2015-2016学年湖北省荆州中学高二上学期期末考试数学(文)试题

荆州中学 2015~2016 学年度上学期 期 末 考 试 卷
年级:高二 科目:数学(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 曲线 y ? A. 1

1 3 x 在 x ? 1 处的切线的倾斜角为( 3
B. ?



?

4

C.

? 4

D.

5? 4

2. 对于常数 m, n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”的曲线是椭圆的( ) A. 充分而不必要条件 C . 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

3. 某公司 10 名员工的月工资(单位:元)为 x1, x2 ,? x10 , 其均值和方差分别为 x 和 S ,若 从下月起每位员工的月工资增加 100 元, 则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别是 ( A. x, S ? 100
2 2



B.

x ? 100, S 2 ? 1002
2

开始
输入 n, a1 , a2 , ???an

C.

x, S 2

D. x ? 100, S

4. 若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 2bx
3 2

在 x ? 1 处有极值,则 a ? b 等于( A. 2 B. 3 C .6
2

k ? 1, S ? 0, T ? 0

) D.9 否

5. 从抛物线 y ? 4 x 图象上一点 P 引抛物线准线的垂线, 垂足为 M ,且 PM ? 5 ,设抛物线焦点为 F , 则 ? PMF 的面积为( A. 10 B. 8 ) C .6

A ? ak


k ? k ?1

T ?T ? A
D.4

S?S?A

6. 某店一个月的收入和支出总共记录了 n 个数据 a1 , a2 ?an , 其中收入记为正数,支出记为负数,该店用下列的程序框图 计算月总收入 S 和月净盈利 V,那么在图中空白的判断框和处 理框中,应分别填入( ) A. A ? 0,V ? S ? T B. A ? 0,V ? S ? T C . A ? 0,V ? S ? T D. A ? 0,V ? S ? T 7. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力 测试中的成绩(单位:分) 甲组 乙组 9 0 9 第1页 共8页 x 2 1 5 y 7 4 2 4

k?n




输出 S ,V

结束

8

已知甲组数据的平均数为 17,乙组数据的中位数为 17,则 x, y 的值分别为( A. 2、6 8. 已知双曲线 B. 2、7 C . 3、6



D.3、7

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的斜率为 2 ,且右焦点与抛物线 a 2 b2
) D. 2 3

y 2 ? 4 3x 的焦点重合,则该双曲线的离心率等于(
A.

2
?

B. 3

C .2

9. 若函数 f ( x ) ? x ? ax ? A. [?1,0]

1 1 在 ( , ?? ) 上是增函数,则 a 的取值范围是( ) x 2
C . [0,3] D. [3, ??)

B. [?1, ??)

10. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2 ,椭圆上的点 P 满足 ?F1PF2 ? 600 ,则 ?F1PF2 的 100 64

面积是( ) A.

64 3 3

B.

91 3 3

C.

16 3 3

D.

64 3

11. 已知 f ( x ), g ( x ) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0, f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? 0,

5 f ( x) f (1) f ( ?1) 5 ? ax, ? ? ,则关于 x 的方程 abx 2 ? 2 x ? ? 0 ,b ? (0,1) 有两个不 2 g ( x) g (1) g ( ?1) 2
同的实根的概率为( ) B.

3 A. 5

2 5

C.

1 5

D.

1 2

12. 定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数的 “新驻点” , 若函数 g ( x ) ? sin x (0 ? x ? ? ),

h( x) ? ln x( x ? 0),? ( x) ? x3 ( x ? 0) 的“新驻点”分别为 a , b, c ,则 a , b, c 的大小关系为
( ) A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. a ?c?b D. b ? a ? c

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 1 ,若命题“ ?x0 ? 0, f ( x0 ) ? 0 ”为真,则 m 的取值范围
2



.

第2页 共8页

14. 已知 A, B 两地相距 800m, 在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s , 且声速为 340m / s , 则炮弹爆炸点的轨迹是 .

