云南省昆明一中2009届高三年级第五次月考

云南省昆明一中 2009 届高三年级第五次月考

数 学 试 题(文)
(时间:120 分钟 满分 150 分)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项符合题目要求的) 1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4}则 CU(A∩B)= ( ) A.{2,3} B.{1,4,5} C.{4,5} D.{1,5} 2.不定式

x ?1 ? 2 的解集为 x
B. [?1,??) D. [?1,0)





A. (??,?1] ? (0,??) C. (??,?1]

3.下列函数中既是奇函数,又在区间(0,1)上单调递减的是 A. y ? ( )

( D. y ?



1 2

x

B. y ? log 1 x
2

C. y ? sin x

1 x
( )

4.已知 sin( 2? ? ? ) ? A.

3 4

4 3? ,? ? ( ,2? ), 则 tan( ? ? ? ) 等于 5 2 4 3 B. ? C. ? 3 4

D.

4 3
) )

5. 设等差数列{an}的公差 d 不为零, a1=9d, 若 ak 是 a1 和 a2k 的等比中项, 则 k 的值为 ( A.2 B.4 C .6 D.8 6.下列命题是假命题的是 ( A.对于两个非零向量 a ? b ,若存在一个实数 k 满足 a ? k b ,则 a ? b 共线 B.若 a ? b ,则 | a |?| b | C.若a ? b为两个非零向量,则 | a ? b |?| a ? b | D.若 a ? b 为两个方向相同的向量,则 | a ? b |?| a | ? | b | 7.已知两条直线 m,n,两个平面α ,β ,给出下面四个命题 ① m∥n,m⊥α ? n⊥α ; ② α ∥β ,m ? α ,n ? β ? m∥n; ③ m∥n,m∥α ? n∥α ; ④α ∥β ,m∥n,m⊥α ? n⊥β 其中正确命题的序号是 ( A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 8.如果双曲线 是
用心 爱心 专心



x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离 4 2

( A.



4 6 3
2

B.

2 6 3

C. 2 6

D. 2 3 ( )

9.若函数 f ( x) ? sin x ?

1 ( x ? R) ,则 f ( x) 是 2
B.最小正周期为π 的奇函数 D.最小正周期为

A.最小正周期为π 的偶函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数

? 的奇函数 2

10.若从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一 人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎,则不同的选择方案共 有 ( ) A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 11.函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是 ( )

A.5,-15 B.5,4 C.-4,-15 D.5,-16 2 12.已知点 P 是抛物线 y =4x 上一点,设点 P 到此抛物线准线的距离为 d1,到直线 x+2y+10=0 的距离为 d2,则 d1+ d2 的最小值为 ( A.5 B.4 C.



11 5 5

D.

11 5

二、填空题:(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处切线方程是 y ? f(1)+ f `(1) = 14.函数 y ? 15.若 ( x ?
2

1 x ? 2 ,则 2

。 。 (用数字作答)。

2 x ? x 2 (1 ? x ? 2) 的反函数是
1 6 5 ) 的二项展开式中 x 3 的系数为 ,则 a= ax 2

16.已知球 O 的半径是 1,A、B、C 三点都在球面上,A、B 两点和 A、C 两点的球面距离 都 是

? ? ,B、C 两点的球面距离是 ,则二面角 B—OA—C 的大小是 4 3



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题 10 分)已知 0 ? x ? (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)=

?
2

,函数 f ( x) ?

1 2 x x 3 sin x(cot ? tan ) ? cos 2 x 。 2 2 2 2

3 ,求 x 的取值集合。 2

用心

爱心

专心

18.(本小题 12 分) 某安全生产监督部门对 4 家小型煤矿进行监察,若安检不合格,则必须整改,若整改后 经复查仍不合格,则强制关闭,设每家煤矿安检是否合格相互独立,且每家煤矿整改前 2 1 2 0 安检合格的概率是 ,整改后安检合格的概率是 。 3 5 0 (1)求恰好有两家煤矿必须整改的概率; 9 (2)求至少关闭两家煤矿的概率。 0 3 1 1

19.(本题 12 分)如图,四边形 PCBM 是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1, BC=2,AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直线 AM 与直线 PC 成 60°角。 (Ⅰ)求证:平面 PAC⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 M—AC—B 的大小;

20.(本题 12 分)已知数列{an}满足 an==2 an-1+2n-1(n∈N*,n ? 2),且 a1=5. (Ⅰ)若存在一个实数 ? ,使得数列 {
用心

an ? ? } 为等差数列,请求出 ? 的值; 2n
爱心 专心

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求出数列{an}的前 n 项和 Sn。

21.(本题 12 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 | a |?

