2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—8.立体几何

2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 8.立体几何
一、选择题 【2018.5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1 , O2 ,过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积 为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为 A. 12 2π B. 12 π C. 8 2 π D. 10 π

【2018,9】.某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如右图.圆柱表面
上的点 M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应 点为 B ,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为 A. 2 17 B. 2 5 C. 3 D.2

【2018,10】在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2 , AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30 ? , 则该长方体的体积为 A. 8 B. 6 2 C. 8 2 D. 8 3

【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在 这四个正方体中,直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )

【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 直的半径.若该几何体的体积是 A. 17 π B. 18π

28π ,则它的表面积是( 3
C. 20π

) D. 28π 平面 ABCD ? m ,

A , ?∥ 平面 CB1D1 , ? 【2016,11】平面 ? 过正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的顶点

?

平面 ABB1 A 1 ? n ,则 m, n 所成角的正弦值为(



A.

3 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

1 3

【2015,6】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下 问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思 为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的 弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知 1 斛
1 / 15

米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米有( ) A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的 正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( )B A.1 B.2 C.4 D.8

【2015,11】

【2014,8】

【2013,11】

【2012,7】 )

【2014, 8】 如图, 网格纸的各小格都是正方形, 粗实线画出的一个几何体的三视图, 则这个几何体是( A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 ). D.8+16π

【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.16+8π B.8+8π C.16+16π

【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A.6 B .9 C.12 D.15

【2012, 8】 平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面 ? 的距离为 2 , 则此球的体积为 ( ) A. 6? B. 4 3? C. 4 6? D. 6 3?

【2011,8】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )

二、填空题 【 2017 , 16 】 已 知 三 棱 锥 S ? ABC 的 所 有 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , SC 是 球 O 的 直 径 . 若 平 面

SCA? 平面 SCB ,SA ? AC ,SB ? BC , 三棱锥 S ? ABC 的体积为 9, 则球 O 的表面积为_______.
【2013,15】已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α,H 为垂足,α 截球 O 所得 截面的面积为 π,则球 O 的表面积为______. 【2011,16】已知两个圆锥由公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面 积是这个球面面积的

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 16



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三、解答题 18.(12 分)如图,在平行四边形 ABCM 中, AB ? AC ? 3 , ∠ACM ? 90? ,以 AC 为折痕将△ ACM 折 起,使点 M 到达点 D 的位置,且 AB ⊥DA . (1)证明:平面 ACD ⊥ 平面 ABC ; ( 2 ) Q 为 线 段 AD 上 一 点 , P 为 线 段 BC 上 一 点 , 且
BP ? DQ ? 2 DA ,求三棱锥 Q ? ABP 的体积. 3

【2017,18】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ∥ CD ,且 ?BAP ? ?CDP ? 90? . (1) 证明:平面 PAB ? 平面 PAD ; (2) 若 PA ? PD ? AB ? DC , ?APD ? 90? ,且四棱锥

8 P ? ABCD 的体积为 ,求该四棱锥的侧面积. 3

【2016,18】如图所示,已知正三棱锥 P ? ABC 的侧面是直角三角形, PA ? 6 ,顶点 P 在平面 ABC 内 的正投影为点 D , D 在平面 PAB 内的正投影为点 E .连结 PE 并延长交 AB 于点 G . (1)求证: G 是 AB 的中点; P (2)在题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F (说明作 法及理由) ,并求四面体 PDEF 的体积.

A G

E D B C

3 / 15

【2015,18】如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点,BE⊥平面 ABCD, (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120° ,AE⊥EC, 三棱锥 E- ACD 的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

【2014,19】如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平 面 BB1C1C . (1)证明: B1C ? AB; ( 2 ) 若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60? , BC ? 1, 求 三 棱 柱

ABC ? A1B1C1 的高.

【2013,19】如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° . (1)证明:AB⊥A1C;(2)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

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【2012,19】如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面, ?ACB ? 90? ,AC=BC= 的中点. (1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
C1 A1

1 AA1,D 是棱 AA1 2
B1

D C A B

【2011,18】如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60 , AB ? 2 AD ,

PD ? 底面 ABCD . (1)证明: PA ? BD ; (2)若 PD ? AD ? 1 ,求棱锥 D ? PBC 的高.