15. 如图甲是某市有关部门根据当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图。 已知图甲中从左到右第一组的频数为 4000, 在样本中记月收入在[1000, 1500], [1500, 2000], [2000,2500],[2500,3000],[3000,3500],[3500,4000]的人数依次为 A 1, A 2 , ??? A 6 。图乙 是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的程序框图,则样本的容量 n ? 输出的 S ? , (用数字作答) 开始 ,图乙

频率/组距 0.0008

输入

A1, A2 , ??? A6
S ? 0, i ? 2

i ? i ?1


0.0004 0.0003 0.0001 1000 1500 2000 2500 月收入/元 3000 3500 4000

i ? 7?
否 输出 S

S ? S ? Ai

a ?1 a ? ,则 a ? b ; 16. 给出下列命题:①已知 a , b 都是正数,且 b ?1 b

结束

②已知 f ?( x) 是 f ( x ) 的导函数,若 ?x ? R, f ?( x ) ? 0 ,则 f ?(1) ? f (2) 一定成立; ③命题“ ?x ? R, 使得 x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是真命题;
2

④ x ? 1 且 y ? 1 是“ x ? y ? 2 ”的充要条件; 其中正确的命题的序号是 (把你认为正确的序号都填上)

三、计算题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本题 10 分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的观众的抽样调查中,随机 抽取了 100 名电视观众,相关的数据如下表所示: 20 岁至 40 岁 大于 40 岁 总计 文艺节目 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2) 用分层抽方法去收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名, 大于 40 岁的观众应抽取几
第3页 共8页

名? 18. (本题 12 分) 已知命题 p : m ? R 且 m ? 1 ? 0 , 命题 q : ?x ? R, x 2 ? mx ? 1 ? 0 恒成立, 若 p ? q 为假命题且 p ? q 为真命题,求 m 的取值范围. 19. (本题 12 分)已知关于 x 的一元二次方程 9 x ? 6ax ? b ? 4 ? 0, a, b ? R
2 2

(1)若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数, b 是从 0,1, 2 三个数中任取的一个 数,求已知方程有两个不相等实根的概率; (2)若 a 是从区间 [0,3] 内任取一个数,b 是从区间 [0, 2] 内任取一个数,求已知方程有 实根的概率. 20. (本题 12 分)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速 度 x (千米/小时)的函数为 y ?

1 3 x 3 ? x ? 8(0 ? x ? 120) 128000 80

(1)当 x ? 64 千米/小时时,行驶 1000 千米耗油量多少升? (2)若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶多少千米? 21. (本题 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若曲线 y ? f ( x ) 与 y ? 2 x ? m 有三个不同的交点,求实数 m 的取值范围.

1 3 3 2 x ? x ? 2x ? 5 3 2

22. (本题 12 分)已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 6 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过 (1,1) 与 ( , ) 两点 2 a b 2 2

(2)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足 MA ? MB . 求证

1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 OM
2

的定值.

第4页 共8页

荆州中学 2015~2016 学年度上学期 期 末 考 试 卷
年级:高二 科目:数学(文科)

参 考 答 案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 D 10 A 11 B 12 B

二、填空题: 13. ( ??, ?2) 15. n ? 10000
S ? 6000

14. 双曲线靠近 B 点的那一支 16. ①③

三、计算题: 17. 解: (1)?在 20 岁至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目,而大 于 40 岁的 42 名观众中有 27 名观众收看新闻节目 ?经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的 27 3 (2)大于 40 岁的观众抽取 ? 5 ? ? 5 ? 3 (名) 45 5 18. 解: p : m ? ?1
q : ? 2? m ? 2

由已知 p, q 一真一假 当 p 真 q 假时, ?1 ? m ? 2 当 p 假 q 真时, m ? ?2
? m ? ?2 或 ?1 ? m ? 2

19. 解:设事件 A 为“方程 9 x 2 ? 6ax ? b2 ? 4 ? 0 有 2 个不相等的实数根” ,事件 B 为“方程 9 x 2 ? 6ax ? b2 ? 4 ? 0 有实数根” (1)由题意,知基本事件有 9 个,即(1,0) , (1,1) , (1,2) , (2, 0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2)其中第一个表示 a 的取值, 第二个数表示 b 的取值. 由 ? ? 36a 2 ? 36(?b2 ? 4) ? 36a 2 ? 36b2 ? 36 ? 4 ? 0
第5页 共8页

得 a 2 ? b2 ? 4 事件 A 要求 a , b 满足条件 a 2 ? b2 ? 4 ,可知包含 6 个基本文件: (1,2) , (2,2) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2) 6 2 ?方程有 2 个不同实根的概率 P ( A) ? ? 9 3 (2)由题意方程有实根的区域为图中阴影部分 6 ?? ? ? 1? ?所求概率为 P ( B ) ? 6 6 20. 解: ( 1 )当 x ? 64 千米 / 小时,要行驶 1000 千米需要
(

2

..

