2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—9.解析几何

2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
一、选择题 【2018.4】已知椭圆 C :
1 3

9.解析几何

x2 y 2 0) ,则 C 的离心率为 ? ? 1 的一个焦点为 (2 , a2 4
1 2
2

A.

B.

C.

2 2

D.

2 2 3

【2017,5】已知 F 是双曲线 C : x ? 是 (1,3) ,则 ?APF 的面积为( A. )

y2 ? 1 的右焦点, P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标 3

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 2

【2017,12】设 A、B 是椭圆 C: 的取值范围是( )

x2 y 2 ,则 m ? ? 1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120° 3 m
C. (0,1] [4, ??)

A. (0,1] [9, ??)

B. (0, 3] [9, ??)

D. (0, 3] [4, ??)

【2016,5】直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 离心率为( A. ) B.

1 ,则该椭圆的 4

1 3

1 2

C.

2 3

D.

3 4

【2015,5】已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=( A.3 B.6 C.9

1 ,E 的右焦点与抛物线 C: y2=8x,的焦点重合, 2

) D.12

【2014,10】已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|= A.1 B.2 C.4 D.8 )

5 x0 ,则 x0=( 4

)

【2014,4】4.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a=( a2 3
C.

A.2

B.

6 2

5 2

D.1

【2013,4】已知双曲线 C: A.y= ?

1 x 4

x2 y2 5 ? 2 =1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b 2 1 1 B.y= ? x C.y= ? x D.y=± x 3 2

).

1 / 13

【2013,8】O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2= 4 2 x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|= 4 2 ,则△POF 的面积为( ) A.2 B. 2 2 C. 2 3 D.4

【2012,4】设 F1 、 F2 是椭圆 E:

x2 y 2 3a 上一点, ? 2 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,P 为直线 x ? 2 2 a b
) D.

的等腰三角形,则 E 的离心率为( ?F2 PF1 是底角为 30° A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

4 5

【2012,10】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交于 A,B 两点,

| AB |? 4 3 ,则 C 的实轴长为(
A. 2 B. 2 2

) C.4 D.8

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( 【2011,4】椭圆 16 8
A.



1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

【2011,9】已知直线 l 过抛物线的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A , B 两点, AB ? 12 , P 为

C 的准线上一点,则 △ABP 的面积为( ) . A. 18 B. 24
二、填空题

C. 36

D. 48

【2018.15】直线 y ? x ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 交于 A ,B 两点,则 AB ? ________. 【2016,15】设直线 y ? x ? 2a 与圆 C : x ? y ? 2ay ? 2 ? 0 相交于 A, B 两点,若 AB ? 2 3 ,则圆 C
2 2

的面积为


2

【2015,16】已知 F 是双曲线 C: x ? 小时,该三角形的面积为 三、解答题 【2018.20】(12 分) .

y2 ? 1的右焦点,P 是 C 左支上一点, A(0,6 6) ,当 ΔAPF 周长最 8

0? , B ? ?2 ,0 ? ,过点 A 的直线 l 与 C 交于 M , N 两点. 设抛物线 C:y 2 ? 2 x ,点 A ? 2 ,
(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 BM 的方程; (2)证明: ∠ABM ? ∠ABN .

2 / 13

【2017,20】设 A,B 为曲线 C: y ?

x2 上两点,A 与 B 的横坐标之和为 4. 4

(1)求直线 AB 的斜率; (2)设 M 为曲线 C 上一点,C 在 M 处的切线与直线 AB 平行,且 AM ? BM ,求直线 AB 的方程.

【2016, 20】 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l : y ? t (t ? 0) 交 y 轴于点 M , 交抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 于 点 P , M 关于点 P 的对称点为 N ,连结 ON 并延长交 C 于点 H . (1)求

OH ON

; (2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?请说明理由.

【2015,20】已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ) OM ? ON =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.

3 / 13

【2013,21】已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆 心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.

