2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—13.坐标系与参数方程

2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
一、解答题 【2018.22】(10 分)

13.坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y ? k x ? 2 .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0 . (1)求 C2 的直角坐标方程; (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程.

? x ? 3cos ? , 【2017,22】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,直线 l 的参数方程为 ? y ? sin ? , ? x ? a ? 4t , ( t 为参数) . ? ? y ? 1 ? t,

(1)若 a ? ?1 ,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a .

【2016,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cost , ( t 为参数, a ? 0) .在以坐标 ? y ? 1 ? a sin t ,

原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 4 cos? . (Ⅰ)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ) 直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 , 其中 ? 0 满足 tan? 0 ? 2 , 若曲线 C1 与 C 2 的公共点都在 C3 上, 求a.

1/8

【2015,23】在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极
2 2

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程; (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积.

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? 【2014,23】已知曲线 C : ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t
(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.

【2013,23】已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ? y ? 5 ? 5sin t

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

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【2012,23】已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 ? y ? 3 sin ?

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 。正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依 逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2,

? ) 。 3

(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围。

【2011,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程;(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

uu u v

uuuv

?
3

与 C1 的异于

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2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 13.坐标系与参数方程(解析版)
一、解答题 【2018.22】(10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y ? k x ? 2 .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0 . (1)求 C2 的直角坐标方程; (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程. 解: (1)由 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 得 C2 的直角坐标方程为
( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 .

(2)由(1)知 C2 是圆心为 A( ?1, 0) ,半径为 2 的圆. 由题设知, C1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为 l1 , y 轴左边的射线为
l2 . 由于 B 在圆 C2 的外面, 故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有

两个公共点,或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点. 当 l1 与 C2 只有一个公共点时, A 到 l1 所在直线的距离为 2 ,所以
| ?k ? 2 | k2 ?1 ? 2 ,故 k ? ? 4 或 k ? 0 . 3

4 经检验,当 k ? 0 时, l1 与 C2 没有公共点;当 k ? ? 时, l1 与 C2 只有一个公共点, l2 与 C2 有两个公共 3
点. 当 l2 与 C2 只有一个公共点时, A 到 l2 所在直线的距离为 2 ,所以 经检验,当 k ? 0 时, l1 与 C2 没有公共点;当 k ?
|k ? 2|
2

? 2 ,故 k ? 0 或 k ? 4 . 3 k ?1

4 时, l2 与 C2 没有公共点.学.科网 3

4 综上,所求 C1 的方程为 y ? ? | x | ?2 . 3
? x ? 3cos ? , 【2017,22】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,直线 l 的参数方程为 ? y ? sin ? , ? x ? a ? 4t , ( t 为参数) . ? ? y ? 1 ? t,
4/8

(1)若 a ? ?1 ,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a .
【解析】(1) a ? ?1 时,直线 l 的方程为 x ? 4 y ? 3 ? 0 .曲线 C 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 , 9

21 ? ?x ? 4 y ? 3 ? 0 x?? ? x ? 3 ? ? ? 21 24 ? ? 25 联立方程 ? x 2 ,解得: ? 或? ,则 C 与 l 交点坐标是 ? 3,0 ? 和 ? ? , ? 2 y ? 0 24 ? 25 25 ? ? ? ? y ?1 ?y ? ?9 ? 25 ?
sin ? ? . (2)直线 l 一般式方程是 x ? 4 y ? 4 ? a ? 0 .设曲线 C 上点 p ? 3cos? ,
则 P 到 l 距离 d ?

3cos ? ? 4sin ? ? 4 ? a 17

?

5sin ?? ? ? ? ? 4 ? a 17

,其中 tan ? ?

3 . 4

依题意得: dmax ? 17 ,解得 a ? ?16 或 a ? 8 .

【2016,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cost , ( t 为参数, a ? 0) .在以坐标 ? y ? 1 ? a sin t ,

原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 4 cos? . (Ⅰ)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ) 直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 , 其中 ? 0 满足 tan? 0 ? 2 , 若曲线 C1 与 C 2 的公共点都在 C3 上, 求a.
? x ? a cos t 2 【解析】 :⑴ ? ( t 均为参数),∴ x2 ? ? y ? 1? ? a2 y ? 1 ? a sin t ?



