福建省厦门市高二数学上学期期中试题 文

福建省厦门市 2012-2013 学年高二数学上学期期中试题 文
一、选择题: (共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1 、 设集 合 ( ) A. [3,5) 2 ( 、 )

log3 x ? 1 }, 则 M ∩ N = M ={ x |( x +3)( x -5)<0} , N ={ x |
B. [1,3] 下 列 C. ( -3,5) 命 题 D.(-3,3] 中 , 真 命 题 是

sin( ? ? ) ? ? cos ? 2 A.

?

B.常数数列一定是等比数列

x?
C.一个命题的逆命题和否命题同真假 D.

1 ?2 x

b 为实数, 3、 若a、 则 “ ab ? 1 ” 是 “
A.充分不必要条件

0?a?

1 b” 的
C.充要条件

( D.既不充分也不必要条件



B.必要不充分条件

4、已知等比数列 ( A.8 ) B.6

{an } 的 公 比 q ? 2 , 其 前 4 项 和 S 4 ? 60 , 则 a2 等 于
C. ? 8 D. ?6

5、等差数列{ ( A. 7 ) B. 8

an } 的 通 项 公 式 为 an ? 2n ? 1 9, 当 Sn 取 到 最 小 时 , n ?
C. 9 D. 10

,? 6 、 设 x?0 y
( ) A. 1 B. 2

x2 y 2 s? ? 0 y x 取 最 小 值 时 x 的 值 为 , xy ? 4 , 则
C. 4 D. 8

7 、 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别是 角 A, B, C 的 对边 , 若角 A 、 B 、 C 成 等 差 数列 , 且

a ? 3, c ? 1





b







( A. 3

) B. 2 C. 7 D.7

8、若实数 ( A. ? 1 )

x, y 满 足 不 等 式 组
B. 2

? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? y ? 0, ?

则 z ? 2x ? y ? 1 的 最 小 值 为

C. 5

D. 3

3 9、已知三角形 ?ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列,且最大角的正弦值为 2 ,则这个
三 ( A. 18 角 ) B. 21 C. 24 D. 15 形 的 周 长 是

10 、设 ( A.8

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , Sk ?2 ? Sk ? 24 ,则 k ?
) B.7 C.6 D.5 ( )

11、 已知点 P (x, y) 、 A (3, 0) 、 B (1, 1) 在同一直线上, 那么 2x+4y 的最小值是 A.2 2 B.4 2 C.16 D.不存在

12 、已知 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的增函数且为奇函数,若对任意的 x , y ∈ R ,不等式

f ( x 2 ? 6 x ? 21) ? f ( y 2 ? 8 y) ? 0 恒成立, 则当 x>3 时, x2+y2 的取值范围是
A. (3,7) B. (9,25) C. (13,49)





D. (9,49)

二、填空题: (共 4 题,每题 4 分,共 16 分)
2 2 13、请写出命题“若 a ? b =2,则 a ? b ≥2”的否命题:

.

14、在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .若 的面积为 .

b ? 1, c ? 3, ?C ?

2? 3 则 ?ABC

x ? ( x ? 1), ?2 f ? x? ? ? 2 ? ? x ? 6 x ? 9 ( x ? 1) , 则 不 等 式 f ? x ? ? f ?1? 的 解 集 15 、 已 知 函 数





16、植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米, 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从 1 到 20 依次编号,为使各位同学从 各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小, 树苗应放置的最佳坑位的编号为 .

三、解答题: (共 6 题,共 74 分)
2 x 1? x ? 3 17、 (本小题满分 12 分)已知不等式 ax ? x ? c ? 0 的解集为 .

?

?

(Ⅰ)求

a , c 的值;
2

(Ⅱ)若“ ax ? 2 x ? 4c ? 0 ”是“ x ? m ? 0 ”的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.

18、 (本小题满分 12 分)已知实数

x, y 满足约束条件:

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? ?x ? y ?1 ? 0 , ?x ? y ? 7 ? 0 ?

z?
(Ⅰ)请画出可行域,并求 (Ⅱ)若

y x ? 1 的最小值;

z ? x ? ay 取最小值的最优解有无穷多个,求实数 a 的值.

19、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 3a sin B ? b cos A .

(Ⅰ)求角 A 的大小;

3 (Ⅱ)若 a ? 1 ,且 ?ABC 的面积为 4 ,求 b 与 c 的值.

20、 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 (Ⅰ)求数列

?an ?的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0, 且S
?an ?的通项公式;

3

? S5 ? 50, a1 , a4 , a13 成等比数列.

? bn ? ? ? a ?b ? T (Ⅱ)设 ? n ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 n 的前 n 项和 n .

