上海市2012届高三下学期高考压轴数学(文)试卷

上海市 2012 届高三下学期高考压轴数学
(文)试卷
考生注意: 1.本考试设试卷和答题纸两部分,试卷包括试题与答题要求,所有答题必须涂(选择题)
或写(非选择题)在答题纸上,做在试卷上一律不得分。 2.答题前,务必在答题纸上填写准考证号和姓名,并将核对后的条形码贴在指定位置上。 3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。 4.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.

一、填空题(56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1z0

1、已知 z ?C ,且 z 为 z 的共轭复数,若 0 1 1 ? 0 ( i 是虚数单位),则 z =



z iz 0

2、在 ?ABC 中,已知 2sin2 A ? 3cos A ? 0 ,则角 A 的大小为

.

3、已知两条直线 l1 : ax ? 2y ? 3 ? 0 , l2 : 4x ? 6y ?1 ? 0 .若 l1 的一个法向量恰为 l2

的一个方向向量,则 a ?



4、已知集合

A

?

? ?

x

?

|

x 3

? ?

7 x

?

0?? ?







y ? l g (?x2

? 6x ? 8 )的 定 义 域 为 集 合 B , 则

A?B = .

5、某区有 200 名学生参加数学竞赛,随机抽取 10 名学生成绩如下:

成绩

40 50

60

70 80

90

人数

11

2

2

1

3

则总体标准差的点估计值是

.(精确到 0.01)

6、若函数 y ? g(x) 图像与函数 y ? (x ?1)2 (x ? 1) 的图像关于

直线 y ? x 对称,则 g(4) ? ________.

7、若 a ? 1 ? bi ,其中 a,b 都是实数, i 是虚数单位,则 a ? bi =

.

1?i

第1页共9页

8、

(x2

?

1 x3

)5

的二项展开式中,常数项的值是

.

9 、已知数列 ?an? (n ? N *) 是公差为 2 的等差数列,则

lim an =



n?? 2n ?1

10、如图:已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相

C1

A1

B1

等,过顶点 A1 作底面 ABC 的垂线,若垂足为 BC 的中点,则

C

A

异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为

.

A

B 第 10 题 A

11、5 名学生报名参加两项社会实践活动,每个学生都要报名且只报一项,那么每项活动都

至少有两名学生报名的概率为___________.(结果用最简分数表示)

12、已知点 A(0, 2) ,抛物线 y2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,线段 FA 交抛物线于

点 B ,过 B 作准线 l 的垂线,垂足为 M ,若 AM ? MF ,则 p ?

.

?x ? y ? 2

13、已知 O 为坐标原点,点 A?1, ?1? ,若点 M ? x, y? 为平面区域

? ?

x

?

1

内的一个动点,

?? y ? ?3

则 OA? OM 的最大值与最小值之差为______________.

14、若函数 y ? f ? x? ( x ? R )满足 f ? x ? 2? ? f ? x? ,且 x???1,1? 时, f ? x? ?1? x2 ,

?lg(x ?1) x ? 1

函数

g

?

x

?

?

?? ?

?

?1 x

x ? 0 ,则函数 h? x? ? f ? x? ? g? x? 在区间??5,6? 内的零点的个

??0

0? x?1

数为_______.

二、选择题(20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确

的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

15、已知空间三条直线 a、b、m及平面 ? ,且 a 、b ?? ? .条件甲: m ? a, m ? b ;条件

乙:m ? ? ,则“条件乙成立”是“条件甲成立”的…………………………………………

()

A.充分非必要条件.

B.必要非充分条件.

C.充要条件.

D.既非充分也非必要条件.

