广东省深圳市罗湖区翠园中学2014-2015学年高二下学期期末复习数学文科试卷6

翠圆中学高二文科下学期期末数学复习题四
参考公式:锥体体积

V?

1 s h s 表示底面积, h 表示锥体的高 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 两个分类变量 X 与 Y 的独立性假设检验中 k 2 ? 其中 n ? a ? b ? c ? d

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

K 2 ? 10.828 时,有 99.9 0 0 的把握认为“ X 与 Y 有关系” K 2 ? 7.879 时,有 99.5 0 0 的把握认为“ X 与 Y 有关系” K 2 ? 6.635 时,有 99 0 0 的把握认为“ X 与 Y 有关系” K 2 ? 2.706 时,没有充分的证据显示“ X 与 Y 有关系”
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1. 复数

(1 ? i) 2 ( i 是虚数单位)= i
B. ?2 C. 2i D. ? 2i

A. 2

2.若集合 M ? ?x | x ? 2 ? 0?, N ? ?x | x2 ? 4x ? 3 ? 0? ,则 M ? N ? A. ?x | ?2 ? x ? 2? B. ?x | x ? 2? C. ?x |1 ? x ? 2? D. ?x |1 ? x ? 3?

3.函 f ( x) ? 2 x ? 2? x 在定义域上是 A.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.奇函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数

4.已知等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4 ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 S13= A.78 B.152 C.156 D.168

5. 一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等 腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为 1,那么这个 几何体的全面积 为 ... A.

3 2

B.2

正视图

侧视图

C. 3 ? 2 2

D.

3? 3 2
俯视图

?x ? y ? 0 ? 6. 已知 ?3 x ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值是 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A、3 B、

5 2

C、0

D、 ?3

7. ?ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列, AB ? AC ? BC ? 0 ,则 ?ABC 一定是 A.直角三角形 B.等边三角形 C 锐角三角形 D.钝角三角形

?

?

8.北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的 仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6 米 (如图所示) ,则旗杆的高度为 A. 10 米
2

B. 30 米 ).

C. 10 3 米

D. 10 6 米

9.下列说法正确的是 (
2

A. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 B. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” .
2 2

D.命题“若 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ”的逆否命题为真命题. 10.已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x ,正实数 a 、 b 、 c 满足 f (c) ? 0 ? f (a) ? f (b) ,若实数 d 是函 x

数 f ( x) 的 一 个 零 点 , 那 么 下 列 四 个 判 断 : ① d ? a ; ② d ? b ; ③ d ? c ;④ d ? c .其中可能成立的个数为 A.1 B.2 C.3 二.填空题(每小题 5 分, 共 20 分.) 11. 中心在坐标原点,一个焦点为(5,0) ,且以直线 y ? ? 线的双曲线方程为__________________________. 12 如图,是一程序框图,则输出结果为 k ? ____ , s ? (说明, M ? N 是赋值语句,也可以写成 M ? N ,或 M :? N ) 13. 以下四个命题:

D.4

3 x 为渐近 4

.
K>4

①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样 ②在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好
? ? 0.1 x ? 10 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y ? 增加 0.1 个 ③在回归直线方程 y

单位 ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 k2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%以上.其 中正确 的序号是__________. ..

选做题:在下面两道小题中选做一题,两题都选只计算前一题的得分. 14. (参数方程与极坐标)已知 F 是曲线 ?

? x ? 2cos ? 1 (? ? R) 的焦点,点 M ( , 0) ,则 2 ? y ? 1 ? cos 2?

| MF | 的值是
15. (几何证明选讲) 如图, P 是圆 O 外的一点, PD 为切线, D 为切点, 割线 PEF 经过圆心 O , PF ? 6, PD ? 2 3 ,则 ? DFP ? __________.
P E O F D

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

O 16.(本题满分 12 分)如图, 设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点,P、Q 是单位圆上的两点,
是坐标原点, ?AOP ?

?
6

, ?AOQ ? ? , ? ? ?0, ? ? .

