特级教师高考数学首轮复习第31讲-三角函数的图象与性质

来源:591UP

一、知识结构

二、重点叙述

1. “五点法”画函数 y=sinx 的简图:

正弦函数的图象在[0,2π]上有五个起关键作用的点,只要描出这五个点,函数 y=sinx 在[0,2π]上 的图象的形状就基本上确定了,我们称之为“五点法”。

这五点是:(0,0),( 点。

,1),(π,0),(

,-1),(2π,0),可分别称之为始点、最高点、拐点、最低点、终

2. 正余弦函数图象间的关系:

因为

,所以即把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移

个单位长度,即

可得到余弦函数 y=cosx 的图象。

因为

,所以即把正弦函数 y=cosx 的图象向右平移

个单位长度,即

可得到正弦函数 y=sinx 的图象。

3. 正弦、余弦、正切函数图象与性质比较 答案:





y=sinx

y=cosx

y=tanx





定义域 值 域 周期性 奇偶性 增 区 单 间 调 性 减 区 间 最 值 [-

R [-1,1] 奇函数 +2kπ ,

R [-1,1] 偶函数 [(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)

{α |α ≠kπ + R 奇函数

,k

(

+kπ ,

+kπ )

+2kπ ](k∈Z) [ +2kπ , [2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z) 最大值 1,最小值-1 无最值

+2kπ ](k∈Z) 最大值 1,最小值-1

案例 1:(1)函数 y=-x· cosx 的部分图象是( )

(2)(2008 四川· 5)若

,则

的取值范围是:( )

(A)

(B)

(C)

(D)

(3)(2008 天津· 9)设





,则( )

(A)

(B)

(C)

(D)

分析:(1)用函数的奇偶性及特殊点函数值判断选择之;(2)用特殊点排它法解之;(3)用同角 的正余弦、正切值的函数线大小关系解决。 解:(1)显然,函数 是奇函数,其图象关于原点对称,排除 A、C。

取 (2)取

,则

,排除 B,故选 D。 ,则 成立,排除 A、B。



,则

成立,排除 C,故选 D。

(3)∵

,又





,∴

,故选 D。

案例 2:(1)设 ω>0,若函数 f(x)=2sinωx 在[- _________。 (2) 若函数 封闭平面图形的面积是_________。

,]上单调递增,则 ω 的取值范围是

的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个

分析: (1)利用函数

的单调性求之; (2)用图象法, 利用余弦函数图象的对称特点解之。

解:(1)∵函数

在区间

上单调递增,

∴若要函数

在[-

]上单调递增,当且仅当



,所以 ω 的取值范围是

。 关于直线 是对称的,那么它的图象和直线 是对称的, 利用对称割补法, 求得这个封

(2)如图,函数

y=2 围成一个封闭的平面图形也是关于直线 闭平面图形的面积是 。

案例 3:(1)讨论函数

的图象与直线 y=k 的交点个数。

(2)函数 数 a 的取值范围。

满足

时对一切

恒成立,求实

分析:(1)用图象法解之。函数 画函数图象,再根据它与直线

是含绝对值的分段函数,先 的相对位置关系来确定交点的个数;(2)用换元法。令

, 把函数

转化为 的二次函数, 于是把

对一切



成立转化为 解:(1)∵

的问题解决。 ,



画函数图象,观察看到

当 当 当 (2)令

时,没有交点;当 时,两个交点; 时,三个没有交点;当 ,则 ,∴函数

时,一个交点;

时,四个交点。 可化为





对一切

恒成立,转化为



,∴





∴ 所以实数 a 的取值范围是 。



案例 4:已知函数 (1)求函数 (2)判断函数 的定义域; 的单调性;



(3)作出函数 (4)求函数

在区间

上的图象;

的最小正周期及单调区间。

分析:(1)化简函数解析式,由分母不为零求得函数

的定义域;(2)利用函数奇偶性的 在区间 上的图

定义判断函数的奇偶性;(3)分段函数分段画图,可画得函数

象;(4)利用周期函数的定义和正余弦函数的最小正周期求之,利用偶函数和正切函数的单 调性 求得函数 的单调区间。

解:(1)∵函数



∴函数的定义域是



∴∴

(2)∵ (3)如图,是函数 在区间

,∴函数

是偶函数。

上的图象。

(4)∵ ∵函数 ∴当 是偶函数, 时,函数 的增函数区间是

,∴函数

的最小正周期是



,减函数区间是



时,函数

的减函数区间是

,增函数区间是



案例 5:已知函数 单调性。

(a∈(0,1)),求 f(x)的最值,并讨论周期性,奇偶性,

分析:先化简函数,化简后的函数是指数函数与三角函数的复合函数,利用函数周期性、奇 偶性的定义讨论函数 调性与最值。 解:由三角函数式降幂升倍得: 的周期性和奇偶性,利用复合函数的方法解决函数 的单

∴函数可化为 令 ,则

。 是减函数。

∴当 函数 为减函数;

, 即

时, 函数

是增函数,

当 函数 为增函数;

,即

时,函数

是减函数,

∵ u(-x)=u(x),∴ f(x)=f(-x), ∴函数 f(x)为偶函数。 ∵ u(x+π)=u(x), ∴ f(x+π)=f(x), ∴ f(x)为周期函数,最小正周期为 π。 ∵ 。 是减函数,∴当 x=kπ(k∈Z)时, , ,∴

当 x=kπ+ 四、总评

(k∈Z)时,



,∴



(1)理解正、余弦函数在区间 ,

,正切函数在区间

的性质,会画

的图象,利用三角函数的图象直观、 形象地处理有关三角函

数性质与应用的问题。 因此,数形结合的思想方法是三角函数图象与性质的重要的思想方法。 (2)周期性是函数的一个特征,更是三角函数的一个重要特征,因此有关三角函数的问题常常 利用周期性,把全局化归转化为函数在一个局部的周期内研究,再利用周期性推广到整个定义 域。


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