方形区域 ?( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 1? 中任取一点 P,则点 P 恰好取自
高三数学(理科)试题 第 14 页(共 54 页)

曲线 y ? cos(0 ? x ?

?
2

) 与坐标轴围成的区域内的概率为____________.

15.已知 f ( x ) 为定义在 (0, + ∞ )上的可导函数,且 f ( x) ? xf '( x) ,则不等式

1 x 2 f ( ) ? f ( x) ? 0 的解集为___________. x
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 16(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? xcos? x ? cos ? x ?
2

1 (? ? 0) 的最小正周期是 ? ,将 2

函数 f ( x ) 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变;再将所得函数图 象向右平移

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象. 6

(I) g ( x) 的解析式; (Ⅱ)在△ABC.中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 g (

?

4 ? A) ? , b ? 2 , 2 5

△ABC 的面积为 3,求边长 a 的值. 17. (本小题满分 12 分) 某工厂生产 A,B 两种元件,已知生产 A 元件的正品率为 75%,生产 B 元件的 正品率为 80%,生产 1 个元件 A,若是正品则盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元;生 产 1 个元件 B,若是正品则盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元. (I)求生产 5 个元件 A 所得利润不少于 140 元的概率; (Ⅱ)设 X 为生产 1 个元件 A 和 1 个元件 B 所得总利润,求 X 的分布列和数学期 望. 18.(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,四边形 AA 1B 1B 为菱形, AA 1 ?4

AC ? 3, BC ? B1C ? 5, ?ABB1 ? 60? ,D 为 AB 的中点.
(I)求证: B1D ? B1C1 ; (Ⅱ)求直线 AA1 ,与平面 CB1D 所成角的正弦值. 19.(本小题满分 12 分)
高三数学(理科)试题 第 15 页(共 54 页)

已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 2,4Sn ? an ? an ?1, n ? N ? . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?

? 1 ? n 1 ? Tn ? . 与的前 n 项和为 Tn ,求证: 2? 4n ? 4 2 ? an ?
x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1(1 ? v ? 4) 有公共焦点, 与双曲线 过椭 a 2 b2 4 ? v 1? v

20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

圆 C 的右顶点 B 任意作直线 l , 设直线 l 交抛物线 y 2 ? 2 x 于 P、 Q 两点, 且 OP ? OQ (I)求椭圆 C 的方程; ( Ⅱ ) 在 椭 圆 C 上 , 是 否 存 在 点 R(m , n) , 使 得 直 线 l : mx ? ny ? 1 与 圆

O : x2 ? y 2 ? 1相交于不同的两点 M、N,且△OMN 的面积最大?若存在,求出点 R
的坐标及对应的△OMN 的面积;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x . ( I)若直线 y ? x ? m 与函数 f ( x ) 的图象相切,求实数 m 的值;

1 有唯一公共点; x f (b ) ? f ( a ) 2 (Ⅲ)设 0 ? a ? b ,比较 与 的大小,并说明理由. a?b b?a
(Ⅱ)证明曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? x ?

高三数学(理科)试题

第 16 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 17 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 18 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 19 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 20 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 21 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 22 页(共 54 页)

烟台

高三数学(理科)试题

第 23 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 24 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 25 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 26 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 27 页(共 54 页)

烟台 2014 年高三诊断性测试

数学答案(理)
一、选择题: 二、填空题: 11. ?3 三、解答题: 16.解: (1)由 m ? n ? 0 得 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 ,???? 2 分 即 y ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x=cos 2x ? 3sin 2x ?1 12.

DCBBA BBDCA
13 4
13. ? 192x
2

14.

1 5

15.①②③

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 , 6? ?
所以 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1 ,其最小正周期为 ? .????????? 6 分 6?

(2)由题意得 f ( ) ? 3 , 所以 A ?

?
6

A 2

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? 4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3

?
3

. ??? 8 分

由正弦定理得 b ?

b?c ?

4 3 4 3 sin B ? sin C 3 3

?

4 3 4 3 2? ? sin B ? sin( ? B) ? 4sin( B ? ) , ????????? 10 分 3 3 3 6

? 1 ? 2? ? 1] ,? b ? c ? (2,4] , ? B ? ? 0, ? ,? sin( B ? ) ? ( , 6 2 ? 3 ?
高三数学(理科)试题 第 28 页(共 54 页)

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4] . ??????????????? 12 分

17.解(1) ? ,an,Sn 成等差数列,∴ 2 an ? S n ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? S1 ?