Y Q

(Ⅰ)若 Q ( , ) ,求 cos? ? ? (Ⅱ)设函数 f

3 4 5 5

? ?

??

? 的值; 6?
O

P X A

?? ? ? OP ? OQ ,求 f ?? ?的值域.

??? ? ????

17.(本题满分 12 分) 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图所示的 茎叶图表示 (Ⅰ)求甲、乙两名运动员得分的中位数; (Ⅱ)你认为哪位运动员的成绩更稳定? (Ⅲ)如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分,求甲的得分大于乙的 得 分 的 概 率 . ( 参 考 数 据 : 9 ? 8 ? 10 ? 2 ? 6 ? 10 ? 9 ? 466 ,
2 2 2 2 2 2 2

7 2 ? 4 2 ? 6 2 ? 32 ? 12 ? 2 2 ? 112 ? 236)





5 7 4 1 2 31 3 2 4 2 3 7 2 3 1 0

18.(本题满分 14 分)如图, 在等腰梯形 PDCB 中, PB ? 3, DC ? 1, PD ? BC ? 2, A 为 PB 边上一点, 且 PA ? 1, 将

?PAD 沿 AD 折起,使平面 PAD ⊥平面 ABCD .(Ⅰ)求证:CD ⊥

平面 PAD ; (Ⅱ)若 M 是侧棱 PB 中点,截面 AMC 把几何体分成的两部分,求这两部分的体积之比.
P

P

A

B
M

A

B

D

C
D C

19. (本题满分 14 分) 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,打算 本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年平均减少 20% ,本年度旅游收入为 400 万元, 由于该项建设对旅游的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加 25% . (Ⅰ)设第 n 年(本年度为第一年)的投入为 an 万元,旅游业收入为 bn 万元,写出 an , bn 的 表达式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入超过总投入?

20.(本题满分 14 分)如图,已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 与 x 轴交于 A1、 A2 两点,椭圆 E 以线段 A1A2 为长轴,离心率 e ?

2 . (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; 2

(Ⅱ)设椭圆 E 的左焦点为 F,点 P 为圆 C 上异于 A1、A2 的动点,过原点 O 作直线 PF 的垂线 交直线 x ? ?2 于点 Q,判断直线 PQ 与圆 C 的位置关系,并给出证 明.
Q Y

P

X A1 F O A2

21. (本题满分 14 分) 如图,在直角坐标系中,正方形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(1,0), C (1,1), D(0,1) . ( Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ?

2 1 2 ( 其中 x ? ( , ) ), 过 f ( x ) 图象是任意一点 R 的切线 l 将正方形 9x 3 3

ABCD 截成两部分,设 R 点的横坐标为 t , S (t ) 表示正方形 ABCD 被切线 l 所截的左下部分
的面积,求 S (t ) 的解析式; (Ⅱ) 试问 S (t ) 在定义域上是否存在最大值和最小值?若存在,求出 S (t ) 的最大值和最小值; 若不存在,请说明理由.
Y D C

1

A

B 1

X

一、选择题答案 二、填空题 11.

BCBCD

ABBDB

2 x2 y 2 ? ? 1 , 12. 5, (2 分,3 分) , 13.②○ 3 ④ , 5 16 9
?

14.

2 , 2

15. 30

三、解答题 16.(本题满分 12 分) 如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, P、Q 是单位圆上的两点, O 是坐标原点,

?AOP ?

?
6

, ?AOQ ? ? , ? ? ?0, ? ? .

Y Q

(Ⅰ)若 Q ( , ) ,求 cos? ? ? (Ⅱ)设函数 f

3 4 5 5

? ?

??

? 的值; 6?
O

P X A

?? ? ? OP ? OQ ,求 f ?? ?的值域.
3 4 , sin ? ? ????????????2 5 5


??? ? ????

解: (Ⅰ)由已知可得 cos ? ?