【2012,20】设抛物线 C: x ? 2 py ( p ? 0 )的焦点为 F,准线为 l ,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,
2

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到

m , n 距离的比值。

【2011,20】在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上.
2

(1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A , B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值.

4 / 13

2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 9.解析几何(解析版)
一、选择题

x2 y 2 0) ,则 C 的离心率为 【2018.4】已知椭圆 C : 2 ? ? 1 的一个焦点为 (2 , a 4
1 3 答案:C

A.

B.

1 2

C.

2 2

D.

2 2 3

【2017,5】已知 F 是双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 的右焦点, P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标 3

是 (1,3) ,则 ?APF 的面积为( A.

) C.

1 3

B.

1 2

2 3

D.

3 2
2

2 2 2 【解法】选 D.由 c ? a ? b ? 4 得 c ? 2 ,所以 F (2, 0) ,将 x ? 2 代入 x ?

y2 ? 1,得 y ? ?3 ,所以 3

1 3 PF ? 3 ,又 A 的坐标是(1,3),故 APF 的面积为 ? 3 ? (2 ? 1) ? ,选 D. 2 2
【2017,12】设 A、B 是椭圆 C: 的取值范围是( ) B. (0, 3] [9, ??) C. (0,1] [4, ??) D. (0, 3] [4, ??)

x2 y 2 ,则 m ? ? 1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120° 3 m

A. (0,1] [9, ??) 【解法】选 A.

图 1 需使 ?AEB ? 1200 . 1.当 0 ? m ? 3 时,如图 1, tan
?AEB a 3 ? ? ? tan 600 ? 3 ,解得 m ? 1 ,故 0 ? m ? 1 ; 2 b m

图 2

解法一:设 E、 F 是椭圆 C 短轴的两个端点,易知当点 M 是椭圆 C 短轴的端点时 ?AMB 最大,依题意只

5 / 13

2. 当 m ? 3 时,如图 2, tan

?AEB a m ? ? ? tan 600 ? 3 ,解得 m ? 9 . 2 b 3

综上可知,m 的取值范围是 (0,1] [9, ??) ,故选 A. 解法二:设 E、 F 是椭圆 C 短轴的两个端点,易知当点 M 是椭圆 C 短轴的端点时 ?AMB 最大,依题意只 需使 ?AEB ? 1200 .
EA ? EB 1 1 1.当 0 ? m ? 3 时,如图 1, cos EA, EB ? cos1200 ? ? ,即 ?? , 2 2 EA EB

带入向量坐标,解得 m ? 1 ,故 0 ? m ? 1 ;
EA ? EB 1 1 2. 当 m ? 3 时,如图 2, cos EA, EB ? cos1200 ? ? ,即 ?? , 2 2 EA EB

带入向量坐标,解得 m ? 9 . 综上可知,m 的取值范围是 (0,1] [9, ??) ,故选 A.

【2016,5】直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 离心率为( A. ) B.

1 ,则该椭圆的 4

1 3

1 2

C.

2 3

D.

3 4

解析:选 B. 由等面积法可得

1 1 1 c 1 1 ? bc ? ? a ? 2b ? ,故 c ? a ,从而 e ? ? .故选 B. 2 2 4 a 2 2
1 ,E 的右焦点与抛物线 C: y2=8x,的焦点重合, 2

【2015,5】已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为

A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 解:选 B.抛物线的焦点为(2,0),准线为 x=-2,所以 c=2,从而 a=4,所以 b2=12,所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,将 x=-2 代入解得 y=± 3,所以|AB|=6,故选 B 16 12
【2014,10】10.已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|= A.1 B.2 C.4 D.8

5 x0 ,则 x0=( 4

)A

解:根据抛物线的定义可知|AF|= x0 ?

1 5 ? x0 ,解之得 x0=1. 故选 A 4 4
)D

x2 y2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a=( 【2014,4】4.已知双曲线 2 ? a 3
A.2 B.

