上海市2012届高三下学期高考压轴数学(文)试卷

上海市 2012 届高三下学期高考压轴数学 (文)试卷
考生注意: 1.本考试设试卷和答题纸两部分,试卷包括试题与答题要求,所有答题必须涂(选择题) 或写(非选择题)在答题纸上,做在试卷上一律不得分。 2.答题前,务必在答题纸上填写准考证号和姓名,并将核对后的条形码贴在指定位置上。 3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。 4.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.

一、填空题(56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1
1、已知 z ∈ C ,且 z 为 z 的共轭复数,若 0

z 1

0 1 = 0 ( i 是虚数单位),则 z =


z iz 0
2、在 ?ABC 中,已知 2 sin A ? 3cos A = 0 ,则角 A 的大小为
2

.

3、已知两条直线 l1 : ax ? 2 y ? 3 = 0 , l 2 : 4 x + 6 y ? 1 = 0 .若 l1 的一个法向量恰为 l 2 . 的一个方向向量,则 a = 4 、 已 知 集 合 A = ?x |

? ?

x?7 ? > 0 ? , 函 数 y = lg(? x 2 + 6 x ? 8) 的 定 义 域 为 集 合 B , 则 3? x ?

A∩ B =

.

5、某区有 200 名学生参加数学竞赛,随机抽取 10 名学生成绩如下: 成 绩 人 数 40 1 50 1 60 2 70 2 80 1 90 3

则总体标准差的点估计值是

.(精确到 0.01 )

6、若函数 y = g ( x) 图像与函数 y = ( x ? 1) 2 ( x ≤ 1) 的图像关于 直线 y = x 对称,则 g (4) = ________. 7、若

a = 1 ? bi ,其中 a, b 都是实数, i 是虚数单位,则 a + bi = 1? i

.

第 1 页 共 9 页

1 5 ) 的二项展开式中,常数项的值是 . x3 * 9 、 已 知 数列 {an } ( n ∈ N ) 是 公 差 为 2 的 等 差数 列 ,则
8、 ( x +
2

lim

an = n →∞ 2n ? 1

C1 A1 B1



10、如图:已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相 等,过顶点 A1 作底面 ABC 的垂线,若垂足为 BC 的中点,则 异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为 . A C B

第 10 题 11、5 名学生报名参加两项社会实践活动,每个学生都要报名且只报一项,那么每项活动都 至少有两名学生报名的概率为___________.(结果用最简分数表示) 12、已知点 A(0, 2) ,抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,线段 FA 交抛物线于 点 B ,过 B 作准线 l 的垂线,垂足为 M ,若 AM ⊥ MF ,则 p = .

?x + y ≤ 2 ? 内的一个动点, 13、 已知 O 为坐标原点, A (1, ?1) , 点 若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ≥ 1 ? y ≥ ?3 ?
则 OA ? OM 的最大值与最小值之差为______________. 14、若函数 y = f ( x ) ( x ∈ R )满足 f ( x ? 2 ) = f ( x ) ,且 x ∈ [ ?1,1] 时, f ( x ) = 1 ? x ,
2

uuu uuuu r r

?lg( x ? 1) x > 1 ? 1 ? 函数 g ( x ) = ? ? x < 0 ,则函数 h ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 在区间 [ ?5,6] 内的零点的个 x ? ? 0 ≤ x ≤1 ?0
数为_______. 二、选择题(20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、已知空间三条直线 a、b、m 及平面 α ,且 a 、 b ? α .条件甲: m ⊥ a, m ⊥ b ;条件 ≠ 乙:m ⊥ α , “条件乙成立” “条件甲成立” 则 是 的………………………………………… ( ) A.充分非必要条件. B.必要非充分条件. C.充要条件. D.既非充分也非必要条件. 16、以抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( (A) x 2 + y 2 + 2 x = 0
2 2 (C) x + y ? x = 0



(B) x 2 + y 2 + x = 0 (D) x 2 + y 2 ? 2 x = 0

第 2 页 共 9 页

uur
的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( ) (A) 4a ? 5b = 3 (B) 5a ? 4b = 3 (C) 4a + 5b = 14 18、16.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

uuu r

uuu r

17、 A( a,1)、B (2, b)、C (4, 5) 为坐标平面上三点, O 为坐标原点.若 OA 与 OB 在 OC 上 设 (D) 5a + 4b = 14

( A)

1.

