1.1正余弦定理练习题1


正弦定理
1.在△ABC 中,∠A=45° ,∠B=60° ,a=2,则 b 等于( A. 6 B. 2 ) C. 3 D.2 6 a b asinB 解析:选 A.应用正弦定理得: = ,求得 b= = 6. sinA sinB sinA 2.在△ABC 中,已知 a=8,B=60° ,C=75° ,则 b 等于( A.4 2 B.4 3 C.4 6 ) 32 D. 3

asinB 解析:选 C.A=45° ,由正弦定理得 b= =4 6. sinA 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=60° ,a=4 3,b=4 2,则角 B 为( A.45° 或 135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 a b bsinA 2 = 得:sinB= = ,又∵a>b,∴B<60° ,∴B=45° . sinA sinB a 2 ) B.6∶5∶1 D.不确定 ) )

解析:选 C.由正弦定理

4.在△ABC 中,a∶b∶c=1∶5∶6,则 sinA∶sinB∶sinC 等于( A.1∶5∶6 C.6∶1∶5

解析:选 A.由正弦定理知 sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=1∶5∶6. 5.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 A=105° ,B=45° ,b= 2,则 c=( 1 1 A.1 B. C.2 D. 2 4 b c 2× sin 30° 解析:选 A.C=180° -105° -45° =30° ,由 = 得 c= =1. sinB sinC sin45° cos A b 6.在△ABC 中,若 = ,则△ABC 是( ) cos B a A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 b sin B cos A sin B 解析:选 D.∵ = ,∴ = , a sin A cos B sin A sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B π 即 2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B,或 A+B= . 2 7.已知△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积为( A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D. 3 3 或 4 2 )

AB AC 3 解析:选 D. = ,求出 sinC= ,∵AB>AC, sinC sinB 2 ∴∠C 有两解,即∠C=60° 或 120° ,∴∠A=90° 或 30° . 1 再由 S△ABC= AB· ACsinA 可求面积. 2 8.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 c= 2,b= 6,B=120° ,则 a 等于( A. 6 B.2 C. 3 D. 2 6 2 解析:选 D.由正弦定理得 = , sin120° sinC 1 ∴sinC= . 又∵C 为锐角,则 C=30° ,∴A=30° , 2
1

)

△ABC 为等腰三角形,a=c= 2. π 9.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a=1,c= 3,C= ,则 A=________. 3 a c a· sinC 1 解析:由正弦定理得: = , 所以 sinA= = . sinA sinC c 2 π π π 又∵a<c,∴A<C= ,∴A= . 答案: 3 6 6 4 3 10.在△ABC 中,已知 a= ,b=4,A=30° ,则 sinB=________. 3 1 4× 2 a b bsinA 3 3 解析:由正弦定理得 = ? sinB= = = . 答案: sinA sinB a 2 4 3 2 3 11.在△ABC 中,已知∠A=30° ,∠B=120° ,b=12,则 a+c=________. 解析:C=180° -120° -30° =30° ,∴a=c, a b 12× sin30° 由 = 得,a= =4 3, ∴a+c=8 3. sinA sinB sin120° 12.在△ABC 中,a=2bcosC,则△ABC 的形状为________. 解析:由正弦定理,得 a=2R· sinA,b=2R· sinB, 代入式子 a=2bcosC,得 2RsinA=2· 2R· sinB· cosC, 所以 sinA=2sinB· cosC, 即 sinB· cosC+cosB· sinC=2sinB· cosC, 化简,整理,得 sin(B-C)=0. ∵0° <B<180° ,0° <C<180° , ∴-180° <B-C<180° , ∴B-C=0° ,B=C. 答案:等腰三角形 a+b+c 13.在△ABC 中,A=60° ,a=6 3,b=12,S△ABC=18 3,则 =________,c=________. sinA+sinB+sinC a+b+c a 6 3 1 1 解析: 由正弦定理得 = = =12, 又 S△ABC= bcsinA, ∴ × 12× sin60° × c=18 3, sin A sin60° 2 2 sinA+sinB+sinC ∴c=6. 答案:12 6 a-2b+c 14.已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,a=1,则 =________. sin A-2sin B+sin C 解析:由∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 得,∠A=30° ,∠B=60° ,∠C=90° , a 1 ∴2R= = =2, sinA sin30° 又∵a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, a-2b+c 2R A-2sinB+sin C = =2R=2. 答案:2 sin A-2sin B+sin C sin A-2sin B+sin C 1 15.在△ABC 中,已知 a=3 2,cosC= ,S△ABC=4 3,则 b=________. 3 ∴ 2 2 1 解析:依题意,sinC= ,S△ABC= absinC=4 3, 解得 b=2 3. 3 2 16.在△ABC 中,b=4 3,C=30° ,c=2,则此三角形有________组解. 1 解析:∵bsinC=4 3× =2 3且 c=2, 2 ∴c<bsinC,∴此三角形无解. 答案:0 答案:2 3