2 3

1000 小时,要耗油 64

1 3 1000 ? 643 ? ? 64 ? 8) ? ? 119.5 升 128000 80 64 (2)设 22.5 升油能使该型号汽车行驶 a 千米,由题意得 1 3 a ( ? x 3 ? x ? 8) ? ? 22.5 128000 80 x 22.5 ?a ? 1 8 3 x2 ? ? 128000 x 80 1 8 3 x2 ? ? 令 h( x ) ? 则当 h( x ) 最小时, a 取 max 128000 x 80

h?( x ) ?

1 8 x 3 ? 803 x? 2 ? 64000 x 64000 x 3

令 h?( x) ? 0 ? x ? 80

当 x ? (0,80) 时, h?( x ) ? 0
h( x ) 为增函数

h( x ) 为减函数

当 x ? (80,20) 时, h?( x ) ? 0

?当 x ? 80 时, h( x ) 取最小值,此时, a 取最大值 200. ?若油箱有 22.5 升油,则最多可行驶 200 千米
21. 解: (1) f ?( x) ? x 2 ? 3x ? 2 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 2

当 x ? 1 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0

? f ( x ) 单调递增区间为 (??,1),(2, ??)

? f ( x ) 单调递减区间为 (1, 2)

1 3 (2)令 f ( x) ? 2 x ? m 即 x 3 ? x 2 ? 2 x ? 5 ? 2 x ? m 3 2 1 3 3 2 ? x ? x ?5? m 3 2
第6页 共8页

1 3 令 g ( x) ? x3 ? x 2 ? 5 3 2

即考察函数 y ? g ( x ) 与 y ? m 何时有三个公共 令 g?( x) ? 0
?x ? 0 或 x ? 3

当 x ? 0 或 x ? 3 时, g ?( x ) ? 0 当 0 ? x ? 3 时, g ?( x ) ? 0
? g ( x ) 在 ( ??,0) , (3, ??) 上单调递增,在 (0,3) 上单调递减, g (0) ? 5
g( 3 ) ? 1 2

由图象可得

1 ?m?5 2

1 ? 1 ? 2 ?1 2 ? 6 3 ? a b 22. 解: (1)将 (1,1),( , ) 两点坐标代入椭圆 C ,得 ? 2 2 ? 3 ? 3 ?1 ? ? 2 a 2 4b 2

? a2 ? 3 ? ?? 2 3 b ? ? ? 2

? 椭圆 C 的方程为

x2 2 y2 ? ?1 3 3

(2)由 MA ? MB 知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性 知 A、B 关于原点对称,①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个 长轴顶点,此时,

1 OA
此时,
2

?

1 OB
2

?

1 OM
2

?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2( 2 ? 2 ) ? 2 2 b b a a b

同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 是椭圆的一个短轴顶点,

1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 OM
2

?

1 1 2 ? 2? 2 2 a a b

②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y ? kx(k ? 0)
1 则直线 OM 的方程为 y ? ? x ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) k

第7页 共8页

? y ? kx ? 由 ? x2 2 y2 ? ?1 ? 3 ?3
2 2

解得 x12 ?

3 1 ? 2k 2

y12 ?

3k 2 1 ? 2k 2

? OA ? OB ? x12 ? y12 ?
2

3(1 ? k 2 ) 1 ? 2k 2

同理, OM ?
? 1 OA
2

3(1 ? k 2 ) 2 ? k2
? 2 Om
2

?

1 OB
2

? 2?

1 ? 2k 2 2(2 ? k 2 ) ? ?2 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 )



1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 Om
2

? 2 为定值.

第8页 共8页


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