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2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 8.立体几何(解析版)
一、选择题 【2018.5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1 , O2 ,过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积 为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为 A. 12 2π B. 12 π C. 8 2 π D. 10 π

答案:B 【2018,9】.某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如右图.圆柱表面
上的点 M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应 点为 B ,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为 A. 2 17 C. 3 B. 2 5 D.2

答案:B 【2018,10】在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2 , AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30 ? , 则该长方体的体积为 A. 8 答案:C
【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在 这四个正方体中,直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )

B. 6 2

C. 8 2

D. 8 3

【解法】选 A.由 B,AB∥MQ,则直线 AB∥平面 MNQ;由 C,AB∥MQ,则直线 AB∥平面 MNQ;由 D,AB∥NQ,则直线 AB∥平面 MNQ.故 A 不满足,选 A. 【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相 互垂直的半径.若该几何体的体积是 A. 17 π B. 18π

28π ,则它的表面积是( 3
C. 20π D. 28π

) .

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解析:选 A. 由三视图可知,该几何体是一个球截去球的

1 7 4 3 28π ,设球的半径为 R ,则 ? πR ? , 8 3 3 8

解得 R ? 2 .该几何体的表面积等于球的表面积的

7 1 ,加上 3 个截面的面积,每个截面是圆面的 , 8 4

所以该几何体的表面积为 S ?

7 1 ? 4π ? 22 ? 3 ? ? π ? 2 2 ? 14π ? 3π ? 17π .故选 A. 8 4

A, ?∥ 平面 CB1D1 , ? 【2016, 11】 平面 ? 过正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的顶点
平面 ABB1 A 1 ? n ,则 m, n 所成角的正弦值为( )

? 平面 ABCD ? m ,

A.

3 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

1 3

解析:选 A. 解法一:将图形延伸出去,构造一个正方体,如图所示.通过寻找线线平行构造出平面 ? , 即平面 AEF ,即研究 AE 与 AF 所成角的正弦值,易知 ?EAF ?

? 3 ,所以其正弦值为 .故选 A. 3 2

E D A B F D1 A1 B1

C

C1

解法二(原理同解法一) :过平面外一点 A 作平面 ? ,并使 ?∥ 平面

CB1D1 ,不妨将点 A 变换成 B ,作 ? 使之满足同等条件,在这样的情况
下容易得到 ? ,即为平面 A 1B 与 BD 所成角 1BD ,如图所示,即研究 A
C

D B

A

? 3 的正弦值,易知 ?A1 BD ? ,所以其正弦值为 .故选 A. 3 2

D1 C1

A1 B1

【2015,6】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角, 下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的 四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的 米各位多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出 堆放的米有( )B A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 解:设圆锥底面半径为 r,依题

1 16 ? 2 ? 3r ? 8 ? r ? ,所以米堆的体积 4 3
7 / 15



320 1 1 16 320 ? ? 3 ? ( )2 ? 5 ? ,故堆放的米约为 ÷ 1.62≈22,故选 B. 9 4 3 3 9

【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何 体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面 积为 16+20π,则 r=( )B A.1 B.2 C.4 D.8 解:该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为 r, 圆柱的高为 2r,其表面积为 2πr2+πr×2r+πr2+2r×2r =5πr2+4r2=16+20π, 解得 r=2,故选 B. 【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 一个几何体的三视图,则这个几何体是( )B A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 解:几何体是一个横放着的三棱柱. 故选 B 【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

A.16+8π B.8+8π C.16+16π D .8 +16π 解析:选 A.该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体. V 半圆柱= 选 A. 【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 ( ) A.6 B .9 C.12 D.15 【解析】由三视图可知,该几何体为 A 三棱锥 A-BCD, 底面△BCD 为 底边为 6,高为 3 的等腰三角形, 侧面 ABD⊥底面 BCD, AO⊥底面 BCD, B D O 因此此几何体的体积为

1 π×22× 4=8π,V 长方体=4× 2× 2=16.所以所求体积为 16+8π.故 2

【2012,8】8.平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 ? 的 距离为 2 ,则此球的体积为( A. 6? C. 4 6? B. 4 3? D. 6 3? )

1 1 V ? ? ( ? 6 ? 3) ? 3 ? 9 ,故选择 B. 3 2

C

【解析】如图所示,由已知 O1 A ? 1 , OO1 ? 2 , 在 Rt ?OO1 A 中,球的半径 R ? OA ? 3 ,

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所以此球的体积 V ?