1 2

1 ,?????? 1 分 2

1 1 ,? a1 ? ,????????????? 2 分 2 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2 an ? , S n ?1 ? 2an ?1 ? , 2 2
两式相减得: an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 , ? 所以数列 ?an ? 是首项为

an ? 2 , ???? 4 分 an ?1

1 ,公比为 2 的等比数列, 2

an ? a1 ? 2n?1 ? 2n?2 . ???????????????????? 6 分
(2) bn ? log2 a2 n ?1 ? log2 a2 n ?3 ? log2 2
2 n ?1? 2

? log22

2 n ? 3? 2

? (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ???????? 10 分 bn 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ( [ 1 ? )( + - ) +? +( ? )] b1 b2 b3 bn 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

=

1 1 1 (1 ? )? 2 2n ? 1 2 .

????????????????? 12 分

解: (1)∵ N ? 15, M ? 6, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1,2,3 其分布列为 P(? ? k ) ?
k 3? k C6 ? C9 (k ? 0 , 1 , 2 , 3) ??????? 3 分 3 C15

?
p

0

1

2

3

84 455

216 455

135 455

20 455

高三数学(理科)试题

第 29 页(共 54 页)

??????? 6 分 (2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 p ? 一年中空气质量达到一级的天数为? 则 ? ~ B? 360, ? , 所以 E? ? 360 ?

6 2 ? 15 5

? ?

2? 5?

2 ? 144 (天) ????????11 分 5

一年中空气质量达到一级的天数为 144 天 ???????????? 12 分 19. 证明: (1)平行四边形 ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 10 , BD ? 8 , 沿直线 BD 将△ BCD 翻折成△ BC ?D 可知 CD ? 6 , BC ? ? BC ? 10 , BD ? 8 , 即 BC '2 ? C ' D2 ? BD 2 , C ' D ? BD . ??????????????????? 2 分 ∵平面 BC ?D ⊥平面 ABD ,平面 BC ?D ? 平面 ABD = BD , C ?D ? 平面 BC ?D ,∴ C ?D ? 平面 ABD . ???????????? 5 分 (2)由(1)知 C ?D ? 平面 ABD ,且 CD ? BD , 如图,以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz . ???????? 6 分 则 D(0,0,0) , A(8,6,0) , B(8,0,0) , C '(0,0,6) . ∵ E 是线段 AD 的中点, ∴ E (4,3,0) , BD ? (?8,0,0) .

z

??? ?

C?
???? ?
x B C

在平面 BEC ? 中, BE ? (?4,3,0) , BC ' ? (?8,0,6) , 设平面 BEC ? 法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ??4 x ? 3 y ? 0 ? BE ? n ? 0 ∴ ? ???? ,即 ? , ? ??8 y ? 6 z ? 0 ? ? BC ' ? n ? 0

??? ?

A E 令 x ? 3 ,得 y ? 4, z ? 4 ,故 n ? (3, 4, 4) .???9 分 设直线 BD 与平面 BEC ? 所成角为 ? ,则 ??? ? ??? ? | n ? BD | 3 41 ??? ? ? . ???????????? 11 分 sin ? ?| cos ? n, BD ?|? 41 | n | ? | BD | ∴ 直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值为 20.解:(1)设椭圆 C 的方程为 则b ? 2 3 . 由

D y

3 41 . ???????? 12 分 41

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

c 1 2 ? , a ? c 2 ? b 2 ,得 a ? 4 , a 2

高三数学(理科)试题

第 30 页(共 54 页)

x2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 16 12

????????????? 5 分

(2) 当 ?APQ ? ?BPQ 时, PA 、 PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k , 则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) ,

? y ? 3 ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 整理得 y2 ? ?1 ? ?16 12
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8(3 ? 2k )kx ? 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 ? 0 , ????????? 9 分

x1 ? 2 ?

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2

,

同理 PB 的直线方程为 y ? 3 ? ? k ( x ? 2) , 可得 x 2 ? 2 ? ∴ x1 ? x2 ?