6 2

C.

5 2

D.1

6 / 13

解: e ?

c a 2 ? b2 a2 ? 3 ? ? ? 2 ,解得 a=1,故选 D a a2 a2

【2013,4】已知双曲线 C:

x2 y2 5 ? 2 =1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( ). 2 a b 2 1 1 1 A.y= ? x B.y= ? x C.y= ? x D.y=± x 3 4 2 c2 5 b2 1 b 1 c 5 5 解析:选 C.∵ e ? ,∴ ? ,即 2 ? .∵c2=a2+b2,∴ 2 ? .∴ ? . a 2 a 4 a 4 a 2 2 b 1 ∵双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,∴渐近线方程为 y ? ? x .故选 C. a 2

【2013,8】O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2= 4 2 x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|= 4 2 ,则△POF 的面积为( ). A.2 答案:C B. 2 2 C. 2 3 D.4

解析:利用|PF|= xP ? 2 ? 4 2 ,可得 xP= 3 2 ,∴yP= ?2 6 .∴S△POF= 故选 C. 【2012,4】4.设 F1 、 F2 是椭圆 E:

1 |OF|· |yP|= 2 3 . 2

x2 y 2 3a ? 2 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


的等腰三角形,则 E 的离心率为( ?F2 PF1 是底角为 30°

1 2 3 C. 4
A.

B.

2 3 4 D. 5

【解析】如图所示, ?F2 PF 1 是等腰三角形,

?F2 F1P ? ?F2 PF1 ? 30? , | F2 P |?| F1F2 |? 2c , ?PF2Q ? 60? , ?F2 PQ ? 30? , | F2Q |? c ,
又 | F2Q |?

3a 3a 3 c 3 ? c ,所以 ? c ? c ,解得 c ? a ,因此 e ? ? ,故选择 C. 2 2 4 a 4
2

【2012,10】10.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A,B 两点,

| AB |? 4 3 ,则 C 的实轴长为(
A. 2 C.4 B. 2 2 D.8



【解析】设等轴双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? a2 ( a ? 0 ) , a2 a2

7 / 13

抛物线 y 2 ? 16 x 的准线方程为 x ? ?4 ,联立方程 ?

? x2 ? y2 ? a2 ? x ? ?4

,解得 y 2 ? 16 ? a2 ,

因为 | AB |? 4 3 ,所以 | AB |2 ? (2 | y |)2 ? 4 y 2 ? 48 ,从而 y 2 ? 12 ,所以 16 ? a 2 ? 12 , a 2 ? 4 ,

a ? 2 ,因此 C 的实轴长为 2a ? 4 ,故选择 C.
【2011,4】椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( ) 16 8
B.

A.

1 3

1 2

C.

3 3

D.

2 2

x2 y 2 c 2 2 2 ? ? 1 中, a2 ? 16, b2 ? 8 ,所以 c2 ? a 2 ? b2 ? 8 ,所以 e ? ? 【解析】选 D.因为 . ? 16 8 a 4 2
【2011,9】已知直线 l 过抛物线的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A , B 两点, AB ? 12 , P 为

C 的准线上一点,则 △ABP 的面积为( ) . A. 18 B. 24
2

C. 36

D. 48

【解析】不妨设抛物线的标准方程为 y ? 2 px ? p ? 0? ,由于 l 垂直于对称轴且过焦点,故直线 l 的方程为

p .代入 y 2 ? 2 px 得 y ? ? p ,即 AB ? 2 p ,又 AB ? 12 ,故 p ? 6 ,所以抛物线的准线方程为 2 1 x ? ?3 ,故 S△ABP ? ? 6 ? 12 ? 36 .故选 C. 2 x?
二、填空题 【2018.15】直线 y ? x ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 交于 A ,B 两点,则 AB ? ________. 2 2 【2016,15】设直线 y ? x ? 2a 与圆 C : x ? y ? 2ay ? 2 ? 0 相交于 A, B 两点,若 AB ? 2 3 ,则圆 C
2 2