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x(a ? R), 3

1 时,求证:函数 f(x)在(-1,1)内是减函数; 4

(Ⅱ)若函数 f(x)在区间(-1,1)内有且只有一个极值点,求 a 的取值范围。

22.(本题 12 分)已知:椭圆 顶

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其右顶点为 A,上 2 a b 2

点为 B,左右焦点分别为 F1,F2,且 F2 A ? F2 B tan?AF2 B ? 4 2 ? 4. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)在线段 AB 上(不包括端点)是否存在点 M,使∠F1MF2 为直角?若存在,求出
用心 爱心 专心

点 M 的坐标;若不存在,说明理由。

参 考 答 案
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项符合题目要求的) 1.B 2.D 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.C 二、填空题:(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.3 15.2 14. y ? 1 ? 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 16.

? ,或 90° 2

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题 10 分)解:

1 2 (Ⅰ) f ( x) ? sin x( 2

cos sin

?
2 ?

?

2

2 ) ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? cos x ? 3 cos 2 x ? 2 sin x 2 cos 2
……………………3 分

sin

?

=

1 3 3 sin 2 x ? cos2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2

由 2k? ?

x ? ? 5? ? ? 2 x ? ? ? 2k? (k ? Z )得k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 2 3 2 12 12

又∵ 0 ? x ? 又由 2k? ?

?

x ? 3? ? 7? ? 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z )得k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 2 3 2 12 12

2

,∴ f ( x) 是单调递增区间为 (0,

?

12

]

又∵ 0 ? x ?

?

2

∴f(x)是单调递减区间为 (

, ) 12 2

? ?

……………………7 分

用心

爱心

专心

(Ⅱ)由 f(x)= sin(2 x ?

?
3

)?

2? ? ? , 即 x ? ,∴x 的取值集合是{ } ∴ 2x ? ? 3 3 6 6

?

3 ? ? ? 4? , 又∵ 0 ? x ? ? ? 2x ? ? , 2 2 3 3 3
……………………10 分

18.(本小题 12 分)解: (Ⅰ)由已知,设恰好有 2 家煤矿必须整改的概率为 P1, 则P 1 ? C 4 (1 ? ) ? ( ) ?
2 2 2

1 3

1 3

8 . 27 1 3 2 5

……………………5 分

(Ⅱ)由已知,某煤矿被关闭的概率是 P2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 从而该煤矿不被关闭的概率为 .

2 , 5

3 5

依题意,每家煤矿是否被关闭是相互独立的,故至少关闭两家煤矿的概率是

3 328 0 3 4 1 2 P3 ? 1 ? C 4 ( ) ? C4 ? ( )3 ? . 5 5 5 625

……………………12 分

19.(本题 10 分)解法一(Ⅰ)证明: ∵PC⊥AC,PC⊥BC,AB∩BC=B, ∴PC⊥平面 ABC, 又∵PC ? 平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 ABC,………4 分 (Ⅱ)解:取 BC 中点 N,则 CN=1, 连结 AN、MN,∵PM=CN,PM∥CN, ∴MN=PC,MN∥PC,从而 MN⊥平面 ABC。 作 NH⊥AC,交 AC 延长线于 H,连结 MH,由三垂线定理知,AC⊥MH, 从而∠MHN 为二面角 M—AC—B 的平面角,∵AM 与 PC 成 60°角, ∴∠AMN=60°,AN=

AC2 ? CN 2 ? 2 AC ? CN cos120o ? 3
3? 3 ? 1. 3

在 Rt△AMN 中, MN ? AN ? cot ?AMN ?

在 Rt△CNH 中, NH ? CN ? sin ?NCH ? 1 ?

3 3 ? . 2 2

在 Rt△MNH 中, tan?MHN ?

MN 1 2 3 ? ? . NH 3 3 2
2 3 3
……………………12 分

故二面角 M—AC—B 的大小为 arctan

解法二:(Ⅰ)同解法一。 (Ⅱ)在平面 ABC 内,过 C 作 CD⊥CB,建立空间直角坐标系 C—xyz,如图: 依题意有 A(

3 2 , ,0),设P(0,0, z 0 )(z 0 ? 0), 2 2
用心 爱心 专心

则 M (0,1, z 0 ), AM ? (? ∵AM 与 PC 成 60°角,

3 3 , , z 0 ), CP ? (0,0, z 0 ), 2 2

AM ? CP ?| AM | ? | CP | cos60o ,
即 z0 ?