(B)

?1 .

(C)

?2 .

( D ) 0.

三、解答题(本题满分 74 分)本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域 (对 应的题号)内写出必要的步骤. 19、 (本题满分 12 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 8 分. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 a = 6 , b = 5 3 , B = (1)求 sin A ; (2)求 cos( B + C ) + cos 2 A 的值.

2π . 3

20、 (本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = BC = 2 ,过 A1 、 C1 、 B 三点 的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? A1C1 D1 ,且 这个几何体的体积为 10 . (1)求棱 A1 A 的长; (2)求此几何体的表面积,并画出此几何体的主视图和俯视图 (写出各顶点字母).
A
A1

D1

C1

D

C

B

第 3 页 共 9 页

21、 (本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. (1)当 x ∈ [1, 4] 时,求函数 h( x) = [ f ( x) + 1] ? g ( x) 的值域; (2)如果对任意的 x ∈ [1, 4] ,不等式 f ( x 2 ) ? f ( x ) > k ? g ( x ) 恒成立,求实数 k 的取值范 围. 已知函数 f ( x) = 3 ? 2 log 2 x, g ( x) = log 2 x .

22、 (本题满分 16 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. 已知点 F1 , F2 为双曲线 C : x ?
2

y2 = 1 (b > 0) 的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直 b2
0

线,在 x 轴上方交双曲线于点 M ,且 ∠MF1 F2 = 30 ,圆 O 的方程为 x 2 + y 2 = b 2 . (1)求双曲线 C 的方程; (2)若双曲线 C 上的点到两条渐近线的距离分别为 d1 , d 2 ,求 d1 ? d 2 的值; (3) 过圆 O 上任意一点 P ( x0 , y0 ) 作切线 l 交双曲线 C 于 A, B 两个不同点, OA ? OB 的值. 求

uur uuu r

23、 (本题满分 18 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分. 如果存在常数 a 使得数列 {an } 满足: x 是数列 {an } 中的一项, a ? x 也是数列 {an } 中 若 则 的一项,称数列 {an } 为“兑换数列” ,常数 a 是它的“兑换系数”. (1)若数列: 1, 2, 4, m ( m > 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” ,求 m 和 a 的值; (2)若有穷递增数列 {bn } 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” ,求证:数列 {bn } 的前 n 项 ...... 和 Sn =

(3)已知有穷等差数列 {cn } 的项数是 n0 ( n0 ≥ 3) ,所有项之和是 B ,试判断数列 {cn } 是否 ...... ;如果不是,说 是“兑换数列”?如果是的,给予证明,并用 n0 和 B 表示它的“兑换系数”
第 4 页 共 9 页

n ?a; 2

明理由.

文科试卷参考答案及评分标准
一. 填空题: 1. z = 0或z = - i 6. ?1 11. 7. 5 12. 2

π
2. 3.3 4. 9.1

3
8. 10 13. 8

( 3, 4 )
10.

5. 17.64

3 4

5 8

14. 9

二.选择题:

15.A

16.D

17.A

18.D

三.解答题: 19.解: (1)在 ?ABC 中,由正弦定理得 将a = 6,b =5 3 ,B =

a b = sin A sin B

6 5 3 2π 代入上式得, = …………………2 分 2π 3 sin A sin 3

3 解得 sin A = ;………………………………………………4 分 5
(2) ?ABC 中, A + B + C = π ,且 B 为钝角,所以 cos A =

4 …………………6 分 5

4 cos( B + C ) = ? cos A = ? ……………………………………………8 分 5 7 cos 2 A = 1 ? 2 sin 2 A = ……………………………………………10 分 25 4 7 13 所以 cos( B + C ) + cos 2 A = ? + = ? …………………………………12 分 5 25 25
20.解: (1)设 AA1 = h ,则 VABCD ? A1C1D1 = VABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 = 10 --------------------2’

1 1 10 ∴ 2 × 2 ? h ? × × 2 × 2 × h = h = 10 ,解得: h = 3 -----------------------6’ 3 2 3
A1 C1 D1 A1

1 3 (2) S表 =2 ? 2 ? 3 + 2 ? ? 2 ? 3 + ? 2 ? 2 + 22 2 2

= 24 + 22 ---------------------------10’
主视图与俯视图各得 2 分.