16、以抛物线 y2 ? 4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(



(A) x2 ? y2 ? 2x ? 0

(B) x2 ? y2 ? x ? 0

(C) x2 ? y2 ? x ? 0

(D) x2 ? y2 ? 2x ? 0

第2页共9页

uur uuur uuur 17、设 A(a,1)、B(2,b)、C(4,5) 为坐标平面上三点, O 为坐标原点.若 OA 与 OB 在 OC 上

的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( ) (A) 4a ?5b ? 3 (B) 5a ? 4b ? 3 (C) 4a ? 5b ?14 18、16.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

(D) 5a ? 4b ?14

? A ? 1. ? B ? ?1. ? C ? ?2 . ? D ? 0 .

三、解答题(本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对
应的题号)内写出必要的步骤.
19、(本题满分 12 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 8 分.
在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? 6 , b ? 5 3 , B ? 2? .
3 (1)求 sin A ;(2)求 cos( B ? C) ? cos 2A的值.

20、(本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分.

D1

在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 2 ,过 A1 、 C1 、 B 三点 A1 的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? A1C1D1 ,且 这个几何体的体积为10 .

(1)求棱 A1 A 的长;
(2)求此几何体的表面积,并画出此几何体的主视图和俯视图 (写出各顶点字母).

D A

C1
C B

第3页共9页

21、(本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分.
已知函数 f (x) ? 3 ? 2 log2 x, g(x) ? log2 x .
(1)当 x??1, 4? 时,求函数 h(x) ? ? f (x) ?1?? g(x) 的值域;
(2)如果对任意的 x ??1, 4? ,不等式 f (x2 ) ? f ( x ) ? k ? g(x) 恒成立,求实数 k 的取值范
围.

22、(本题满分 16 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分.

已知点 F1, F2 为双曲线 C : x2

?

y2 b2

?1

(b

? 0) 的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x

轴的直

线,在 x 轴上方交双曲线于点 M ,且 ?MF1F2 ? 300 ,圆 O 的方程为 x2 ? y2 ? b2 . (1)求双曲线 C 的方程; (2)若双曲线 C 上的点到两条渐近线的距离分别为 d1, d2 ,求 d1 ? d2 的值;
uur uuur (3)过圆 O 上任意一点 P(x0 , y0 ) 作切线 l 交双曲线 C 于 A, B 两个不同点,求 OA?OB 的值.

23、(本题满分 18 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分.
如果存在常数 a 使得数列?an? 满足:若 x 是数列?an? 中的一项,则 a ? x 也是数列?an? 中

的一项,称数列?an? 为“兑换数列”,常数 a 是它的“兑换系数”.

(1)若数列:1, 2, 4, m (m ? 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列”,求 m 和 a 的值;

(2)若有.穷.递.增.数.列.?bn? 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列”,求证:数列?bn? 的前 n 项



Sn

?

n 2

?a;

(3)已知有.穷.等.差.数.列.?cn? 的项数是 n0 (n0 ? 3) ,所有项之和是 B ,试判断数列?cn? 是否

是“兑换数列”?如果是的,给予证明,并用 n0 和 B 表示它的“兑换系数”;如果不是,说

第4页共9页

明理由.

文科试卷参考答案及评分标准

一. 填空题:

1. z = 0或z = - i 2. ?

3.3

4. ?3 , 4?

3

6. ?1

7. 5

8. 10 9.1 10. 3 4

11. 5 8

12. 2

13. 8

14. 9

5.17.64

二.选择题:

15.A 16.D 17.A 18.D

三.解答题:

19.解:(1)在 ?ABC中,由正弦定理得 a ? b sin A sin B

将a?6,b?5

3

,B

?

2? 3

代入上式得,

6 sin

A

?

5 sin

3 2?

…………………2 分

3

解得 sin A ? 3 ;………………………………………………4 分 5
(2) ?ABC中, A ? B ? C ? ? ,且 B 为钝角,所以 cos A ? 4 …………………6 分 5
cos(B ? C) ? ? cos A ? ? 4 ……………………………………………8 分 5
cos2A ? 1 ? 2sin 2 A ? 7 ……………………………………………10 分 25
所以 cos(B ? C) ? cos2A ? ? 4 ? 7 ? ? 13 …………………………………12 分 5 25 25

20.解: (1)设 AA1 ? h V ,则 ABCD? A1C1D1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? VB? A1B1C1 ? 10 --------------------2’

?2? 2 ? h ? 1 ? 1 ? 2? 2? h ? 10 h ? 10 ,解得: h ? 3 -----------------------6’

32

3

(2)

S表

=2

?

