2019年高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 课时跟踪检测(六)函数的奇偶性及周期性 文

2019 年高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ

课时跟踪检测(六)函数的奇偶性及周期性 文

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+m,则 f(-2)=________. 解析:因为 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 f(0)=20+m=0,解得 m=-1, 则 f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3. 答案:-3 2.(xx·南京三模)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2x-2,则不 等式 f(x-1)≤2 的解集是________. 解析:偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增,且 f(2)=2. 所以 f(x-1)≤2,即 f(|x-1|)≤f(2),即|x-1|≤2,所以-1≤x≤3. 答案:[-1,3] 3.函数 f(x)=x+1x+1,f(a)=3,则 f(-a)=________.

解析:由题意得 f(a)+f(-a)=a+1a+1+(-a)+-1a+1=2. 所以 f(-a)=2-f(a)=-1. 答案:-1

4.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________.

解析:因为 f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, 所以当 x<0 时,-x>0,

f(x)=-f(-x)=-( -x+1),

即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1.

答案:- -x-1 5.设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则 f ???32??? =________. 解析:依题意得,f(2+x)=f(x),f(-x)=f(x), 则 f ???32???=f ???-12???=f ???12???=12+1=32. 答案:32

6.(xx·南通一调)若函数

f(x)=?????xax

x-b x+

,x≥0 ,x<0

(a,b∈R)为奇函数,则 f(a

+b)=________. 解析:法一:因为函数 f(x)为奇函数,

所以?????ff

- -

=-f =-f

, 即???



??

-b =a -1+ , -b =2a -2+ ,

解得?????ab= =-2,1, 经验证 a=-1,b=2 满足题设条件, 所以 f(a+b)=f(1)=-1. 法二:因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称,由题意知, 当 x≥0,二次函数的图象顶点坐标为???b2,-b42???, 当 x<0,二次函数的图象顶点坐标为(-1,-a),

??-b2=-1, ? 所以 b2
?? 4 =-a,

解得 a=-1,b=2,

经验证 a=-1,b=2 满足题设条件, 所以 f(a+b)=f(1)=-1. 答案:-1
二保高考,全练题型做到高考达标 1.(xx·苏锡常镇调研)已知函数 f(x)=x3+2x,若 f(1)+f (log3)>0(a>0 且 a≠1), 则实数 a 的取值范围是________. 解析:由函数 f(x)的解析式易得,该函数为奇函数且在定义域 R 上是单调增函数,故
f(1)+f (log3)>0,即 f (log3)>-f(1)=f(-1),即 log3>-1=loga.所以???1a>1, ??3>a

或???0<1a<1, ??3<a,

解得 0<a<1 或 a>3.

答案:(0,1)∪(3,+∞)

2.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f ???-52???=________. 解析:因为 f(x)是周期为 2 的奇函数,

所以 f ???-52???=f ???-52+2???=f ???-12???=-f ???12???=-2×12×???1-12???=-12.

答案:-12
3.定义在 R 上的奇函数 y=f(x)在(0,+∞)上递增,且 f ???12???=0,则满足 f(x)>0 的 x 的集合为________.
解析:由奇函数 y=f(x)在(0,+∞)上递增,且 f ???12???=0,得函数 y=f(x)在(-∞, 0)上递增,且 f ???-12???=0,
所以 f(x)>0 时,x>12或-12<x<0. 即满足 f(x)>0 的 x 的集合为 ???x-12<x<0或x>12???. 答案:???x-12<x<0或x>12??? 4.(xx·泰州期末)设 f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2x+lnx4,记 an=f(n -5),则数列{an}的前 8 项和为________. 解析:数列{an}的前 8 项和为 f(-4)+f(-3)+…+f(3)=f(-4)+(f(-3)+f(3)) +(f(-2)+f(2))+(f(-1)+f(1))+f(0)=f(-4)=-f(4)=-???24+ln44???=-16. 答案:-16 5.(xx·徐州高三年级期中考试)已知函数 f(x)=ex-e-x+1(e 为自然对数的底数),若 f(2x-1)+f(4-x2)>2,则实数 x 的取值范围为________. 解析:令 g(x)=f(x)-1=ex-e-x,则 g(x)为奇函数,且在 R 上单调递增.因为 f(2x -1)+f(4-x2)>2,所以 f(2x-1)-1+f(4-x2)-1>0,即 g(2x-1)+g(4-x2)>0,所以 g(2x -1)>g(x2-4),即 2x-1>x2-4,解得 x∈(-1,3). 答案:(-1,3) 6.(xx·镇江中学测试)已知奇函数 f(x)在定义域 R 上是单调减函数,若实数 a 满足 f(2|2a -1|)+f(-2 2)>0,则 a 的取值范围是________. 解析:由 f(2|2a-1|)+f(-2 2)>0,可得 f(2|2a-1|)>-f(-2 2).因为 f(x)为奇函数, 所以 f(2|2a-1|)>f(2 2).因为 f(x)在定义域 R 上是单调减函数,所以 2|2a-1|<2 2,即|2a- 1|<32,解得-14<a<54. 答案:???-14,54???