?? ? ? ? ?c o? s? ? ? ? c o ? s c o s ?si n ? s i n ????????????3 分 6? 6 6 ?
3 3 4 1 ? ? ? 5 2 5 2 ????????????4 分 3 3?4 ? 10 ?
(Ⅱ) f

?? ? ? OP ? OQ

??? ? ????

? ?? ? ? ?c o s , s i n ??? 6 6? ?

6分 ? c o s ?, sin ? ????????

?

3 1 c o? s ? sin ? ????????????7 分 2 2

?? ? ?sin ? ? ? ? ????????????8 分 3? ?
?? ?[0, ? )
?? ?

?
3

? [

? 4 ?
3 , 3

) ????????????9 分

?

3 ?? ? 11 分 ?sin 1 ? ? ? ? ? ???????????? 2 3? ?

? 3 ? ? f ?? ?的值域是 ? ? ? 2 ,1? ????????????12 分 ? ?
注:若结果写成闭区间或开区间扣 1 分 17. (本题满分 12 分) 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图所示的 茎叶图表示 (Ⅰ)求甲、乙两名运动员得分的中位数; (Ⅱ)你认为哪位运动员的成绩更稳定? (Ⅲ)如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分,求甲的得分大于乙的 得 分 的 概 率 . ( 参 考 数 据 : 9 ? 8 ? 10 ? 2 ? 6 ? 10 ? 9 ? 466 ,
2 2 2 2 2 2 2

7 2 ? 4 2 ? 6 2 ? 32 ? 12 ? 2 2 ? 112 ? 236)
解: (Ⅰ)运动员甲得分的中位数是 22 ,运动员乙得分的中位数是 23???????2 分 (Ⅱ)? x甲 ? 分





14 ? 17 ? 15 ? 24 ? 22 ? 23 ? 32 ? 21 ???????3 7

5 7 4 1 2 31 3 2 4 2 3 7 2 3 1 0

x乙 ?

12 ? 13 ? 11 ? 23 ? 27 ? 31 ? 30 ? 21 ???????4 分 7
2 2 2 2 2 2

S

2 甲

? 21-14? ? ? 21-17 ? ? ? 21-15? ? ? 21-24? ? ? 21-22? ? ? 21-23? ? ? 21-32? ?
2

7

?

236 7

???????????????????????????????5 分

S

2 乙

? 21-12? ? ? 21-13? ? ? 21-11? ? ? 21-23? ? ? 21-27 ? ? ? 21-31? ? ? 21-30? ?
2 2 2 2 2 2

2

7

?

466 7

???????????????????????????????????6 分
2 2 ,从而甲运动员的成绩更稳定????????????7 分 ? S甲 ? S乙

(Ⅲ)从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为 49?????8 分 其中甲的得分大于乙的是:甲得 14 分有 3 场,甲得 17 分有 3 场,甲得 15 分有 3 场 甲得 24 分有 4 场, 甲得 22 分有 3 场, 甲得 23 分有 3 场, 甲得 32 分有 7 场, 共计 26 场 ????? 10 分 从而甲的得分大于乙的得分的概率为 P ? 18. (本题满分 14 分) 如图,在等腰梯形 PDCB 中, PB ? 3, DC ? 1, PD? BC?

26 ????????????12 分 49

2 , A 为 PB 边上一点,且

PA ? 1, 将 ?PAD 沿 AD 折起,使平面 PAD ⊥平面 ABCD .

(Ⅰ)求证: CD ⊥平面 PAD ; (Ⅱ)若 M 是侧棱 PB 中点,求截面 AMC 把几何体分成的两部分的体积之比.
P

P

A

B
M

A

B

D

C

D

C

:(Ⅰ)证明:依题意知 PA ? 1, PD ? 2 ? AD ? AB , 又 CD ∥ AB ? CD ? AD ????????3 分 又∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,由面面垂直的性质定理知, CD ? 平面 PAD ……………………………………. ………………………………6 分 (Ⅱ) 解:设 N 是 AB 的中点,连结 MN ,依题意, PA ? AD , PA ? AB ,所以, PA ? 面 ABCD ,因为 MN ∥ PA ,所以 MN ? 面 ABCD .????????????8 分