的面积为


2

2 2 解析: 4 ? .由题意直线即为 x ? y ? 2a ? 0 ,圆的标准方程为 x ? ? y ? a ? ? a ?2 ,

? a ? a2 所以圆心到直线的距离 d ? ,所以 AB ? 2 ? a ?2 ? ? ? ? 2 ?2 ?2 3, ? 2 2 ? 2?

a

2

2

故 a ? 2 ? r ? 4 ,所以 S ? ?r ? 4? .故填 4 ? .
2 2 2

y2 ? 1的右焦点,P 是 C 左支上一点, A(0,6 6) ,当 ΔAPF 周长最 【2015,16】已知 F 是双曲线 C: x ? 8
2

小时,该三角形的面积为



解:12 6 . a=1, b2=8, ? c=3, ∴F(3,0). 设双曲线的的左焦点为 F1, 由双曲线定义知|PF|=2+|PF1|, ∴ΔAPF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|+|PF1|+2,由于|AF|是定值,只要|PA|+|PF1|最小,即 A,P,F1 共线,
8 / 13

∵ A(0,6 6) , F1 (-3,0), ∴直线 AF1 的方程为

x y 联立 8x2-y2=8 消去 x 整理得 y2+ 6 6 y-96=0, ? ? 1, ?3 6 6

解得 y= 2 6 或 y= ?8 6 (舍去),此时 SΔAPF=SΔAFF1-SΔPFF1 ? 3? (6 6 ? 2 6) ? 12 6 . 三、解答题 【2018.20】(12 分)

0? , B ? ?2 ,0 ? ,过点 A 的直线 l 与 C 交于 M , N 两点. 设抛物线 C:y 2 ? 2 x ,点 A ? 2 ,
(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 BM 的方程; (2)证明: ∠ABM ? ∠ABN . 20.解: (1)当 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为 x=2,可得 M 的坐标为(2,2)或(2,–2) .
1 1 所以直线 BM 的方程为 y= x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 2 2

(2)当 l 与 x 轴垂直时,AB 为 MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN. 当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1>0,x2>0.
? y ? k ( x ? 2), 2 由? 2 得 ky2–2y–4k=0,可知 y1+y2= ,y1y2=–4. k y ? 2 x ?

直线 BM,BN 的斜率之和为
k BM ? k BN ? y1 y2 x y ? x y ? 2( y1 ? y2 ) ? ? 2 1 1 2 .① x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

将 x1 ?

y1 y ? 2 , x2 ? 2 ? 2 及 y1+y2,y1y2 的表达式代入①式分子,可得 k k 2 y1 y2 ? 4k ( y1 ? y2 ) ?8 ? 8 ? ? 0. k k

x2 y1 ? x1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ?

所以 kBM+kBN=0,可知 BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM+∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN. 【2017,20】设 A,B 为曲线 C: y ?
x2 上两点,A 与 B 的横坐标之和为 4. 4

(1)求直线 AB 的斜率; (2)设 M 为曲线 C 上一点,C 在 M 处的切线与直线 AB 平行,且 AM ? BM ,求直线 AB 的方程. 解析:第一问: 【解法 1】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,AB 直线的斜率为 k,又因为 A,B 都在曲线 C 上,所以

y1 ? x1 / 4 y2 ? x2 / 4
?-?得 y2 ? y1 ?
2

2

? ?

x22 ? x12 ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 ) 由已知条件 x1 ? x2 ? 4 ? 4 4
9 / 13