7.(xx·苏州调研)已知奇函数 f(x)在(-∞,0)上单调递减,且 f(2)=0,则不等式 fx x-1 >0 的解集为________.

fx 解析:由 x-1

>0,可得?????xf>1,x

或?????xf<1, x

因为奇函数 f(x)在(-∞,0)

上单调递减,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递减,且 f(2)=f(-2)=0,所以当 x>1 时,f(x)>0

的解集为(1,2);当 x<1 时,f(x)<0 的解集为(-2,0).

fx 所以不等式 x-1 >0 的解集为(-2,0)∪(1,2).

答案:(-2,0)∪(1,2)
8.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=???12???x,则 f(1), g(0),g(-1)之间的大小关系是______________.
解析:在 f(x)-g(x)=???12???x 中,用-x 替换 x, 得 f(-x)-g(-x)=2x, 由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 因此得-f(x)-g(x)=2x. 联立方程组解得 f(x)=2-x2-2x,g(x)=-2-x2+2x,

于是 f(1)=-34,g(0)=-1,g(-1)=-54,

故 f(1)>g(0)>g(-1). 答案:f(1)>g(0)>g(-1) 9.(xx·通州中学检测)已知函数 f(x)=x2+ax(x≠0,a∈R).

(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2(x≠0)为偶函数; 当 a≠0 时,f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), 所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(2)f′(x)=2x-xa2,要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,只需当 x≥2 时,f′(x)≥0

恒成立, 即 2x-xa2≥0 在[2,+∞)上恒成立,则 a≤2x3∈[16,+∞)恒成立.

故若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围为(-∞,16].

?? -x2+2x,x>0, 10.已知函数 f(x)=?0,x=0,
??x2+mx,x<0

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,

结合 f(x)的图象(如图所示)知?????aa- -22>≤-11,, 所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3].

三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.已知 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=x+4x,且当 x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m 恒成立,则 m-n 的最小值是________. 解析:因为当 x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m 恒成立, 所以 n≤f(x)min 且 m≥f(x)max, 所以 m-n 的最小值是 f(x)max-f(x)min,又由偶函数的图象关于 y 轴对称知,当 x∈[- 3,-1]时,函数的最值与 x∈[1,3]时的最值相同,又当 x>0 时,f(x)=x+4x,在[1,2]上 递减,在[2,3]上递增,且 f(1)>f(3), 所以 f(x)max-f(x)min=f(1)-f(2)=5-4=1. 答案:1

2.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意实数 x 有 f ???32+x???=-f ???32-x???成立. (1)证明 y=f(x)是周期函数,并指出其周期; (2)若 f(1)=2,求 f(2)+f(3)的值; (3)若 g(x)=x2+ax+3,且 y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数 a 的值. 解:(1)由 f ???32+x???=-f ???32-x???, 且 f(-x)=-f(x),知 f(3+x)=f ???32+???23+x??????= -f ???32-???23+x??????=-f(-x)=f(x), 所以 y=f(x)是周期函数,且 T=3 是其一个周期. (2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0, 且 f(-1)=-f(1)=-2,又 T=3 是 y=f(x)的一个周期,所以 f(2)+f(3)=f(-1) +f(0)=-2+0=-2. (3)因为 y=|f(x)|·g(x)是偶函数, 且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数. 故 g(x)=x2+ax+3 为偶函数, 即 g(-x)=g(x)恒成立, 于是(-x)2+a(-x)+3=x2+ax+3 恒成立. 于是 2ax=0 恒成立,所以 a=0.


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