2

?

3

?

2

?

1 2

?

2

?

3

?

3 2

?

2

?

2

?

22

A1

C1

D1

A1

? 24 ? 22 ---------------------------10’
主视图与俯视图各得 2 分.

A

B

主视图

D

A

左视图

21.解: (1) h(x) ? (4 ? 2 log2 x) ? log2 x ? ?2(log2 x ?1D)12 ? 2 ……C…1 …………2 分

第5页共9页

A1

B

俯视图

因为 x??1, 4? ,所以 log2 x ??0, 2?,…………………4 分 故函数 h(x) 的值域为?0, 2? …………………6 分

(2)由 f (x2 ) ? f ( x ) ? k ? g(x) 得

(3 ? 4 log2 x)(3 ? log2 x) ? k ? log2 x
令 t ? log2 x ,因为 x??1, 4? ,所以 t ? log2 x ??0, 2? 所以 (3 ? 4t)(3 ? t) ? k ?t 对一切的 t ??0, 2? 恒成立…………………8 分

① 当 t ? 0 时, k ? R ;…………………9 分

② 当 t ??0, 2?时, k ? (3 ? 4t)(3 ? t) 恒成立,即 k ? 4t ? 9 ?15 …………………11 分

t

t

因为 4t ? 9 ? 12 ,当且仅当 4t ? 9 ,即 t ? 3 时取等号…………………12 分

t

t

2

所以 4t ? 9 ?15 的最小值为 ?3 …………………13 分 t
综上, k ????, ?3? …………………14 分

22.解:(1)设 F2 , M 的坐标分别为 ( 1? b2 , 0), ( 1? b2 , y0) -------------------1 分

因为点

M

在双曲线

C









1? b2

?

y02 b2

?1





y0 ? ?b2

,所以

MF2 ? b2 ------------2 分 在 Rt?MF2F1 中, ?MF1F2 ? 300 , MF2 ? b2 ,所以 MF1 ? 2b2 ------------3 分 由双曲线的定义可知: MF1 ? MF2 ? b2 ? 2

故双曲线 C 的方程为: x2 ? y2 ? 1-------------------4 分 2

(2)由条件可知:两条渐近线分别为 l1 : 2x ? y ? 0;l2 : 2x ? y ? 0 -------------------5

设双曲线 C 上的点 Q(x0 , y0 ) ,

则点 Q 到两条渐近线的距离分别为 d1 ?


2x0 ? y0 3

, d2

?

2x0 ? y0
-------------------7
3

所以 d1 ? d2 ?

2x0 ? y0 ?
3

2x0 ? y0 ? 2x02 ? y02 -------------------8 分

3

3

第6页共9页

因为 Q(x0 , y0 ) 在双曲线 C

: x2

?

y2 2

? 1上,所以 2x02

?

y02

?

2 -------------------9 分

故 d1 ? d2 ?

2x02 ? y02 3

? 2 -------------------10 分 3

( 3 ) 解 一 : 因 为 P(x0 , y0 ) 为 圆 O : x2 ? y2 ? 2 上 任 意 一 点 , 设

x0 ? 2 cos?, y0 ? 2 sin?

所以切线 l 的方程为: x cos? ? y sin ? ? 2 -------------------12 分

代入双曲线 C : 2x2 ? y2 ? 2 ? (x cos? ? y sin? )2

两边除以 x2 ,得 (1? sin2 ? )( y )2 ? 2sin? cos? ( y ) ? cos2 ? ? 2 ? 0 -------------------13

x

x



设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,则

y1 x1

,

y2 x2

是上述方程的两个根

由韦达定理知:

y1 y2 x1x2

?

cos2 ? sin2 ?