所以,

y2 ? y1 ? 1 即直线 AB 的斜率 k=1. x2 ? x1

【解法 2】设 A( x , y ), B( x , y ) ,AB 直线的方程为 y=kx+b,所以 y ? kx ? b ? 1 1 2 2 ? 2 ?y ? x / 4 整理得:

x 2 ? 4kx ? 4b ? 0,? x1 ? x2 ? 4k ,

且 x ? x ? 4 所以 k=1 1 2

1 1 x 所以 k ? x0 ? 1,? x0 ? 2, y0 ? 1 2 2 所以 M(2,1) , MA ? ( x1 ? 2, y1 ? 1) , MB ? ( x2 ? 2, y2 ? 1) ,且 AM ? BM , AM BM ? 0

第二问:设 M ( x0 , y0 ) 所以 y0 ? x02 / 4 ? 又 y ?

即 x x ? 2( x ? x ) ? y y ? ( y ? y ) ? 5 ? 0 ?,设 AB 直线的方程为 y ? x ? b , 1 2 1 2 1 2 1 2

?y ? x ? b , ? 2 ?y ? x / 4
化简得 x 2 ? 4 x ? 4b ? 0 ,所以 x1x2 ? ?4b, y1 ? y2 ? 4 ? 2b, y1 y2 ? b 2 由?得 b 2 ? 7b ? 7 ? 0 所以 b=7 或者 b=-1(舍去) 所以 AB 直线的方程为 y=x+7 【2016, 20】 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l : y ? t (t ? 0) 交 y 轴于点 M , 交抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 于 点 P , M 关于点 P 的对称点为 N ,连结 ON 并延长交 C 于点 H . (1)求 解析

OH ON

; (2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?请说明理由.

(1)如图,由题意不妨设 t ? 0 ,可知点 M , P, N 的坐标分别

为 M ? 0, t ? , P ?

? t2 ? ? t2 ? ,t ? , N ? ,t ? , ? 2p ? ?p ?

y H M O P N x

p ? p ?y ? x 从而可得直线 ON 的方程为 y ? x ,联立方程 ? , t t 2 ? ? y ? 2 px
解得 x ?

2t 2 , y ? 2t . p

即点 H 的坐标为 ?

? 2t 2 ? OH y 2t , 2t ? ,从而由三角形相似可知 ? H ? ? 2. ON yN t ? p ? ? 2t 2 ? t , 2t ? ,可得直线 MH 的方程为 y ? t ? 2 x , 2t ? p ? p
10 / 13

(2)由于 M ? 0, t ? , H ?

整理得 2ty ? px ? 2t 2 ? 0 ,联立方程 ?
2 2

2 ? ? 2ty ? px ? 2t ? 0 ,整理得 y 2 ? 4ty ? 4t 2 ? 0 , 2 ? ? y ? 2 px

则 ? ? 16t ? 16t ? 0 ,从而可知 MH 和 C 只有一个公共点 H .

【2015,20】已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ) OM ? ON =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. 解:(Ⅰ)依题可设直线 l 的方程为 y=kx+1,则圆心 C(2,3)到的 l 距离 4- 7 4+ 7 | 2k ? 3 ? 1| . <k < d? ? 1 . 解得 2 3 3 1? k
4? 7 4? 7 , ). 3 3 (Ⅱ)将 y=kx+1 代入圆 C 的方程整理得 (k2+1)x2-4(k+1)x+7=0. 4(k ? 1) 7 , x1 x2 ? 2 . 设 M(x1, y1),N(x2, y2),则 x1 ? x2 ? 2 k ?1 k ?1 所以 OM ? ON =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k (x1+x2)+1 4k ( k +1) ? ? 8 =12,解得 k=1 k =1,所以 l 的方程为 y=x+1. k 2 +1 故圆心在直线 l 上,所以|MN|=2.

