20010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(辽宁.文)含详解_图文

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
高 考 资 第Ⅰ卷 源 w 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 网 w ( 题目要求的。 w w w (. 1)已知集合 U ? ?1,3,5,7,9? , A ? ?1,5,7? ,则 CU A ? k w s (A) ?1,3? . (B) ?3, 7,9? (C) ?3,5,9? (D) ?3,9? 5 k u 解析:选 D. 在集合 U 中,去掉 1,5,7 ,剩下的元素构成 C A. s U . 5 1 ? 2 i u (c 2)设 a, b 为实数,若复数 ? 1 ? i ,则 a ? bi o . 1 3 m (A) a ? 3 , b ? 1 c (B) a ? 3, b ? 1 (C) a ? , b ? (D) a ? 1, b ? 3 2 2 2 2 o 来 3 1 1 ? 2 i 3 1 m 源 解析:选 A. a ? bi ? ? ? i ,因此 a ? , b ? . 1 ? i 2 2 2 2 ) : 校对、解析人:辽宁大连瓦房店市高级中学:虞政华 QQ: 897107879 (高 3)设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? 考 资 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 源 网 解析:选 B. 两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ? a4 ? 4 . a3 ( 4 )已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,若 x0 满足关于 x 的方程
2

数学(供文科考生使用)解析

2ax ? b ? 0 ,则下列选项的命题中为假命题的是
(A) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (C) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (B) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (D) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

解析:选 C.函数 f ( x) 的最小值是 f (?

b ) ? f ( x0 ) 2a

等价于 ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) ,所以命题 C 错误. (5)如果执行右面的程序框图,输入 n ? 6, m ? 4 ,那么输出的 p 等于 (A)720 (B) 360 (C) 240 (D) 120

解析:选 B. p ? 1? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 360. (6) 设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? 最小值是 (A)

?
3

) ? 2 的图像向右平移

4? 个单位后与原图像重合, 则? 的 3

2 3

(B)

4 3
2?

(C)

3 2

(D) 3

解析:选 C.由已知,周期 T ?

?

?

4? 3 ,?? ? . 3 2

(7)设抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,如 果直线 AF 斜率为 ? 3 ,那么 PF ? (A) 4 3 (B) 8 (C) 8 3 (D) 16

解析:选 B.利用抛物线定义,易证 ?PAF 为正三角形,则 | PF |?

4 ?8 sin 30?

(8)平面上 O, A, B 三点不共线,设 OA ? a, OB ? b ,则 ?OAB 的面积等于 (A)

a b ? ( a ? b) 2
1 2 a b ? ( a ? b) 2
2 2

2

2

(B)

a b ? ( a ? b) 2
1 2 a b ? ( a ? b) 2
2 2

2

2

(C)

(D)

解析:选 C.

S?OAB ?

1 1 1 ( a ? b) 2 | a || b | sin ? a, b ?? | a || b | 1 ? cos 2 ? a, b ? ? | a || b | 1 ? 2 2 2 2 2 |a| |b|

?

1 2

a b ? ( a ? b) 2

2

2

(9)设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么此双曲线的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

解析:选 D.不妨设双曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为: 则一个焦点为 F (c,0), B(0, b) 一条渐近线斜率为:

b b b b ,直线 FB 的斜率为: ? ,? ? (? ) ? ?1 ,?b2 ? ac a c a c

c2 ? a2 ? ac ? 0 ,解得 e ?
(10)设 2 ? 5 ? m ,且
a b

c 5 ?1 . ? a 2

1 1 ? ? 2 ,则 m ? a b
(C)20 (D)100

(A) 10 解析:选 A.

(B)10

1 1 ? ? log m 2 ? log m 5 ? log m 10 ? 2,? m2 ? 10, 又 m ? 0,? m ? 10. a b

( 11 )已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1 ,

BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于
(A)4 ? (B)3 ? (C)2 ? (D) ?