1 1 1 1 1 VMABC ? MN ? S ?ABC ? ? ? ? 2 ? 2 ? ????????????10 分 3 3 2 2 6 1 1 CD ? AB 1 1? 2 1 VPABCD ? PA ? S ABCD ? PA ? AD ? ?1? ?1 ? ????11 分 3 3 2 3 2 2 1 1 1 所以, VPADCM ? VPADCB ? VMACB ? ? ? ?????12 分 2 6 3

VPADCM : VMACB ? 两部分体积比为 2 :1 ????????????14 分
19.(本题满分 12 分) 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,打算 本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年平均减少 20% ,本年度旅游收入为 400 万元, 由于该项建设对旅游的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加 25% . (Ⅰ)设第 n 年(本年度为第一年)的投入为 an 万元,旅游业收入为 bn 万元,写出 an , bn 的 表达式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入超过总投入? (Ⅰ)解,依题意每年投入构成首项为 800 万元,公比为 织首项为 400 万元,公比为

4 的等比数列,每年旅游业收入组 5

5 的等比数列。????????????2 分 4 4 n ?1 5 n ?1 所以, an ? 800 ? ( ) , bn ? 400( ) ????????????4 分 5 4

4 800(1 ? ( ) n ) 5 ? 4000(1 ? ( 4 )n ) ???5 分 (Ⅱ)解,经过 n 年,总收投入 sn ? 4 5 1? 5

5 400(1 ? ( )n ) 4 ? 1600(( 5 )n ? 1) ?????6 分 经过 n 年,总收入 Tn ? 5 4 1? 4 5 n 4 n 设经过 n 年,总收入超过总投入,由此, Tn ? Sn ? 0 , 1600(( ) ? 1) ?4000(1 ? ( ) ) ? 0 4 5 4 5 5 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ? 7 ? 0 ????????????8 分 化简得 5 4 4 n 2 设 x ? ( ) 代入上式整理得, 5 x ? 7 x ? 2 ? 0 5 2 解得, x ? , 或 x ? 1 (舍去)????????????10 分 5 4 n 2 4 n 256 2 4 1024 2 ? ???12 分 ? , n ? 5 , ( )n = 由 ( ) ? , n ? 4 时, ( ) ? 5 5 5 625 5 5 3125 5 4 x 因为 y ? ( ) 在定义域上是减函数,所以 n ? 5 ????????13 分 5
答:至少经过 5 年旅游业的总收入超过总投入。????????????14 分 20.(本题满分 14 分) 如图,已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 与 x 轴交于 A1、 A2 两点,椭圆 E 以线段 A1A2 为长轴,离心率

e?

2 . 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)设椭圆 E 的左焦点为 F,点 P 为圆 C 上异于 A1、A2 的动点,过原点 O 作直线 PF 的垂线 交直线 x ? ?2 于点 Q,判断直线 PQ 与圆 C 的位置关系,并给出证明. 18. 解: (Ⅰ)因为 a ?

2, e ?

2 ,所以 c=1……………2 分 2

Q

Y

x2 ? y 2 ? 1……………………4 分 则 b=1,即椭圆 E 的标准方程为 2
(Ⅱ)当点 P 在圆 C 上运动时,直线 PQ 与圆 C 保持相切……6 分
A1 F O

P

X A2

证明:设 P( x0 , y0 ) ( x0 ? ? 2 ),则 y ? 2 ? x
2 0

2 0 ,所以

k PF ?

y0 x ?1 , kOQ ? ? 0 , x0 ? 1 y0 x0 ? 1 x y0
……………9 分

所以直线 OQ 的方程为 y ? ?

所以点 Q(-2,

2 x0 ? 2 ) y0

………………11 分

y0 ?
所以 k PQ ?