所以 k 的取值范围是 (

【2013,21】已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆 心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设圆 P 的圆心 为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点 除外),其方程为

x2 y2 ? =1 (x≠-2). 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90° ,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90° ,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得

| QP | R ? ,可求得 | QM | r1

| 3k |
2

1? k x2 y2 2 2 ?4 ? 6 2 当 k= 时,将 y ? , x ? 2 代入 ? =1 ,并整理得 7x2+8x-8=0,解得 x1,2= 4 3 4 4 7 18 2 所以|AB|= 1 ? k |x2-x1|= . 7
11 / 13

=1,解得 k= ?

2 . 4

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= . 7 4 18 综上,|AB|= 2 3 或|AB|= . 7
当 k= ? 【2012,20】设抛物线 C: x 2 ? 2 py ( p ? 0 )的焦点为 F,准线为 l ,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值。 【解析】 (1)若∠BFD=90°,则△BFD 为等腰直角三角形, 且|BD|= 2 p ,圆 F 的半径 r ?| FA |? 2 p , 又根据抛物线的定义可得点 A 到准线 l 的距离

d ?| FA |? 2 p 。
因为△ABD 的面积为 4 2 , 所以

1 1 ? | BD | ?d ? 4 2 ,即 ? 2 p ? 2 p ? 4 2 , 2 2

所以 p 2 ? 4 ,由 p ? 0 ,解得 p ? 2 。 从而抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y , 圆 F 的圆心 F(0,1) ,半径 r ?| FA |? 2 2 , 因此圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8 。
2 2

(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上, 则 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90°,

| |FA ?| 根 据 抛 物 线 的 定 义 , 得 | A D?

1 2

|AB ,| 所 以

?ABD ? 30? ,从而直线 m 的斜率为

3 3 或? 。 3 3

当直线 m 的斜率为

3 3 p 时,直线 m 的方程为 y ? x? , 3 3 2

原点 O 到直线 m 的距离 d1 ?

p 2 3 1 ? ( )2 3



? 3 x?b 3 2 3 ?y ? 依题意设直线 n 的方程为 y ? ,得 x 2 ? x ? b ,联立 ? px ? 2 pb ? 0 , 3 3 3 ? x 2 ? 2 py ?

12 / 13

4 p2 p 因为直线 n 与 C 只有一个公共点,所以 ? ? ? 8 pb ? 0 ,从而 b ? ? 。 6 3
3 p 所以直线 n 的方程为 y ? x ? ,原点 O 到直线 n 的距离 d 2 ? 3 6

p 6 3 1 ? ( )2 3



p d 因此坐标原点到 m , n 距离的比值为 1 ? 2 ? 3 。 d2 p 6
当直线 m 的斜率为 ?

3 时,由图形的对称性可知,坐标原点到 m , n 距离的比值也为 3。 3

【2011,20】在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A , B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值. 【解析】 (1)曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与 y 轴的交点为 (0,1) ,与 x 轴的交点为

?3 ? 2

2, 0 , 3 ? 2 2, 0 .故可设 C 的圆心为 ? 3, t ? ,则有 32 ? ? t ?1? ? 2 2
2

??

?

?

?

2

? t 2 ,解得 t ? 1 .则

2 2 圆 C 的半径为 3 ? ? t ? 1? ? 3 ,所以圆 C 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9 .

2

2

(2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,其坐标满足方程组 ? 消去 y ,得方程 2x ? ? 2a ? 8? x ? a ? 2a ?1 ? 0 .
2 2

? ? x ? y ? a ? 0, 2 2 ? ?? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9.

2 由已知可得,判别式 ? ? 56 ? 16a ? 4a ? 0 ,因此 x1,2 ?

?8 ? 2a ? ?

56 ? 16a ? 4a 2 , 4

从而 x1 ? x2 ? 4 ? a , x1 x2 ?

a 2 ? 2a ? 1 . 2

?

由于 OA ? OB ,可得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 又 y1 ? x1 ? a , y2 ? x2 ? a 所以 2x1x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a2 ? 0 . 由??得 a ? ?1 ,满足 ? ? 0 ,故 a ? ?1 .

?

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