解析:选 A.由已知,球 O 的直径为 2R ? SC ? 2 ,? 表面积为 4? R2 ? 4? . (12)已知点 P 在曲线 y ? 是 (A)[0,

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围 e ?1
x

? ) 4

(B) [

? ?

, ) 4 2
2x

(C) (
x

? 3?
2 4 ,

]

(D) [

3? ,? ) 4

4e 4 1 ?? , e x ? x ? 2,??1 ? y? ? 0 , x 1 e ? 2e ? 1 e ex ? 2 ? x e 3? 即 ?1 ? tan ? ? 0 ,?? ? [ , ? ) 4
解析:选 D. y? ? ?

第Ⅱ卷
本试卷包括必考题和选考题两部分。第( 13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)三张卡片上分别写上字母 E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词 BEE 的概率为 。 解析: 填

1 3

1 题中三张卡片随机地排成一行, 共有三种情况:BEE, EBE, EEB , ? 概率为: . 3


(14)设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则 a9 ?

解析:填 15.

3? 2 ? S3 ? 3a1 ? d ?3 ? ?a1 ? ?1 ? 2 ,解得 ? ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ? ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 6 1 ? 2 ?
.

(15)已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范围是 (答案用区间表示)

? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 4 ? 解析:填 (3,8) . 利用线性规划,画出不等式组 ? 表示的平面区域, ?x ? y ? 2 ? ?x ? y ? 3
即可求解. (16)如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画 出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的 长为 .

解析:填 2 3 画出直观图:图中四棱锥 P ? ABCD 即是, 所以最长的一条棱的长为 PB ? 2 3. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2

P

A B C

D

即 a ? b ? c ? bc
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

故 cos A ? ?

1 , A ? 120? 2
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C. 又 sin B ? sin C ? 1 ,得 sin B ? sin C ? 因为 0? ? B ? 90?,0? ? C ? 90? , 故B?C 所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。 (18) (本小题满分 12 分) 为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做实验,将这 200 只家兔随机地分成两组。每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B。下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果。 (疱疹面积单位: mm )
2

1 2

(Ⅰ)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

(Ⅱ)完成下面 2 ? 2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面 积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 。

附: K 2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

解: (Ⅰ)

图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间,而注射药物 B 后的疱疹面 积的中位数在 70 至 75 之间,所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱 疹面积的中位数。 (Ⅱ)表 3 注射药物 A 注射药物 B 合计 疱疹面积小于 70mm2 a ? 70 疱疹面积不小于 70mm2 b ? 30 合计 100

c ? 35 105

d ? 65 95

100 n ? 200

K2 ?

200 ? (70 ? 65 ? 35 ? 30) 2 ? 24.56 100 ? 100 ? 105 ? 95

由于 K 2 ? 10.828 ,所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. (19) (本小题满分 12 分) 如图, 棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1 B1 是菱形, B1C ? A1B (Ⅰ)证明:平面 AB1C ? 平面 A1 BC1 ; ( Ⅱ ) 设 D 是 A1C1 上 的 点 , 且 A1 B // 平 面 B1 C D , 求

A1D : DC1 的值.
解: (Ⅰ)因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C ? BC1 又已知 B1C ? A1 B, 且A1 B ? BC1 ? B 所又 B1C ? 平面 A1BC1,又 B1C ? 平面 AB1C , 所以平面 AB1C ? 平面 A1BC1 . (Ⅱ)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE, 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线, 因为 A1B//平面 B1CD,所以 A1B//DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D:DC1=1. (20) (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C a 2 b2

相交于 A , B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F1 到直线 l 的距离为 2 3 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2 F2 B ,求椭圆 C 的方程. 解: (Ⅰ)设焦距为 2c ,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c ? 2 3, 故c ? 2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),由题意知y1 ? 0, y2 ? 0, 直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 2).