答案:8 3

2

17. 如图所示, 货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角) 为 140° 的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110° ,航行半小时后船到达 C 点, 观测灯塔 A 的方位角是 65° ,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是多少? 1 解:在△ABC 中,BC=40× =20, 2 ∠ABC=140° -110° =30° , ∠ACB=(180° -140° )+65° =105° , 所以∠A=180° -(30° +105° )=45° , 由正弦定理得 BC· sin∠ABC 20sin30° AC= = =10 2(km). sinA sin45° 即货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是 10 2 km. C C 1 A 18.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a=2 3,sin cos = ,sin Bsin C=cos2 ,求 A、 2 2 4 2 B 及 b、c. C C 1 1 解:由 sin cos = ,得 sinC= , 2 2 4 2 π 5π 又 C∈(0,π),所以 C= 或 C= . 6 6 A 1 由 sin Bsin C=cos2 ,得 sin Bsin C= [1-cos(B+C)], 2 2 即 2sin Bsin C=1-cos(B+C), 即 2sin Bsin C+cos(B+C)=1,变形得 cos Bcos C+sin Bsin C=1, π 5π 2π 即 cos(B-C)=1,所以 B=C= ,B=C= (舍去), A=π-(B+C)= . 6 6 3 1 2 a b c sin B 由正弦定理 = = ,得 b=c=a =2 3× =2. sin A sin B sin C sin A 3 2 2π π 故 A= ,B= ,b=c=2. 3 6 19.(2009 年高考四川卷)在△ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且 cos 2A 3 10 = ,sin B= .(1)求 A+B 的值;(2)若 a-b= 2-1,求 a,b,c 的值. 5 10 解:(1)∵A、B 为锐角,sin B= 3 10 ∴cos B= 1-sin2B= . 10 3 5 2 5 又 cos 2A=1-2sin2A= ,∴sinA= ,cos A= , 5 5 5 2 5 3 10 5 10 2 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B = × - × = . 5 10 5 10 2 π 又 0<A+B<π,∴A+B= . 4 3π 2 (2)由(1)知,C= ,∴sin C= . 4 2 a b c 由正弦定理: = = 得 sin A sin B sin C 10 , 10

5a= 10b= 2c,即 a= 2b,c= 5b.
3

∵a-b= 2-1,∴ 2b-b= 2-1,∴b=1.

∴a= 2,c= 5.

20.△ABC 中,ab=60 3,sin B=sin C,△ABC 的面积为 15 3,求边 b 的长. 1 1 解:由 S= absin C 得,15 3= × 60 3× sin C, 2 2 1 ∴sin C= ,∴∠C=30° 或 150° . 2 又 sin B=sin C,故∠B=∠C. 当∠C=30° 时,∠B=30° ,∠A=120° . a b 又∵ab=60 3, = ,∴b=2 15. 当∠C=150° 时,∠B=150° (舍去). sin A sin B 故边 b 的长为 2 15.