21、 (本小题满分 12 分) 已知数列

{an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, an?2 ? 2an ? 3an?1 (n ? N * ).
{an?1 ? an } 是等比数列,并求 {an } 的通项公式;

(Ⅰ)求证:数列 (Ⅱ)记数列

{an } 的前 n 项和 Sn ,求使得 Sn ? 21 ? 2n 成立的最小整数 n.

22、 (本小题满分 14 分) 某厂家拟在 2012 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量) x 万 件与年促销费用 m 万元( m ? 0 )满足

x ? 3?

k m ? 1 ( k 为常数) .如果不搞促销活动,则

该产品的年销量只能是 1 万件.已知 2012 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万 件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) . (I)求 k 的值,并求年促销费用为 9 万元时,该厂的年产量为多少万件? (II)将 2012 年该产品的利润 y(万元)表示为年促销费用 m(万元)的函数; (Ⅲ)该厂家 2012 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大值.

福建省厦门第一中学 2012—2013 学年度 第一学期期中考试 高二文科数学试卷答题卷 命题教师:廖献武 审核教师:肖文辉 2012.11.14

题号 得分 二、填空 题答题栏: 13. 准考证号

选择

填空

17

18

19

20

21

22

总分

;

14.

;

15.

;

16.

.

17(本题满分 12 分)

18(本题满分 12 分)

座位号

19(本题满分 12 分)

20(本题满分 12 分)

21(本题满分 12 分)

22(本题满分 14 分)

福建省厦门第一中学 2012—2013 学年度 第一学期期中考试 高二文科数学试卷答案 一、选择题: (共 12 题,每题 5 分,共 60 分) ACBAC BCBDD BC 二、填空题: (共 4 题,每题 4 分,共 16 分) 13、 若a ?b ? 2, 则a ?b ? 2 ;
2 2

3 14、 4 ;

15、

? x x ? 1或x ? 2? ;

10或11 . 16、

三、解答题: (共 6 题,共 74 分) 17、 (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)依题意得, 1、3 是方程 ax ? x ? c ? 0 的两根,且 a ? 0 ,-------------------- --1
2



? ?a ? 0 ? 1 ? ?1 ? 3 ? ? , a ? c ? 1? 3 ? ? a 所以, ?
1 ? a?? ? ? 4 ? ?c ? ? 3 ? 4 解得, ?

---------------------------------------------------------4 分



---------------------------------------------------------6 分

1 3 1 a ? ? ,c ? ? ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 2 4 4 ,所以, ax ? 2 x ? 4c ? 0 即为 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,
解得, 2 ? x ? 6 ,
2

又 x ? m ? 0 解得

x ? ?m , -------------------------------------8 分

∵ “ ax ? 2 x ? 4c ? 0 ”是“ x ? m ? 0 ”的充分不必要条件,

∴ 分

? x 2 ? x ? 6? ? ? x x ? ?m? ,
m ? ?2 ,

-----------------------------------10

∴ ?m ? 2 , 即 ∴ m 的取值范围是

??2, ??? .

------------------------12 分

18、 (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)如图示画出可行域:

-------2 分

y ∵ x ? 1 表示 ( x, y ) 与 (1, 0) 连线的斜率,如图示,

? x ? y ?1 ?0 ? x ?3 ?? ? ? 4 ? x ? y? 7 ? 0 ? y ,即 A(3, 4) ,
∴ 当 x ? 3, y ? 4 时,

zmin ?

4 ?2 3 ?1 .

------------------------------------6 分

(Ⅱ)取 z ? 0 得直线

l0 : y ? ?

1 x a , ?

1 ? k BC ? 2 z ? x ? ay 取最小值的最优解有无穷多个,如图示可知: a ∵ ,-----------10 分 a??


1 2.

------------------------------------12 分

19. (本小题 12 分) 解: (Ⅰ) 3a sin B ? b cos A ,代入正弦定理得: 3 sin A sin B ? sin B cos A ---------------------- --2 分 又 0 ? B ? ? , sin B ? 0 ,? 3 sin A ? cos A ,即

tan A ?

3 3 .

---------------------4 分

又0 ? A ?? ,

?A?

?
6.
-------------------------------------------------------------------------6 分

(Ⅱ)

3 ?ABC 的面积为 4
A?

1 3 bc sin A ? 4 即2

?
6
代入上式,得 bc ? 3 …① ---------------------------------------8 分

又由(1) ,得

? 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,得
2 2 2

1 ? b2 ? c 2 ? 2 3 ?