4 ? R 3 ? 4 3? ,故选择 B. 3

【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算. 【2011,8】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )

【解析】由几何体的正视图和侧视图可知,该几何体的底面为半圆和等腰三角形,其侧视图可以是一个由 等腰三角形及底边上的高构成的平面图形. 故选 D. 二、填空题 【 2017 , 16 】 已 知 三 棱 锥 S ? ABC 的 所 有 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , SC 是 球 O 的 直 径 . 若 平 面

SCA? 平面 SCB , SA ? AC , SB ? BC ,三棱锥 S ? ABC 的体积为 9,则球 O 的表面积为_______.
【解析】取 SC 的中点 O ,连接 OA, OB ,因为 SA ? AC, SB ? BC ,所以 OA ? SC , OB ? SC , 因 为 平 面

VA? SBC

S B C ? , 所 以 OA ? 平 面 S B C , 设 O A 1 1 1 1 1 ? ? S?SBC ? OA ? ? ? 2r ? r ? r ? r 3 ,所以 r 3 ? 9 ? r ? 3 , 3 3 2 3 3
平 面

SAC ?

r ,

所以球的表面积为 4? r 2 ? 36? . 【2013,15】已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α,H 为垂足,α 截球 O 所得 截面的面积为 π,则球 O 的表面积为______. 答案:

9 π 2 2R R ,OH= .又∵π·EH2=π,∴EH=1.∵在 3 3

解析:如图, 设球 O 的半径为 R,则 AH=
2

Rt△OEH 中,R2= ?

9 9π ?R? 2 2 2 ? +1 ,∴R = 8 . ∴S 球=4πR = 2 . ?3?

【2011,16】已知两个圆锥由公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 16 3 2 ? 4 πR 2 , 【解析】设圆锥底面半径为 r ,球的半径为 R ,则由 πr ? 16 3 2 2 知r ? R . 4 根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心 O ,且两圆锥的顶点以及圆
积是这个球面面积的 锥与球的交点是球的大圆上的点,因此 PB ? QB . 设 PO? ? x , QO? ? y ,则 x ? y ? 2 R . ?



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又 △PO?B∽△BO?Q ,知 r 2 ? O?B2 ? xy .

3 2 R . ? 4 3 R 由??及 x ? y 可得 x ? R, y ? . 2 2
2 即 xy ? r ?

则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比为 故答案为

1 . 3

1 . 3

三、解答题 【2018.18】 .解: (1)由已知可得, ?BAC =90°, BA ⊥ AC . 又 BA⊥AD,所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB ? 平面 ABC, 所以平面 ACD⊥平面 ABC. (2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA= 3 2 . 又 BP ? DQ ?
2 DA ,所以 BP ? 2 2 . 3

作 QE⊥AC,垂足为 E,则 QE

1 DC . ? 3

由已知及(1)可得 DC⊥平面 ABC,所以 QE⊥平面 ABC,QE=1. 因此,三棱锥 Q ? ABP 的体积为

1 1 1 VQ? ABP ? ? QE ? S△ABP ? ?1? ? 3 ? 2 2 sin 45? ? 1 . 3 3 2
【2017,18】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ∥ CD ,且 ?BAP ? ?CDP ? 90? . ( 1 )证明:平面 PAB ? 平面 PAD ; ( 2 )若 PA ? PD ? AB ? DC, ?APD ? 90? ,且四棱锥

8 P ? ABCD 的体积为 ,求该四棱锥的侧面积. 3
【解法】 (1) 又

?BAP ? ?CDP ? 90? , ? A B? A , P C? D
? AB ? DP

DP

AB ∥ CD

又 AP ? 平 面 PAD , DP ? 平 面 PAD , 且 A P AB ? 平面 PAD ?

DP ? P

AB ? 平面 PAB ,所以 平面 PAB ? 平面 PAD
(3) 由题意:设 PA ? PD ? AB ? DC =a ,因为 ?APD ? 90? , 所以 ?PAD 为等腰直角三角形, 即 AD= 2a
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取 AD 中点 E ,连接 PE ,则 PE ? 又因为平面 PAB ? 平面 PAD 因为 AB ? 平面 PAD , AB ∥ CD 又 AB ? DC =a , 所以 V

2 a , PE ? AD . 2
所以 PE ? 平面 ABCD 所以 AB ? AD , CD ? AD

所以四边形 ABCD 为矩形

P ? ABCD

?