2 x0 ? 2 y0 y 2 ? (2 x0 ? 2) ? x0 2 ? 2 x0 x ? 0 ? ? ? 0 ,………………13 分 x0 ? 2 ( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) y0 y0

又 kOP ?

y0 ,所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 C 相切……14 分 x0

21.(本题满分 14 分) 如图,在直角坐标系中,正方形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(1,0), C (1,1), D(0,1) . (Ⅰ)已知函数 f ( x ) ?

2 1 2 ,(其中 x ? ( , ) ),过 f ( x ) 图象是任意一点 R 的切线 l 将正方形 9x 3 3

ABCD 截成两部分,设 R 点的横坐标为 t , S (t ) 表示正方形 ABCD 被切线 l 所截的左下部分
的面积,求 S (t ) 的解析式; (Ⅱ) 试问 S (t ) 在定义域上是否存在最大值和最小值?若存在,求出 S (t ) 的最大值和最小值; 若不存在,请说明理由.
Y

1 2 解 : 设 R(t , f (t )) ( 其 中 t ? ( , ) ) , f ( x) 图 象 上 的 两 端 点 为 C 3 3 D 1 1 2 2 1 2 E ( , ), F ( , ) 又 f '(t ) ? ? 2 , 过点 R(t , f (t )) 的切线 l 的方程为: 3 3 3 3 9t 2 4 y ? ? 2 x ? ????2 分 9t 9t A B 1 2 1 4 1 (ⅰ)当切点为 E ( , ) 时, t ? ,切线 l 为: y ? ?2 x ? , 3 3 3 3 1 ) , 切 线 l 与 CD 的 交 点 坐 标 为 ( ,1) . 当 切 线 过 点 D( 0 , 1时 6 4 t ? ?????4 分 9 1 4 故当 ? t ? 时,切线 l 与 CD 相交,此时正方形 ABCD 被切线 l 所截的左下部分是直角梯 3 9 1 (4 ? 9t )t 1 ? 2t ] ? (?9t 2 ? 8t ) ????6 分 形, S (t ) = [ 2 2 4 1 4 1 (ⅱ)当切线过点 B(1, 0) 时, t ? ,? 当 ? t ? 时,切线 l 与 AD, AB 都相交,正方形 2 9 2 1 4 4 ABCD 被切线 l 所截的左下部分是直角三角形, S (t ) = ( )(2t ) ? ??7 分 2 9t 9 2 1 1 2 1 (ⅲ)当切点为 F ( , ) 时,切线 l 为: y ? ? x ? ,切线 l 与 BC 的交点坐标为 (1, ) 3 3 2 3 6 1 2 故当 ? t ? 时,切线 l 与 AD, BC 都相交,正方形 ABCD 被切线 l 所截的左下部分是直角 2 3

X

梯形, S (t ) =

1 4 4t ? 2 4 1 ( ? ] ? ? 2 ???9 分 2 2 9t 9t 9t 9t

1 4 ?1 2 ? 4 ( ?9t ? 8t ) t ? ( 3 , 9 ) ? 4 1 ?4 t ? [ , ] ???????10 分 综上所述: S (t ) ? ? 9 2 ?9 1 1 2 ? 4 ? 9t ? 9t 2 t ? ( 2 , 3 ) ?
(Ⅲ)解:当 t ? ( , ) , S '(t ) ? ?

1 4 3 9

9 4 1 4 (t ? ) ? 0, 故 S (t ) 在 ( , ) 上递增, S (t ) 最大无限接近 2 9 3 9

4 , S (t ) 无最大值和最小值???????????11 分 9 1 2 2(1 ? 2t) 1 2 4 ? 0, S (t ) 在 ( , ) 上递减,S (t ) 最大无限接近 ,S (t ) 无 当 t ? ( , ) 时, S '(t ) ? 3 2 3 9t 2 3 9
最大值和最小值???????????12 分

4 成立??????13 分 9 4 综上所述: S (t ) 在定义域上存在最大值 ,不存在最小值.????14 分. 9
故当 t ? [ , ] , S (t ) ?

4 1 9 2


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