1? 为圆心, a 为半径的圆.方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ∴ C1 为以 ? 0 ,
∵ x2 ? y 2 ? ? 2 ,y ? ? sin ? ,∴ ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0 ⑵ C2 :? ? 4cos ? ,两边同乘 ? 得 ? 2 ? 4? cos?
2

即为 C1 的极坐标方程

? 2 ? x2 ? y 2 ,? cos? ? x

? x2 ? y 2 ? 4x ,即 ? x ? 2? ? y2 ? 4 ②, C3 :化为普通方程为 y ? 2 x
由题意: C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3 ,①—②得: 4 x ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ,即为 C3 ∴ 1 ? a 2 ? 0 ,∴ a ? 1 【2015,23】在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极
2 2

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

5/8

(I)求 C1 , C2 的极坐标方程; (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积.

解析: (I)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的极坐标方程为

? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .
(Ⅱ)将 ? =

?
4

代入

2 ? 2 ? 2 ? cos? ? 4? sin ?? 4 ? , 0 得 ? ? 3 2? ? 4? 0, 解 得 ?1 = 2 2 ,

?2 = 2 ,|MN|= ?1 - ?2 = 2 ,因为 C2 的半径为 1,则 ?C2 MN 的面积 ? 2 ?1? sin 45o = .

1 2

1 2

【2014,23】已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值. 【解析】 :.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为 d ?

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5
4 . 3

则 | PA |?

d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 0 sin 30 5

,其中 ? 为锐角.且 tan ? ?

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5

当 sin ?? ? ? ? ? 1时, | PA | 取得最小值,最小值为 【2013,23】已知曲线 C1 的参数方程为 ?

2 5 . 5

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ? y ? 5 ? 5sin t

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 解:(1)将 ?

? x ? 4 ? 5cos t , 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, ? y ? 5 ? 5sin t
6/8

即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.

将?

? x ? ? cos ? , 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. y ? ? sin ? ?

所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0. 由?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, ?x ? y ? 2 y ? 0
2 2

解得 ?

? x ? 1, ? x ? 0, 或? ? y ? 1 ? y ? 2.

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2, 【2012,23】已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? ?

π? ? π? ? , ? 2, ? . 4? ? 2?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 ? y ? 3 sin ?

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 。正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上, 且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; ( 2 ) 设 P 为 C1 上 任 意 一 点 , 求

? ) 。 3

| PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围。
【解析】 (1)曲线 C1 的参数方程 ?

? x ? 2 cos? 化为 ? y ? 3 sin ?

直角坐标方程为

x2 y 2 ? ? 1, 4 9

曲线 C2 的极坐标方程 ? ? 2 化为 直角坐标方程为 x ? y ? 4 ,
2 2

因为点 A 的极坐标为(2, 所以点 B 的极坐标为(2, 为(2,

? ) , 3 5?
6

) ,点 C 的极坐标

4? 11? ) ,点 D 的极坐标为(2, ) ,因此点 A 的直角坐标为(1, 3 ) ,点 B 的直角坐 3 6

标为( ? 3 ,1) , 点 C 的直角坐标为(-1,- 3 ) ,点 D 的直角坐标为( 3 ,-1) 。 (2)设 P( 2 cos ? , 3sin ? ) ,则 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD |
2 2 2 2

? (2cos ? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2 ?(2cos ? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2
7/8

? (2cos ? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2 ?(2cos ? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2

? 20sin 2 ? ? 32 ?[32,52] 。
因此 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围为[32,52]。

【2011,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程;(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .
?x ? 2 cos ? ? ? x ? 4 cos ? x y ? ? ? 解: (I)设 P ? x, y ? ,则由条件知 M ? , ? ,由于 M 点在 C1 上,所以 ? 2 ,即 ? . ?2 2? ? y ? 4 ? 4sin ? ? y ? 2 ? 2sin ? ? ?2

uu u v

uuuv

?
3

与 C1 的异于

从而 C2 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos ? ( ? 为参数). ? y ? 4 ? 4sin ?

(II)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? . 射线 ? ? 射线 ? ?

?
3

与 C1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin 与 C2 的交点 B 的极径为 ?2 ? 8sin

?
3

, ,

?
3

?
3

所以 AB ? ?1 ? ?2 ? 2 3 .

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