A
主视图
D1 2

B

D
左视图

A

21.解: (1) h( x ) = (4 ? 2 log 2 x ) ? log 2 x = ?2(log 2 x ? 1) + 2 …………………2 分 因为 x ∈ [1, 4] ,所以 log 2 x ∈ [ 0, 2] ,…………………4 分 A1
俯视图 第 5 页 共 9 页

C1

B

故函数 h( x ) 的值域为 [ 0, 2] …………………6 分 (2)由 f ( x ) ? f ( x ) > k ? g ( x ) 得
2

所以 (3 ? 4t )(3 ? t ) > k ? t 对一切的 t ∈ [ 0, 2] 恒成立…………………8 分

令 t = log 2 x ,因为 x ∈ [1, 4] ,所以 t = log 2 x ∈ [ 0, 2]

(3 ? 4 log 2 x)(3 ? log 2 x) > k ? log 2 x

(3 ? 4t )(3 ? t ) 9 恒成立,即 k < 4t + ? 15 …………………11 分 t t 9 9 3 因为 4t + ≥ 12 ,当且仅当 4t = ,即 t = 时取等号…………………12 分 t t 2 9 所以 4t + ? 15 的最小值为 ?3 …………………13 分 t 综上, k ∈ ( ?∞, ?3) …………………14 分
② 当 t ∈ ( 0, 2] 时, k < 22.解: (1)设 F2 , M 的坐标分别为 ( 1 + b , 0), ( 1 + b , y0 ) -------------------1 分
2 2

① 当 t = 0 时, k ∈ R ;…………………9 分

因 为 点 M 在 双 曲 线 C 上 , 所 以 1+ b ?
2

y0 2 = 1 , 即 y0 = ±b 2 , 所 以 2 b

MF2 = b 2 ------------2 分
在 Rt ?MF2 F1 中, ∠MF1 F2 = 30 , MF2 = b ,所以 MF1 = 2b ------------3 分
0 2 2

由双曲线的定义可知: MF1 ? MF2 = b = 2
2

故双曲线 C 的方程为: x ?
2

y2 = 1 -------------------4 分 2

(2)由条件可知:两条渐近线分别为 l1 : 2 x ? y = 0; l2 : 2 x + y = 0 -------------------5 分 设双曲线 C 上的点 Q ( x0 , y0 ) , 则点 Q 到两条渐近线的距离分别为 d1 = 分 所以 d1 ? d 2 =

2 x0 ? y0 3

, d2 =

2 x0 + y0 3

-------------------7

2 x0 ? y0 3

?

2 x0 + y0 3
2

=

2 x0 2 ? y0 2 3

-------------------8 分

因为 Q ( x0 , y0 ) 在双曲线 C : x ?

y2 = 1 上,所以 2 x0 2 ? y0 2 = 2 -------------------9 分 2

第 6 页 共 9 页

故 d1 ? d 2 =

2 x0 2 ? y0 2 3

=

2 -------------------10 分 3
2 2

( 3 ) 解 一 : 因 为 P ( x0 , y0 ) 为 圆 O : x + y = 2 上 任 意 一 点 , 设

x0 = 2 cos α , y0 = 2 sin α
所以切线 l 的方程为: x cos α + y sin α =

2 -------------------12 分

代入双曲线 C : 2 x 2 ? y 2 = 2 = ( x cos α + y sin α ) 2 两边除以 x ,得 (1 + sin α )( ) + 2sin α cos α ( ) + cos α ? 2 = 0 -------------------13
2

2

y x

2

y x

2

分 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则

y1 y2 , 是上述方程的两个根 x1 x2

由韦达定理知:

y1 y2 cos 2 α ? 2 = = ?1 ,即 x1 x2 + y1 y2 = 0 -------------------15 分 x1 x2 sin 2 α + 1

所以 OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = 0 -------------------16 分 解二:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,切线 l 的方程为: x0 x + y0 y = 2 -------------------12 分 ①当 y0 ≠ 0 时,切线 l 的方程代入双曲线 C 中,化简得:

uuu uuu r r

(2 y0 2 ? x0 2 ) x 2 + 4 x0 x ? (2 y0 2 + 4) = 0
所以: x1 + x2 = ?