? 8k (?2k ? 3) 8k (2k ? 3) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

16k 2 ? 12 ?48k , ???????????? 12 分 , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x 2 ? 2) ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k 1 , ? ? ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 2

所以 AB 的斜率为定值

1 . 2

????????????????? 13 分

21.解: (1)g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ?

x 2 ? 2 x ? a x 2 ? 2 x ? a ( x 2 ? 2 x ? a)(e x ? 1) ? ? , ex e2 x e2 x

2 设 h( x) ? x ? 2x ? a , ? ? 4 ? 4a

①当 a ? ?1 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有一个零点: x1 ? 0.

…………… 1 分 ……… 2 分

②当 a ? ?1 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 1.

③当 a ? 0 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 2. ………… 3 分
高三数学(理科)试题 第 31 页(共 54 页)

④当 a ? ?1, a ? 0 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有三个零点:

x1 ? 0, x2 ? 1? a ?1, x3 ? 1? a ?1.
(2)f n? ( x) ? 分

………………………………… 4 分

(2 x ? 2)enx ? n( x 2 ? 2 x ? a)enx ?nx 2 ? 2(n ? 1) x ? a ? n ? 2 ? . …… 5 e2 nx enx

设 gn ( x) ? ?nx2 ? 2(n ? 1) x ? a ? n ? 2 , gn ( x) 的图像是开口向下的抛物线. 由题意对任意 n ? N? , gn ( x) ? 0 有两个不等实数根 x1 , x2 , 且 x1 ? ?1,4? , x2 ??1,4?. 则对任意 n ? N? , gn (1) gn (4) ? 0 ,即

6 ? ? n ? (a ? 1) ? n ? ?a ? (8 ? ) ? ? 0 , n ? ?
? 又任意 n ? N , 8 ?

………………………………………… 7 分

6 6 关于 n 递增, 8 ? ? ?1 , n n

故 ?1 ? a ? (8 ? ) min , ?1 ? a ? 8 ? 6 ? 2. 所以 a 的取值范围是 ? ?1,2? . ……………………………………………… 9 分

6 n

(3)由(2)知, 存在 x ? R, f k ? ( x) ?

?kx 2 ? 2(k ? 1) x ? a ? k ? 2 ? 0 ,又函数 fk ( x) 在 ekx
………………… 10 分

R 上是单调函数,故函数 fk ( x) 在 R 上是单调减函数,
2 2 2

从而 ?k ? 4(k ? 1) ? 4k (ka ? 2) ? 4(k a ? k ? 1) ? 0, 即 a ? ?(1 ? 所以 ? m ? 4(m ? 1 ? m a) ? 4 ?m ? 1 ? m (1 ?
2 2 2 2

1 ). k2

…11 分

? ?

1 ? 4(k 2 ? m2 ) ) ? . k2 ? k2 ?

由 k , m ? N , k ? m, 知 ?m ? 0.
高三数学(理科)试题

?

…………………………………13 分
第 32 页(共 54 页)

?kx 2 ? 2(k ? 1) x ? a ? k ? 2 ? ?0 即对任意 x ? R, f k ( x) ? ekx
故函数 f m ( x) 在 R 上是减函数. ……………………………………14 分

德州市高中三年级模拟检测

数学(理科)试题
2014 .3 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 第 I 卷 1—2 页. 第 Ⅱ卷 3—4 页,共 150 分。测试时间 120 分钟。 注意事项: 选择题为四选一题目,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案, 不能答在测试卷上。 第 I 卷 (共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分把正确答案涂在答 题卡上。 1 1.已知全集为 R,集合 A={ x | ( ) x ? 1 },B={ x | x ? 2 }, A ? ?R B = 2 A.[0,2) B.[0,2] C.(1,2) D.(,2] 2i 2.设复数 z ? ,则复数 z 2 的实部与虚部的和为 ?1 ? i A.0 B.2 C.2 D.4 3.对具有线性相关关系的变量 x,y,有一组观测数据( xi , yi )(i=1,2,?, 8) , 其 回 归 直 线 方 程 是 :
y? 1 x?a 6





x1 ?
A.

x2 ? . x3 .? .
1 16

? x8
1 8

3? ( y1

? y2
1 4

,则实数 ? y3 . .? . a 的值是 y? ) ?6 8 D.
11 16

B.