余弦定理
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1 1.在△ABC 中,如果 BC=6,AB=4,cosB= ,那么 AC 等于( 3 A.6 C.3 6 B.2 6 D.4 6

)

解析:选 A.由余弦定理,得 AC= AB2+BC2-2AB· BCcosB = 2.在△ABC 中,a=2,b= 3-1,C=30° ,则 c 等于( A. 3 C. 5
2 2

1 42+62-2× 4× 6× =6. 3

)

B. 2 D.2

解析:选 B.由余弦定理,得 c =a +b2-2abcosC =22+( 3-1)2-2× 2× ( 3-1)cos30° =2, ∴c= 2. 3.在△ABC 中,a2=b2+c2+ 3bc,则∠A 等于( A.60° C.120°
2 2 2

)

B.45° D.150°

b +c -a - 3bc 3 解析:选 D.cos∠A= = =- , 2bc 2bc 2 ∵0° <∠A<180° ,∴∠A=150° . 4. 在△ABC 中, ∠A、 ∠B、 ∠C 的对边分别为 a、 b、 c, 若(a2+c2-b2)tanB= 3ac, 则∠B 的值为( π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 解析:选 D.由(a2+c2-b2)tanB= 3ac,联想到余弦定理,代入得 a2+c2-b2 3 1 3 cosB cosB= = · = · . 2ac 2 tanB 2 sinB π 3 π 2π 显然∠B≠ ,∴sinB= .∴∠B= 或 . 2 2 3 3 5.在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,则 acosB+bcosA 等于( A.a C.c
2 2 2 2 2

)

)

B .b D.以上均不对

a +c -b b +c -a2 2c2 解析:选 C.a· +b· = =c. 2ac 2bc 2c 6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.由增加的长度决定
4

)

解析:选 A.设三边长分别为 a,b,c 且 a2+b2=c2. 设增加的长度为 m, 则 c+m>a+m,c+m>b+m, 又(a+m)2+(b+m)2=a2+b2+2(a+b)m+2m2>c2+2cm+m2=(c+m)2, ∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形. → → → → 7.已知锐角三角形 ABC 中,|AB|=4,|AC|=1,△ABC 的面积为 3,则AB· AC的值为( A.2 C.4 B.-2 D.-4 1→ → 1 解析:选 A.S△ABC= 3= |AB|· |AC|· sinA = × 4× 1× sinA, 2 2 3 ,又∵△ABC 为锐角三角形, 2 1 1 → → ∴cosA= , ∴AB· AC=4× 1× =2. 2 2 ∴sinA= 8.在△ABC 中,b= 3,c=3,B=30° ,则 a 为( A. 3 C. 3或 2 3 B.2 3 D.2 )

)

解析:选 C.在△ABC 中,由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB,即 3=a2+9-3 3a, ∴a2-3 3a+6=0,解得 a= 3或 2 3. 9. 已知△ABC 的三个内角满足 2B=A+C, 且 AB=1, BC=4, 则边 BC 上的中线 AD 的长为________. π 解析:∵2B=A+C,A+B+C=π,∴B= . 3 在△ABD 中, AD= AB2+BD2-2AB· BDcosB = 答案: 3 10.△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=( 3-1)∶( 3+1)∶ 10,求最大角的度数. 解:∵sinA∶sinB∶sinC=( 3-1)∶( 3+1)∶ 10, ∴a∶b∶c=( 3-1)∶( 3+1)∶ 10. 设 a=( 3-1)k,b=( 3+1)k,c= 10k(k>0), a2+b2-c2 1 ∴c 边最长,即角 C 最大.由余弦定理,得 cosC= =- , 2ab 2 又 C∈(0° ,180° ),∴C=120° . 11. 已知 a、 b、 c 是△ABC 的三边, S 是△ABC 的面积, 若 a=4, b=5, S=5 3, 则边 c 的值为________. 1 3 解析:S= absinC,sinC= ,∴C=60° 或 120° . 2 2 1 ∴cosC=± ,又∵c2=a2+b2-2abcosC, 2 ∴c2=21 或 61,∴c= 21或 61. 答案: 21或 61 12.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则 cos A∶cos B∶cos C=________. 解析:由正弦定理 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4, 设 a=2k(k>0),则 b=3k,c=4k, a2+c2-b2 k2+ k2- k2 11 cos B= = = , 2ac 2× 2k× 4k 16 7 1 同理可得:cos A= ,cos C=- , 8 4 ∴cos A∶cos B∶cos C=14∶11∶(-4). 答案:14∶11∶(-4)
5