4 x0 (2 y0 2 + 4) , x1 x2 = ? -------------------13 分 (2 y0 2 ? x0 2 ) (2 y0 2 ? x0 2 )

又 y1 y2 = 所以

(2 ? x0 x1 ) (2 ? x0 x2 ) 8 ? 2 x0 2 1 ? = 2 ? 4 ? 2 x0 ( x1 + x2 ) + x0 2 x1 x2 ? = ? 2y 2 ? x 2 y0 y0 y0 ? 0 0

uuu uuu r r (2 y0 2 + 4) 8 ? 2 x0 2 4 ? 2( x0 2 + y0 2 ) OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = ? + = = 0 -----------15 分 (2 y0 2 ? x0 2 ) 2 y0 2 ? x0 2 2 y0 2 ? x0 2
②当 y0 = 0 时,易知上述结论也成立。 所以 OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = 0 -------------------16 分

uuu uuu r r

第 7 页 共 9 页

23.解: (1)因为数列: 1, 2, 4, m ( m > 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” 所以 a ? m, a ? 4, a ? 2, a ? 1 也是该数列的项,且 a ? m < a ? 4 < a ? 2 < a ? 1 ----------1 分 故 a ? m = 1, a ? 4 = 2 -------------------3 分 即 a = 6, m = 5 。 -------------------4 分 (2)不妨设有穷数列 {bn } 的项数为 n 因为有穷数列 {bn } 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” , 所以 a ? bn , a ? bn ?1 ,L , a ? b1 也是该数列的项,-------------------5 分 又因为数列 {bn } 是递增数列

b1 < b2 < L < bn , 且a ? bn < a ? bn ?1 < L < a ? b1 -------------------6 分
则 bi + bn +1?i = a (1 ≤ i ≤ n) -------------------8 分 故 S n = b1 + b2 + L + bn =

n a -------------------10 分 2

。证明如下: (3)数列 {cn } 是“兑换数列” 设数列 {cn } 的公差为 d ,因为数列 {cn } 是项数为 n0 项的有穷等差数列 若 c1 ≤ c2 ≤ c3 ≤ L ≤ cn0 ,则 a ? c1 ≥ a ? c2 ≥ a ? c3 ≥ L ≥ a ? cn0 即对数列 {cn } 中的任意一项 ci (1 ≤ i ≤ n0 )

a ? ci = c1 + (n0 ? i )d = cn0 +1?i ∈ {cn } -------------------12 分
同理可得:若 c1 ≥ c2 ≥ c3 ≥ L ≥ cn0 , a ? ci = c1 + ( n0 ? i ) d = cn0 +1?i ∈ {cn } 也成立, 由“兑换数列”的定义可知,数列 {cn } 是 “兑换数列” ;-------------------14 分

又 因 为 数 列

{bn }

所 有 项 之 和 是 B , 所 以 B=

(c1 + cn0 ) ? n0 2

=

a ? n0 , 即 2

a=

2B -------------------18 分 n0

第 8 页 共 9 页

第 9 页 共 9 页


相关文档

上海市2012届高三下学期高考压轴英语试卷
广东省2012届高三下学期高考压轴卷数学(文)试题
上海市2012届高三下学期高考压轴物理试卷
上海市2012届高三下学期高考压轴数学(理)试卷
上海市2012届高三下学期高考压轴历史试卷
上海市2012届高三下学期高考压轴地理试卷
2012届高三下学期高考交流试卷数学(文)试题
上海市闸北区2012届高三上学期期末练习试卷(数学文)
上海市长宁区2012届高三下学期4月质量检测数学(文)试卷
上海市嘉定区2012届高三上学期第一次质量调研数学文试卷
电脑版