C.

4 .若 a , b 均为实数,且方程 x2 ? 2(a ? 1) x ? b2 ? 2b ? 0 无实根,则函数

y ? log(a?b) x 是增函数的概率是
高三数学(理科)试题 第 33 页(共 54 页)

1 1 1 1 1 ? 1 A. ? B. ? C. D. ? 4 2? 2? 2 4? 4 2 5 . ? ABC 中 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是 a , b , c. 若

a2 ? b2 ? 3bc, sin C ? 2 3 sin B ,则 A=
5 A. ? 6 2 B. ? 3

C.

? 3

D.

? 6

?x ? y ? 1 ? 6.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,若 x ? 2 y ? ?5 恒成立,则实数 a ? x?a ?

的取值范围为 A.(- ? ,-1]

B.[-1,+ ? )

C.[-1,1]

D.[-1,1)

7.函数 y ? x ? sin x, x ?[?? , ? ] 的大致图象是

8. 已知双曲线 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2 5 , 抛物线 y ? x 2 ? 1 2 16 a b

与双曲线 C 的渐近线相切,则双曲线 C 的方程为 A.
x2 y 2 ? ?1 8 2
2

B.

x2 y 2 ? ?1 2 8

y2 ?1 C. x ? 4

x2 D. ? y 2 ? 1 4

??? ? ??? ? ??? ? 9.已知平面内点 A,B,O 不共线, AP ? ?OA ? ?OB ,则 A,P,B 三点
共线的必要不充分条件是 A. ? =? B. |?|=|?|
高三数学(理科)试题

C. ? =-?
第 34 页(共 54 页)

D. ? =1-?

10 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 对 ?x ? R 都 有 成立,当 f ( x? 1 )? f ( x? 1 ) x ? (0,1] 且 x1 ? x2 时,有 下列命题 (1) f (1) ? 0 (2) f ( x) 在[_2,2]上有 5 个零点
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 。给出 x2 ? x1

(3)(2013,0)是函数 y ? f ( x) 的一个对称中心 (4)直线是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴则正确命题个数 是 A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答 案填在答题卡的相应位置。 11.执行右图的程序框图,若输入的 x=2,则输出的 y 的值 为 .
1 与直线 y ? 0, x ? 1, x ? a ,所围成封 x 闭图形的面积为 2,则 a= . 13.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

12.设 a>1.若曲线 y ?

.

14.不等式 | 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 3 的解集是
高三数学(理科)试题

.

第 35 页(共 54 页)

15.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 l0 个数字中任取 3 个不同的数 字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x,y,z),若 z+y+z 是 3 的倍数,则 满足条件的点的个数为 . 三、解善题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) ? ? 1 已知函数 f ( x) ? cos( ? x) cos( ? x) ? 3 sin x cos x ? 3 3 4 (I)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值;
1 ? ? ) ? , ? ? ( , ) ,求 sin 2? 的值. 12 3 4 2 17.(本小题满分 12 分) 在一次综合知识竞赛中,有两道填空题和两道解答题,填空题每题 5 3 分,解答题每题 10 分,某参赛者答对填空题的概率都是 ,答对解答题的 4 2 概率都是 ,解答备题的结果是相互独立的。 3 (I)求该参赛者恰好答对一道题的概率; (II)求该参赛者的总得分 X 的分布列及数学期望 E(X)

(II)若 f (? ?

?

18.(本小题满分 12 分) 在直角梯形 ABCD 中, ? ADC=90o,CD//AB,AB=4,AD=CD=2,M 为线段 AB 的中点,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC,得 几何体 D—ABC。 (I)求证:BC ? 平面 ACD; (II)求二面角 A—CD—M 的余弦值。