1 1+4-2× 1× 2× = 3. 2

1 13.在△ABC 中,a=3 2,cos C= ,S△ABC=4 3,则 b=________. 3 1 2 2 解析:∵cos C= ,∴sin C= . 3 3 1 1 2 2 又 S△ABC= absinC=4 3, 即 · b· 3 2· =4 3, ∴b=2 3. 答案:2 3 2 2 3 → → 14.已知△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,AC=6,则AB· BC的值为________. AB2+BC2-AC2 49+25-36 19 = = , 2AB· BC 2× 7× 5 35 19 → → → → ∴AB· BC=|AB|· |BC|·cos(π-B) =7× 5× (- ) =-19. 35 解析:在△ABC 中,cosB= 答案:-19 15.已知△ABC 的三边长分别是 a、b、c,且面积 S= a2+b2-c2 a2+b2-c2 ab 1 解析: absinC=S= = · 2 4 2ab 2 1 = abcosC,∴sinC=cosC,∴tanC=1,∴C=45° . 2 答案:45° 16. (2011 年广州调研)三角形的三边为连续的自然数, 且最大角为钝角, 则最小角的余弦值为________. 解析:设三边长为 k-1,k,k+1(k≥2,k∈N),
2 2 2 ? ?k +k- -k+ <0 则? ? 2<k<4, ?k+k-1>k+1 ?

a2+b2-c2 ,则角 C=________. 4

∴k=3,故三边长分别为 2,3,4, 32+42-22 7 7 ∴最小角的余弦值为 = . 答案: 2× 3× 4 8 8 17.在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根,且 2cos(A+B)=1,求 AB 的长. 解:∵A+B+C=π 且 2cos(A+B)=1, 1 1 ∴cos(π-C)= ,即 cosC=- . 2 2 又∵a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根,∴a+b=2 3,ab=2. 1 ∴AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cosC=a2+b2-2ab(- ) 2 =a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(2 3)2-2=10, (1)求边 AB 的长; 1 (2)若△ABC 的面积为 sin C,求角 C 的度数. 6 解:(1)由题意及正弦定理得 AB+BC+AC= 2+1,BC+AC= 2AB, 两式相减,得 AB=1. 1 1 1 (2)由△ABC 的面积 BC· AC· sin C= sin C,得 BC· AC= , 2 6 3 AC2+BC2-AB2 AC+BC2-2AC· BC-AB2 1 由余弦定理得 cos C= = = , 所以 C=60°. 2AC· BC 2AC· BC 2 19.在△ABC 中,BC= 5,AC=3,sin C=2sin A.
6

∴AB= 10.

18.已知△ABC 的周长为 2+1,且 sin A+sin B= 2sin C.

(1)求 AB 的值; π (2)求 sin(2A- )的值. 4 AB BC 解:(1)在△ABC 中,由正弦定理 = , sin C sin A sinC 得 AB= BC=2BC=2 5. sinA AB2+AC2-BC2 2 5 (2)在△ABC 中,根据余弦定理,得 cos A= = , 2AB· AC 5 于是 sin A= 1-cos2A= 5 . 5 4 从而 sin 2A=2sin Acos A= , 5

3 cos 2A=cos2 A-sin2 A= . 5 π π π 2 所以 sin(2A- )=sin 2Acos -cos 2Asin = . 4 4 4 10 20.在△ABC 中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 2cos Asin B=sinC,确定△ABC 的形状. sin C c 解:由正弦定理,得 = . sin B b sinC c 由 2cos Asin B=sin C,有 cosA= = . 2sin B 2b
2 2 2 b2+c2-a2 c b +c -a 又根据余弦定理,得 cos A= ,所以 = , 2bc 2b 2bc

即 c2=b2+c2-a2,所以 a=b. 又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以(a+b)2-c2=3ab,所以 4b2-c2=3b2, 所以 b=c,所以 a=b=c, 因此△ABC 为等边三角形.

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