1 1 AB AD PE ? a 3 3

2a

2 1 8 a ? a3 ? 2 3 3

即a ? 2

1 1 S侧 = ? 2 ? 2 ? 3+ ? 2 2 ? 6=6+2 3 2 2
【2016,18】如图所示,已知正三棱锥 P ? ABC 的侧面是直角三角形, PA ? 6 ,顶点 P 在平面 ABC 内 的正投影为点 D , D 在平面 PAB 内的正投影为点 E .连结 PE 并延长交 AB 于点 G . (1)求证: G 是 AB 的中点; (2)在题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F (说明作法及理由) ,并求四面体 PDEF 的体积. 解析 :( 1 ) 由 题 意 可 得 △ ABC 为 正 三 角 形 , 故 PA ? PB ? PC ? 6 .

P

因为 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D ,故 PD ? 平面 ABC . 又 AB ? 平面 ABC ,所以 AB ? PD . 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为点 E ,故 DE ? 平面 PAB . 又 AB ? 平面 PAB ,所以 AB ? DE . 因为 AB ? PD , AB ? DE , PD DE ? D , PD , DE ? 平面 PDG , 所以 AB ? 平面 PDG .又 PG ? 平面 PDG ,所以 AB ? PG . 因为 PA ? PB ,所以 G 是 AB 的中点. (2)过 E 作 EF∥ BP 交 PA 于 F ,则 F 即为所要寻找的正投影. 理 由 如 下 , 因 为 PB ? PA , PB∥ EF , 故 E F ? P A. 同 理 EF? PC , 又 PA PC ? P , PA, PC ? 平面 PAC ,所以 EF ? 平面 PAC , 故 F 即为点 E 在平面 PAC 内的正投影. 所以 VD ? PEF

A G

E D B C

P F A G E D B C

1 1 ? S△PEF ? DE ? PF ? EF ? DE . 3 6

在 △PDG 中, PG ? 3 2 , DG ? 6 , PD ? 2 3 ,故由等面 积法知 DE ? 2 . 由勾股定理知 PE ? 2 2 ,由 △PEF 为等腰直角三角形知 PF ? EF ? 2 ,故 VD ? PEF ?

4 . 3

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【2015,18】如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点,BE⊥平面 ABCD, (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120° ,AE⊥EC, 三棱锥 E- ACD 的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

解:(Ⅰ) ∵BE⊥平面 ABCD,∴BE⊥AC. ∵ABCD 为菱形,∴ BD⊥AC, ∴AC⊥平面 BED,又 AC?平面 AEC,∴平面 AEC⊥平面 BED. …6 分 (Ⅱ)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120° 可得, AG=GC=

x 3 3 x ,GB=GD= . 在 RtΔAEC 中,可得 EG= x. 2 2 2

∴在 RtΔEBG 为直角三角形,可得 BE=

2 x. 2

…9 分

∴ VE ? ACD ?

1 1 6 3 6 , 解得 x =2. ? AC ? GD ? BE ? x ? 3 2 24 3

由 BA=BD=BC 可得 AE= ED=EC= 6 . ∴ΔAEC 的面积为 3,ΔEAD 的面积与 ΔECD 的面积均为 5 . 所以三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . 18. 解析 (1)因为 BE ? 平面 ABCD ,所以 BE ? AC . 又 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 又因为 BD BE ? B , BD , BE ? 平面 BED , 所以 AC ? 平面 BED .又 AC ? 平面 AEC ,所以平面 AEC ? 平面 BED . (2)在菱形 ABCD 中,取 AB ? BC ? CD ? AD ? 2 x , 又 ?ABC ? 120 ,所以 AG ? GC ? 3x , BG ? GD ? x . 在 △ AEC 中, ?AEC ? 90 ,所以 EG ? 所以在 Rt△EBG 中, BE ? 所以 VE ? ACD ? …12 分

1 AC ? 3x , 2

EG2 ? BG2 ? 2x ,

1 1 6 3 6 ? ? 2 x ? 2 x ? sin120 ? 2 x ? x ? ,解得 x ? 1 . 3 2 3 3

在 Rt△EBA , Rt△EBC , Rt△EBD 中, 可得 AE ? EC ? ED ? 6 . 所以三棱锥的侧面积 S侧 ? 2 ? ? 2 ? 5 ?