19.(本小题满分 l2 分) 将数列{ an }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排列成如下数表
高三数学(理科)试题 第 36 页(共 54 页)

a1 a2 , a3 , a4 a5 , a6 , a 7 , a8 , a9
?? 已知表中的第一列数 a1 , a2 , a5 ?构成一个等差数列,记为数列{ bn },且

b2 =4, b5 =10,表中每一行正中间一个数 a1 , a3 , a7 ?构成数列{ cn },其前 n
项和为 Sn . (I)求数列{ bn }的通项公式; (II)若上表中从第 2 行开始, 每一行中的数按从左到右的顺序均成等比数 5 列,且公比是同一个正数,已知 a19 ? ,求 Sn . 2 20.(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R) (e=2.718 28??是自然对数的底数). (I)判 f ( x) 断的单调性; (1I)当 f ( x) ? 0 在(0,+∞)上恒成立时,求 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:当 x ?(0,+∞)时, 21.(本小题满分 14 分) 已知点 A,B 分别为椭圆:
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴的左、右端点,点 a 2 b2
1 x ?1 x (1 ? x ) ? e. x e

C 是椭圆短轴的一个端点,且离心率 e ?

2 ,三角形 ABC 的面积为 2 , 2

动直线 l: y ? kx ? m(m ? 0) 与椭圆交于 M,N 两点。 (I)求椭圆方程;

???? ? ???? ??? ? (Ⅱ)若椭圆上存在点 P,满足 OM ? ON ? ? OP (O 为坐标原点),求 ? 的取
高三数学(理科)试题 第 37 页(共 54 页)

值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当 ? 取何值时,△MNO 的面积最大,并求出这个 最大值.

高三数学(理科)试题

第 38 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 39 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 40 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 41 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 42 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 43 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 44 页(共 54 页)

潍坊

保密★启用前 型:A

试卷类

高三数学(理)
2014.03 本试卷共 4 页,分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 l20 分钟.

第 I 卷(选择题共 50 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔 涂写在答题卡上. 2. 每题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再改涂其它答案标号. 一、选择题:本大题共 l0 小题。每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.若复数 2 满足 z(1+i)=2i,则在复平面内 z 对应的点的坐标是 (A)(1,1) (B)(1,-l) (C)(-l,1) (D)(-l,-l) 2.设全集 U=R,集合 A={ x | 2 x ? 1 },B={ x || x ? 2 |? 3 },则 (?U A) ? B 等于 (A)[-1,0) (B)(0,5] (C)[-1,0] (D)[0,5]

3.已知命题 p、q, “ ?p 为真”是“p ? q 为假”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4.若圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的 方程为 (A) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 3 (C) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 (B) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 3 (D) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4

5.运行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 为 (A) 1007 (B) 1008 (C) 2013 (D) 2014
高三数学(理科)试题 第 45 页(共 54 页)

6.函数 y ? a| x| 与 y ? sin ax ( a ? 0 且 a ? 1 )在同一直角坐标系下的图象可能 是

7. 三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上, SA ? 平面 ABC, AB ? BC, 又 SA=AB= BC=1,则球 O 的表面积为 (A)
3 ? 2
?

(B)

3 ? 2

(C) 3 ?
0

(D) 12 ?

8 . 设 k ? ? (sin x ? cos x )dx , 若 (1 ? kx )8 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ... ? a8 x8 , 则

a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a8 ?
(A) -1 (C) l (B) 0 (D) 256

? b, a ? b ? 1, 9 . 对 任 意 实 数 a , b 定 义 运 算 “ ? ”: a ? b ? ? 设 ?a, a ? b ? 1.

f ( x) ? ( x 2 ? 1) ? (4 ? x) ,若函数 y ? f ( x) ? k
的图象与 x 轴恰有三个不同交点,则 k 的取 值范围是 (A)(-2,1) (B)[0,1] (C)[-2,0) (D)[-2,1) 10.如图,已知直线 l:y=k(x+1)(k>0)与抛物 线 C:y2=4x 相交于 A、B 两点,且 A、B 两
高三数学(理科)试题 第 46 页(共 54 页)

点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M、N,若|AM|=2|BN|,则 k 的值是 (A) (C)
1 3
2 2 3

(B) (D)

2 3

2 2

第Ⅱ卷 (非选择题共 100 分) 注意事项: 将第Ⅱ卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的 相应位置上. 二、填空题:本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分。 1 1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为

? y ? 2 | x | ?1 12.若 x、y 满足条件 ? ,则 z=x+3y 的最大值为 ? y ? x ?1

? sin 2? 13.若 ? ? (0, ) ,则 2 的最大值为 2 sin ? ? 4 cos 2 ?