? y ? 3( x ? 2), ? 联立 ? x 2 y 2 得(3a 2 ? b 2 ) y 2 ? 4 3b 2 y ? 3b 4 ? 0. ? 2 ? 2 ?1 b ?a
解得 y1 ?

? 3b2 (2 ? 2a) ? 3b2 (2 ? 2a) , y ? . 2 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2

因为 AF2 ? 2F2 B, 所以 ? y1 ? 2 y2 . 即

3b2 (2 ? 2a) ? 3b2 (2 ? 2a) ? 2 ? . 3a 2 ? b2 3a 2 ? b 2
2 2

得 a ? 3.而a ? b ? 4, 所以b ? 5.

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1.
2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | . 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 . ? 2ax ? x x

当 a≥0 时, f ?( x) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x) =0,解得 x= ?

a ?1 .当 x∈(0, 2a

?

a ?1 )时, f ?( x) >0; 2a

x∈( ?

a ?1 ,+ ? )时, f ?( x) <0, 故 f(x)在(0, 2a

?

a ?1 a ?1 )单调增加,在( ? ,+ ? ) 2a 2a

单调减少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2,
即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则

g ?( x) ?


a ?1 ? 2ax +4 x

2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 . x ?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0. x x

于是 g ?( x) ≤

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 .

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (Ⅰ)证明: ?ABE ∽△ ADC ;

1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小. 2 证明: (Ⅰ)由已知条件,可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
(Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ? (Ⅱ)因为△ABE∽△ADC,所以

AB AD ,即 AB·AC=AD·AE. ? AE AC 1 1 又 S= AB·ACsin∠BAC,且 S= AD·AE,故 AB·ACsin∠BAC=AD·AE. 2 2

则 sin∠BAC=1,又∠BAC 为三角形内角,所以∠BAC=90°. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知 P 为半圆 C: ?

? x ? cos ? ( ? 为参数,0≤ ? ≤ π )上的点,点 A 的坐标为(1,0) , ? y ? sin ?

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为

π . 3

(Ⅰ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标;

(Ⅱ)求直线 AM 的参数方程. 解:(Ⅰ)由已知,M 点的极角为 故点 M 的极坐标为(

π π ,且 M 点的极径等于 , 3 3

π π , ) 3 3
π 3π ),A(l,0),故直线 AM 的参数方程为 , 6 6

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(

π ? x ? 1 ? ( ? 1)t. ? 6 ? (t 为参数). ? 3 ? ?y ? t. ? 6 ?
(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2

?1 1 1? 已知 a,b,c 均为正数,证明:a +b +c + ? ? ? ? ≥6 3 ,并确定 a,b,c 为何值时, ?a b c?
2 2 2

等号成立. 证明:(证法一) 因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得
2

a2+b2+c2≥ 3(abc) 3
1 ? 1 1 1 ? ? ≥ 3(abc) 3 a b c



2 ? ?1 1 1? 所以 ? ? ? ? ≥ 9(abc) 3 . ?a b c? 2 2 ? ?1 1 1? 故 a +b +c + ? ? ? ? ≥ 3(abc) 3 ?9(abc) 3 ?a b c?

2



2

2

2

2

又 3(abc) 3 ?9(abc)

2

?

2 3

≥ 2 27 ? 6 3 ,



所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立.当且仅当 3(abc) 3 ? 9(abc)
1
2 ? 2 3

时, ③式等号成立.

即当且仅当 a=b=c= 3 4 时,原式等号成立. (证法二) 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式 a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc c2+a2≥2ac. 所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ac



1 1 1 1 1 1 ? 2? 2≥ ? ? 2 a b c ab bc ac 1 1 1 故 a2+b2+c2+( ? ? )2 a b c 1 1 1 ≥ab+bc+ac+3 +3 +3 ab bc ac
同理 ≥6 3 .





所以原不等式成立 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3 时,③式等号成 立. 即当且仅当 a=b=c= 3 时,原式等号成立.
1 4

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