1 2

1 ? 6 ? 6 ? 3? 2 5 . 2

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【2014,19】如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平 面 BB1C1C . (1)证明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60? , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高. 证明:(Ⅰ)连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点, ∵AO⊥平面 BB1C1C. ∴AO⊥B1C, …2 分 因为侧面 BB1C1C 为菱形,∴BC1⊥B1C,…4 分 ∴BC1⊥平面 ABC1,∵AB?平面 ABC1, 故 B1C⊥AB. …6 分 (Ⅱ)作 OD⊥BC,垂足为 D,连结 AD,∵AO⊥BC,∴BC⊥ 平面 AOD, 又 BC?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 AOD,交线为 AD, 作 OH⊥AD, 垂足为 H, ∴OH⊥平面 ABC. …9 分 ∵∠CBB1=60°,所以 ΔCBB1 为等边三角形,又 BC=1,可得 OD= 由于 AC⊥AB1,∴ OA ?
3 , 4

1 1 7 B1C ? ,∴ AD ? OD 2 ? OA2 ? , 2 2 4 21 由 OH· AD=OD· OA,可得 OH= ,又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 14 21 21 ,所以三棱柱 ABC-A1B1C1 的高高为 。 …12 分 7 7 另解(等体积法):∵∠CBB1=60°,所以 ΔCBB1 为等边三角形,又 BC=1,

可得 BO=

1 1 3 2 ,由于 AC⊥AB1,∴ OA ? B1C ? ,∴AB=1,AC= ,…9 分 2 2 2 2

1 2 2 7 则等腰三角形 ABC 的面积为 ? ,设点 B1 到平面 ABC 的距离为 d, ? 12 ? ( )2 ? 2 2 4 8 7 3 1 21 由 VB1-ABC=VA-BB1C 得 , d? ? , 解得d ? 8 4 2 7 21 所以三棱柱 ABC-A1B1C1 的高高为 。 …12 分 7

【2013,19】如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° . (1)证明:AB⊥A1C;(2)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

证明:(1)取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60° ,
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故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C?平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 OC=OA1= 3 . 又 A1C= 6 ,则 A1C2=OC2+ OA12 , 故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC- A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC= 3 ,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V= S△ABC× OA1=3. 【2012,19】如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面, ?ACB ? 90? ,AC=BC= 的中点. (1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 【解析】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC , 得: ?ADC ? 45? ,
? ? 同理: ?A 1DC 1 ? 45 ? ?CDC 1 ? 90 ,

1 AA1,D 是棱 AA1 2

C1 A1

B1

D C A B

得: DC1 ? DC . 由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC, CC1 所以 BC ? 平面 ACC1 A 1. 又 DC1 ? 平面 ACC1 A 1 ,所以 DC1 ? BC 而 DC

AC ? C ,

BC ? C ,所以 DC1 ? 平面 BDC .

又 DC1 ? 平面 BDC1 ,故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)由已知 AC=BC=

1 AA1,D 是棱 AA1 的中点, 2 1 2 a ? 2a ? a 3 . 2

设 AA1 ? 2a , AC ? BC ? AD ? a ,则 VABC ? A1B1C1 ?

BC 为四棱锥 B ? ACC1D 的高, 由(1) , BC ? 平面 ACC1 A 1 ,所以
所以 VB ? ACC1D ?

1 1 1 ? ( ? 3a ? a) ? a ? a 3 . 3 2 2

因此平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积的比为

VABC ? A1B1C1 ? VB ? ACC1D VB ? ACC1D

1 a3 ? a3 2 ? 1. ? 1 3 1 a 2

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【2011,18】如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60 , AB ? 2 AD ,

PD ? 底面 ABCD . (1)证明: PA ? BD ; (2)若 PD ? AD ? 1 ,求棱锥 D ? PBC 的高.
【解析】 ( 1 ) 因 为 ?DBA ? 60 , AB ? 2 AD , 由 余 弦 定 理 得

BD ? 3 AD ,
2 2 2 从而 BD ? AD ? AB ,故 BD ? AD ,又 PD ? 底面 ABCD ,可得

BD ? PD . 所以 BD ? 平面 PAD ,故 PA ? BD . (2)如图所示,作 DE ? PB ,垂足为 E .已知 PD ? 底面 ABCD ,则 PD ? BC . 由(1)知 BD ? AD ,又 BC∥AD ,所以 BC ? BD . 故 BC ? 平面 PBD , BC ? DE ,则 DE ? 平面 PBC .
因为 AD ? 1 , AB ? 2 , ?DAB ? 60 , 所以 BD ? 3 ,又 PD ? 1 ,所以 PB ? 2 . 根据 DE ? PB ? PD ? BD ,得 DE ?

3 ,即棱锥 D ? PBC 的高 2



3 . 2

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