14.如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得 分, 其中一个数字被污损, 则甲的平均得分不超过乙的平均得分 的概率为 . 15.已知函数 y ? f ( x) 为奇函数,且对定义域内的任意 x 都有
f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) .当 x ? (2,3) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1)

给出以下 4 个结论: ①函数 y ? f ( x) 的图象关于点(k,0)(k ? Z)成中心对称; ②函数 y ?| f ( x) | 是以 2 为周期的周期函数;
高三数学(理科)试题 第 47 页(共 54 页)

③当 x ? (?1, 0) 时, f ( x) ? ? log 2 (1 ? x) ; ④函数 y ? f (| x |) 在(k,k+1)( k ? Z)上单调递增. 其一中所有正确结论的序号为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程 或演算步骤. 16.(本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x . (I)求函数 y ? f ( x) 在 x ? [0, 2? ] 上的单调递增区间; (Ⅱ)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 m=(a, b),n=(f(C),1)且 m//n,求 B. 17.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 E-ABCD 中, EA ? 平面 1 ? ABCD,AB//CD,AD=BC= AB, ? ABC= . 2 3 (I)求证: ? BCE 为直角三角形; (II)若 AE=AB,求 CE 与平面 ADE 所成角 的正弦值.

18. (本小题满分 12 分) 某次数学测验共有 l0 道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一 个选项是正确的,评分标准规定:每选对 l 道题得 5 分,不选或选错得 0 分.某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对,其余 4 道题无法确 定正确选项,但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项,另 2 道只能排 除一个错误选项,于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随 机选一个选项作答,且各题作答互不影响. (I)求该考生本次测验选择题得 50 分的概率; (Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.

高三数学(理科)试题

第 48 页(共 54 页)

19.(本小题满分 12 分) 已 知 数 列 { an } 的 前 n 项 和 S n ? an ? n 2 ? 1 , 数 列 { bn } 满 足
3n ? bn ?1 ? (n ? 1)an ?1 ? nan ,且 b1 ? 3 .

(I)求 an , bn ; (Ⅱ)设 Tn 为数列{ bn }的前 n 项和,求 Tn ,并求满足 Tn <7 时 n 的最大值.

20.(本小题满分 l3 分) 已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2 7 ,其一条渐近线 a 2 b2
3 .以双曲线 C 的实轴为长轴,虚轴为短轴的 2

的倾斜角为 ? ,且 tan ? ?

椭圆记为 E. ( I )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设点 A 是椭圆 E 的左顶点, P、 Q 为椭圆 E 上异于点 A 的两动点, 1 若直线 AP、 AQ 的斜率之积为 ? , 问直线 PQ 是否恒过定点?若恒过定点, 4 求出该点坐标;若不恒过定点,说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? x ? x . (I)求函数 y ? f ( x) 的零点的个数; (Ⅱ)令 g ( x) ?

ax 2 ? ax 1 ? ln x ,若函数 y ? g ( x) 在(0, )内有极值,求 e f ( x) ? x

实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 在 (Ⅱ) 的 条 件 下 , 对 任 意 t ? (1, ??), s ? (0,1) , 求 证 :

高三数学(理科)试题

第 49 页(共 54 页)

1 g (t ) ? g ( s ) ? e ? 2 ? . e

高三数学(理科)试题

第 50 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 51 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 52 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 53 页(共 54 页)

高三数学(理科)试题

第 54 页(共 54 页)


相关文档

2014淄博一模山东省淄博市2014年高三第一次模拟考试数学理科试题(word版_含答案)
【2014淄博一模】山东省淄博市2014年高三第一次模拟考试数学理科试题(word版_含答案)
2014年辽宁省大连市高三高考(理科)数学第一次模拟考试试题及答案(word版)
长春地区2014年高三数学(理科)第一次模拟考试试题 Microsoft Word
山东省淄博市2014年高三第一次模拟考试数学试题(理科)
山东省威海市2014届高三下学期第一次模拟考试 数学文 Word版含答案
【2014淄博一模】山东省淄博市2014年高三第一次模拟考试数学文科试题(word版,含答案)
山东省莱芜市2014届高三第一次模拟考试(理科数学)(WORD版)
山东省山师附中2014届高三第一次模拟考试_数学_Word版含答案
【2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试理科数学Word版含答案
电脑版