蝴蝶定理逆定理的一个证明


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弱 留 
湖 北省 公安 县一 L f 1   杨 先 义  文[ 1 ] 定义 了 Z数 : 对 P∈N, P 。可 从 某 处 截 断 ,   分 为 M  、 M: , 如l   M  一M。 一P, 则 称 P 为 Z 数.   文[ 1 ] 阐 明 了对  ∈N, l 0 ” 、 l 0 ” +l 必 为 Z数 ( 可 

姗 蝶 窟 理 翘 定 理 的 


个 证 明 

江西师 大鹰 潭学 院  王建 荣  上官 军胜 
蝴 蝶 定 理 的 逆 定 理  如 图 , 过 圆 0 中 弦 AB 的 一 

点 G, 任 作 二 弦 DF、 C E。 连结 C F、 DE 交 AB分 别 于  谓 平凡 Z数 ) . 此外 , 还 找到 非平 凡 Z数 : 3位 数 的有 2   M、 N, 如 果 MG= NG, 那 么 G 是  4 B 的中点 .   个: 2 8 7 , 3 6 4 ; 4位数 的有 4 个: 1 0 7 8 , 1 0 9 6 , l 2 8 7 , 1 3 6 4 .   证 明: 如图, 过 点 N 作 HK , 作 HK / /F C, 交 EC  

我 们通 过编 程在 计算 机搜 索 , 找 到非平 凡 z数 :   5位数 的有 2 个: ¨0 9 6 , 1 8 l 8 3 .  
6位 数 的有 2 个: 1 l 8 1 8 3 , 3 3 6 6 3 4 .   7位数 的有 2 个: 1 3 3 6 6 3 4 , 2 7 2 7 2 7 4 .   8 位 数 的 有
2 35 2 9 41 2, 25 9 7 4 02 6 .  

于 H、 交 F D 的延 长线 于 K , 则 
EN  N  K 

‘ .

H  N  H N  G N  N K G N  ’ —M F — 一  ’   DN ’ CM  
一 一  


‘ GM — G N .  


4 个 :1 2 7 2 7 2 7 4 。l 9 1 3 8 7 5 7 ,  
‘ .

DN ?EN — M℃ ?FM .  




AG=A BG,  
D N ? N E — A N ?B N  

9位数 的有 7 个: 1 2 0 8 7 9 1 2 2 . 1 4 0 0 1 7 8 7 8 。 1 6 5 9 9 1 9 0 4 ,  
2 8 8 5 5 3 5 5 2, 3 0 7 6 9 2 3 0 8, 4 9 6 0 3 9 5 0 5 , 5 5 2 2 8 9 81 6 .  


( A(   + G N ) (BG — G N )   (  B G + G N )( BG — G N ),  

猜想 , 对 ,   ∈N, ” ≥2 , ”位 数 的非平 凡 Z 数存 在.  
参 考 文 献 



同 理  MC ?FM = ( BG 
+ GM ) (  BG — GM ) .  
‘ . .

1   张赞 . K数 的对偶 数 探究 [ J   . 中学数 学 教学 参考 ( 高 中) ,  
2 006。 5  

(  BG + GN )( BG 一  GN )一 ( BG + GM )(  BG 



(   ) , . ‘ .   一1 , 故 G 是 AB   的中点.  

≮  一  

湖北 省黄 石 市二 中  杨 志 明   文[ 1 ] 介 绍 了 K 数 的对 偶 数 : Z数 。 找到 了 2 ~4  

两 个 几 何 等  式 
● 

位 数 的 z数 , 但 漏 了一个 二 位 z数 : 7 8 , 也 没 有指 出 z   数 P 的平方 即 P。的分段 方法 . 通 过计 算机 搜索 , 我 们 
又 找到 一 批 Z数 P, 并 给 出其 分 段 方 法 : P   一l O   M 
+M。 一( M  ,   ) ( 是是 M :的 位 数 ) ( 平 凡 的略 去 ) .   2位 数 的 有 : 7 8 , ( 6 , 0 8 4 ) .  

安徽 省 舒城 县杭 埠镇 中心 学校  丁遵 标 

文[ 1 ] 中收 入 三 角 形 旁 切 圆半 径 (  , r ^ ,  ) 和 高  ( h  , h   , h   ) 问 的三个 不等 式 

∑ ¨   ≤ ∑ …∑   蔫≤ s ; I I   ≤   .  
我 们把 它们 “ 加 强” 为等式 :   定 理  在△ABC中 , 设 “ 、 6 、 c   边 上 的高为 h   、 h   、   h } , 其 外旁 切 圆半径 为  、  、 r 【 , 内切 圆半 径 为 , 一 , 外接  圆半 径 为 R, 则 

3位数 的有 : 2 8 7 , ( 8 2 , 3 6 9 ) ; 3 6 4 . ( 1 3 2 , 4 9 6 ) .   4位 数 的 有 : 1 0 7 8 , ( ¨6 2 , 0 8 4) ;1 0 9 6 ,( 1 2 0 .  
1 21 6 ); 1 28 7, ( 1 6 5 6, 3 69); 1 3 6 4, (1 86 0, 49 6) .  

5 位数的有 : 1 1 0 9 6 , ( 1 2 3 1 2 , 1 2 1 6 ) ; 1 8 1 8 3 , ( 3 3 0 6 , 2 1 4 8 9 ) .   6位 数 的 有 : 1 l 8 1 8 3 , ( 1 3 9 6 7 2 , 2 1 4 8 9 ) ; 3 3 6 6 3 4  
( 1 1 33 2 2, 4 49 95 6 ) .  

( 1 ) ∑,   一   2 r ∑  ;   ∑ 


7 位 数 的 有 :1 3 3 6 6 3 4 ,( 1 7 8 6 5 9 0 ,4 4 9 9 5 6) ;  
27 2 7 27 4, ( 7 4 3 8 02, 3 47l 07 6) .  

一2 +  ;  
.  

猜想 1  

”为 偶 数 时 , 对 ”≥ 8 , 不存 在 P :  

4 -h, , 一  ( 3 ) Ⅱr  

∈[ 1 O   一  , 1 0   ) 的 Z数 .  

证明 : 记 三 角形半 周长 为 P, p   =P 一“等 等 , 则 三 
角 形 面 积 
S  p   , .   一户 D , . ^ 一, . p。 I 丽P   P   6 P  一  P。  
? ? ?

猜想 2   ”为 奇 数 , 且 ≥ 3时 , 存 在  ∈[ 1 O ”  ,   1 0   ) 的 Z数 , 月   P 可截成长为 , z 和(  一 1 ) 的两部分.  
参 考 文献 

∑ , 一   一∑  。 垡 P




l   张赞. K 数的 对偶数 研 究 [ J j . 中学 数学 教 学参 考 ( 高中 ) .  
2 0( ) 6. 5  

∑ 
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