1 2 3 1 z 0 ? 3 ? z 0,解得z 0 ? 1. ? CM ? (0,1,1), CA ? ( ,? ,0), 2 2 2

设平面 MAC 的一个法向量是 n ? ( x1 , y1 , z1 ), 则

? y1 ? z1 ? 0 ? ,取 x1 ? 1得n ? (1, 3,? 3) ? 3 1 x1 ? y1 ? 0 ? 2 ? 2
平面 ABC 的法向量取为 m ? (0,0,1) ,则 cos ? m, n ?? 显然二面角 M—AC—B 的平面角为锐角, 故二面角 M—AC—B 的大小为 arccos 20.(本题 12 分) (Ⅰ)解:因为实数 ? 符合题意,则

m?n | m|?| n |

??

21 . 7

21 7

……………………12 分

an ? ? an ?1 ? ? ? 必为与 n 无关的常数 2n 2n ?1



an ? ? an?1 ? ? an ? 2an?1 ? ? 2n ? 1 ? ? 1? ? ? n ?1 ? ? ? 1? n n n n 2 2 2 2 2
1? ? ? 0 ,得 ? =-1 2n

所以,

故存在一个实数 ? =-1,使得数列{

an ? ? }为等差数列。 2n

……………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{
n

a ?1 a ?1 an ? ? }的公差 d=1,∴ n n ? 1 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 n 2 2 2
1 2 n

得 an ? (n ?1) ? 2 ?1,? Sn ? a1 ? a2 ????an ? n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ???? ? (n ? 1) ? 2 记 Tn ? 2 ? 2 ? 3? 22 ? 4 ? 23 ???? ? (n ? 1) ? 2n 则 2Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? ? ? n ? 2 ? (n ? 1) ? 2
2 3 4 n n?1

两式相减,得 Tn ? n ? 2n?1 , 故 Sn ? n ? n ? 2n?1 ? n(2n?1 ? 1) 21.(本题满分 12 分)
用心 爱心 专心

……………………12 分

解:(Ⅰ) f '( x) ? 2 x2 ? 4ax ? 3,

……………………2 分

1 ? f '(?1) ? 4a ? 1 ? 0 ?| a |? ,? ? , 4 ? f '(1) ? ?4a ? 1 ? 0
∴ f '( x) ? 0 在(-1,1)上恒成立,∴ f ( x ) 在(-1,1)内是减函数。…………6 分 (Ⅱ)∵函数 f ( x ) 在区间(-1,1)内有且只有一个极值点, ∴ f '( x) ? 2 x2 ? 4ax ? 3 ? 0 在区间(-1,1)内只有一个解 由∵ f '(0) ? ?3 ? 0,?有f '(1) ? f '(?1) ? 0, ∴a ? ?

1 1 或a ? 4 4

……………………12 分

22.(本题满分 12 分)

解:(Ⅰ)由已知得 | F2 A | ? | F2 B | sin ?AF2 B ? 4 2 ? 4 ∴ S ?ABF2 ?

???? ?

???? ?

? ???? ? 1 ???? | F2 A | ? | F2 B | sin ?AF2 B ? 2 2 ? 2 2

?c 2 ? , ? ?a 2 ∴? ? 1 ? (a ? c) ? b ? 2 2 ? 2. ? ?2
又∵ b ? a ? c ,? ? (a ? c) ? (a ? c ) ? (2 2 ? 2) .
2 2 2 2 2 2 2

1 4

将a ?

2c 代入得 c ? 2, a ? 2 2
……………………6 分

x2 y 2 ? ?1 ∴椭圆的方程为 8 4

(Ⅱ)假设在线段 AB 上存在点 M,使∠F1MF2 为直角, MF 1 ? MF 2 ? 0, 设 M ( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2 2), 由(Ⅰ)可知 F 1 ? (?2,0), F 2 (2,0),
2 2 ∴ MF1 ? (?2,? x0 ,? y0 ), MF2 ? (2,? x0 ,? y0 ) 因此 x0 ? y0 ? 4 ? 0.

???? ? ???? ?

又由于 A(2 2,0), B(0, 2), ∴直线 AB 的方程为 y ? ?

2 ( x ? 2 2). 2

? y0 ? ?

2 2 2 ( x0 ? 2 2), 于是 x0 ? (? x0 ? 2) 2 ? 4 ? 0, 2 2

用心

爱心

专心

整理的 x0 ?
2

4 2 x0 ? 0 ,解得 x0 ? 4 2 ( x0 ? 0舍去) 3 3

且 x0 ?

2 4 2 ,得到 y0 ? , 故在线段 AB 上存在点 M, ? (0,2 2) 3 3

使∠F1MF2 为直角,其坐标为 (

4 2 2 , ) 3 3

……………………12 分

用心

爱心

专心


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