高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理课堂探究新人教A版选修4_12017102

三 圆的切线的性质及判定定理 课堂探究 探究一圆的切线的性质的应用 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时,连接圆心和切点的半径是常用辅助线. 【典型例题 1】如图所示,AB 为⊙O 的直径,BC,CD 为⊙O 的切线,B,D 为切点, (1)求证:AD∥OC; (2)若⊙O 的半径为 1,求 AD·O C 的值. 思路分析: (1)要证 AD∥OC, 由于 AB 是⊙O 的直径, 所以 BD⊥AD.故可转化为证明 BD⊥OC; (2)由 AD·OC 可以联想到△ABD∽△OCB,利用等积式转化线段间的关系. (1)证明:如图,连接 OD,BD. ∵BC,CD 是⊙O 的切线,∴OB⊥BC,OD⊥CD. ∴∠OBC=∠ODC=90°. 又∵OB=OD,OC=OC,∴Rt△OBC≌Rt△ODC. ∴BC=CD.又∵OB=OD,∴OC⊥BD. ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°, 即 AD⊥BD.∴AD∥OC. (2)解:∵AD∥OC, ∴∠A=∠BOC. 又∠ADB=∠OBC=90°, ∴△ABD∽△OCB. ∴ = .∴AD·OC=AB·OB=2×1=2. 点评 若题目中有圆的切线,则首先想到的是连接圆心和切点构造垂直关系. 1 AB AD OC OB 探究二圆的切线的判定 在不知道圆与直线是否有公共点的情况下, 通常过圆心作直线的垂线段, 然后证垂线段的 长等于半径,即“作垂直,证半径”,这是证直线与圆相切的常用方法之一. 【典型例题 2】如图,AB 是⊙O 的直径,AE 平分∠BAF 交⊙O 于点 E,过 E 作直线与 AF 垂 直,交 AF 的延长线于点 D,且交 AB 的延长线于点 C.求证:CD 是⊙O 的切线. 分析:连接 OE,只需证明 OE⊥CD 即可. 证明:如图,连接 OE. ∵OA=OE,∴∠1=∠2. 又∵AE 平分∠BAF, ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3.∴OE∥AD. ∵AD⊥CD,∴OE⊥CD. ∴CD 与⊙O 相切于点 E. 规律小结 定理法判定圆的切线是平面几何中最常用的方法. 这种方法的步骤是: ①连接 圆心和公共点;②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段.由此看出,证明圆的切线可转 化为证明直线垂直. 2

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