?2 ?1

? ?1 ,即 x1x2

?

y1 y2

?

0 -------------------15



所以 OA?OB ? x1x2 ? y1y2 ? 0-------------------16 分

解二:设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,切线 l 的方程为: x0 x ? y0 y ? 2 -------------------12 分

①当 y0 ? 0 时,切线 l 的方程代入双曲线 C 中,化简得:

(2 y02 ? x02 )x2 ? 4x0 x ? (2 y02 ? 4) ? 0

所以:

x1

?

x2

?

?

4x0 (2 y02 ?

x02 )

, x1x2

?

?

(2 y02 ? 4) (2 y02 ? x02 )

-------------------13





y1 y2

?

(2 ? x0x1) ? (2 ? x0x2 )

y0

y0

?

1 y02

??4 ? 2x0 (x1 ? x2 ) ? x02x1x2 ??

?

8 ? 2x02 2 y02 ? x02

所以

OA ? OB

?

x1x2

?

y1y2

?

?

(2 y02 ? 4) (2 y02 ? x02 )

?

8 ? 2 x02 2 y02 ? x02

?

4 ? 2( x02 ? y02) 2 y02 ? x02

?

0 -----------15



②当 y0 ? 0 时,易知上述结论也成立。

所以 OA?OB ? x1x2 ? y1y2 ? 0-------------------16 分
第7页共9页

23.解:(1)因为数列:1, 2, 4, m (m ? 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列”

所以 a ? m, a ? 4, a ? 2, a ?1也是该数列的项,且 a ? m ? a ? 4 ? a ? 2 ? a ?1----------1 分

故 a ? m ? 1, a ? 4 ? 2-------------------3 分

即 a ? 6, m ? 5 。 -------------------4 分

(2)不妨设有穷数列?bn? 的项数为 n

因为有穷数列?bn? 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列”,

所以 a ? bn , a ? bn?1, , a ? b1 也是该数列的项,-------------------5 分

又因为数列?bn? 是递增数列
b1 ? b2 ? ? bn ,且a ? bn ? a ? bn?1 ? ? a ? b1 -------------------6 分

则 bi ? bn?1?i ? a (1 ? i ? n) -------------------8 分

故 Sn ? b1 ? b2 ?

?

bn

?

n 2

a

-------------------10



(3)数列?cn? 是“兑换数列”。证明如下:

设数列?cn? 的公差为 d ,因为数列?cn? 是项数为 n0 项的有穷等差数列

若 c1 ? c2 ? c3 ? ? cn0 ,则 a ? c1 ? a ? c2 ? a ? c3 ? ? a ? cn0
即对数列?cn? 中的任意一项 ci (1 ? i ? n0 )

? ? a ? ci ? c1 ? (n0 ? i)d ? cn0?1?i ? cn -------------------12 分 ? ? 同理可得:若 c1 ? c2 ? c3 ? ? cn0 , a ? ci ? c1 ? (n0 ? i)d ? cn0?1?i ? cn 也成立, 由“兑换数列”的定义可知,数列?cn? 是 “兑换数列”;-------------------14 分

又因为数列

?bn?

所有项之和是

B

,所以

B ? (c1 ? cn0 ) ? n0 ? a ? n0

2

2

,即

a ? 2B -------------------18 分 n0

第8页共9页

第9页共9页


相关文档

上海市2012届高三下学期高考压轴英语试卷
广东省2012届高三下学期高考压轴卷数学(文)试题
上海市2012届高三下学期高考压轴物理试卷
上海市2012届高三下学期高考压轴数学(理)试卷
上海市2012届高三下学期高考压轴历史试卷
上海市2012届高三下学期高考压轴地理试卷
2012届高三下学期高考交流试卷数学(文)试题
上海市闸北区2012届高三上学期期末练习试卷(数学文)
上海市长宁区2012届高三下学期4月质量检测数学(文)试卷
上海市嘉定区2012届高三上学期第一次质量调研数学文试卷
电脑版