3 2 即 b 2 ? c 2 ? 4 -----10 分

?(b ? c)2 ? 2bc ? 4

2 ?(b ? c) ? 4 ?2 b c ? 4 ? 2 3 ?b ? c ? 1 ? 3 …②

由①②解得 分

?b ? 1 ?b ? 3 ? ? 或? ? ?c ? 3 ? ?c ? 1 ? ? ?bc ? 3 ? 2 2 ? ?b ? c ? 4

------ ----------------------------------------------------------12

(或:直接由

解得

?b ? 1 ?b ? 3 ? ? 或? ? ?c ? 3 ? ?c ? 1 ?

)

------ ----------------12 分

20、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意得

3? 2 4?5 ? d ? 5a1 ? d ? 50 ?3a1 ? 2 2 ? ?(a ? 3d ) 2 ? a (a ? 12d ) 1 1 ? 1

……………………2 分

解得

? a1 ? 3 ? ?d ? 2



……………4 分 ………………………6 分

?an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 , 即an ? 2n ? 1.

bn ? 3n?1 b ? an ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n?1 a (Ⅱ) n , n

…………………7 分

Tn ? 3 ? 5 ? 3 ? 7 ? 32 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n?1
3Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n
……………………9 分

? 2Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n?1 ? (2n ? 1)3n

? 3? 2?

3(1 ? 3n ?1 ) ? (2n ? 1)3n ? ?2n ? 3n 1? 3
………………………………12 分



Tn ? n ? 3n

21、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:∵

an?2 ? 2an ? 3an?1 (n ? N * ) ,∴ an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

an? 2 ? an?1 3an?1 ? 2an ? an?1 2an?1 ? 2an ? ? ?2 a ? an an?1 ? an an?1 ? an ∴ n ?1 为常数,
又 ∴ 分 ∴ ∴

a2 ? a1 ? 4 ?1 ? 3 ? 0 ,
----------------3

{an?1 ? an }是以 3 为首项,2 为公比的等比数列.

an?1 ? an ? 3? 2n?1 ,

an ? an?1 ? 3? 2n?2 , an?1 ? an?2 ? 3? 2n?3 ,……, a3 ? a2 ? 3 ? 21 , a2 ? a1 ? 3? 20 ,
an ? a1 ? 3(20 ? 21 ? ? 2n ? 2 ) ? 3 ? 20 (1 ? 2n?1 ) ? 3(2n?1 ? 1) 1? 2 ,
---------------6 分

叠加得, ∴

an ? 1 ? 3(2n?1 ?1) ? 3? 2n?1 ? 2 ,即 an ? 3? 2n?1 ? 2 (n ? N ? ) .

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得

an ? 3? 2n?1 ? 2 (n ? N ? ) 。
? 2n?1 ) ? 2n ? 3 ? 20 (1 ? 2n ) ? 2n ? 3 ? 2 n ? 2n ? 3 1? 2 ,----------------10 分
2 ?1 n , 2

∴ ∴

Sn ? 3(20 ? 21 ?

n Sn ? 21 ? 2n ,即为 3 ? 2 ? 2 n? ? 3

∴2 ? 8,
n

∵n? N , ∴最小整数 n 为 4 . ----- ------------------------------------------12 分

?

∴n ? 4,

22、 (本小题满分 14 分) 解: (I)由题意,知 m ? 0 时, x ? 1 (万件) ,所以 1 ? 3 ? k , k ? 2 ----------------2 分

x ? 3?
从而

2 2 x ? 3? ? 2.8 m ? 1 ,当 m ? 9 万元时, 9 ?1
-----------------4 分

综上得, k ? 2 ,年促销费用为 9 万元时,该厂的年产量为 2.8 万件.

x ? 3?
(II)由(1)知,

2 8 ? 16 x 1.5 ? m ? 1 ,又每件产品的销售价格为 x 元,

y ? (1.5 ?
所以 2012 年的利润为

8 ? 16 x ) ? x ? (8 ? 16 x ? m) ? 4 ? 8 x ? m x ; -------6 分

? 4? 8 (? 3 ? 28 ?

2 ?)m m ?1

16 ?m m ?1

? m ? 0?
? m ? 0?

y ? 28 ?


16 ?m m ?1

--------------------------------9 分

y ? 28 ?
(Ⅲ)由(II)得,

16 16 ? m ? 29 ? [ ? (m ? 1)] m ?1 m ?1 ,

16 ? (m ? 1) ? 2 16 ? 8 m ? 0 时, m ? 1 ,? y ? 29 ? 8 ? 21 ,

-------12 分

16 ? m ?1 y ? 21 (万元) 当且仅当 m ? 1 ,即 m ? 3 (万元)时取等号,此时, max .

答:该厂家 2012 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大,最大值为 21 万元. -------14 分


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