恒山区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

恒山区一中 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题 一、选择题
1. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则异面直线 EF 和 BC1 所成的角是 ( ) A.60° B.45° C.90° D.120° 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

2. 已知集合
2 2 的坐标满足不等式 x +y ≤2 的概率为(

表示的平面区域为 Ω,若在区域 Ω 内任取一点 P(x,y),则点 P )

A.

B.

C.

D. )

3. 过直线 3x﹣2y+3=0 与 x+y﹣4=0 的交点,与直线 2x+y﹣1=0 平行的直线方程为( A.2x+y﹣5=0 B.2x﹣y+1=0 C.x+2y﹣7=0 D.x﹣2y+5=0 4. 已知函数 y ? sin(2 x ? ?) 在 x ? A.关于点 (

?
6

处取得最大值,则函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图象( B.关于点 (



?
6

, 0) 对称

?
3

, 0) 对称

C.关于直线 x ?

?
6

对称

D.关于直线 x ?

?
3

对称

5. 已知直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数, ? 为直线 l 的倾斜角),以原点 O 为极点, x 轴 ? ? y ? 3 ? t sin ?

正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin(? ?

?
3

) ,直线 l 与圆 C 的两个交点为 A, B ,当

| AB | 最小时, ? 的值为(
A. ? ?



3? 2? D. ? ? 4 3 4 3 6. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 为棱 A1B1 中点,点 Q 在侧面 DCC1D1 内运动,若

?

B. ? ?

?

C. ? ?

?PBQ ? ?PBD1 ,则动点 Q 的轨迹所在曲线为(



A.直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线

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【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识,意在考查空间想象能力. 7. 复数 z 满足(1+i)z=2i,则 z 在复平面上对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8. 已知 f(x)为偶函数,且 f(x+2)=﹣f(x),当﹣2≤x≤0 时,f(x)=2x;若 n∈N*,an=f(n),则 a2017 等于( ) D. ) A.2017 B.﹣8 C. )

9. 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( A.3πa B.6πa C.12πa D.24πa 10.已知 x,y 满足 A.4 的( B.﹣4 C.0 ) B.充分不必要条件
2 2 2 2

时,z=x﹣y 的最大值为( D.2



11.设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b” A.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知 a ? (?2,1) , b ? (k , ?3) , c ? (1, 2) c ? (k , ?2) ,若 (a ? 2b) ? c ,则 | b |? ( A. 3 5 B. 3 2 C. 2 5 D. 10 )

【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识,意在考查转化思想、方程思想、逻辑思 维能力与计算能力.

二、填空题
13. AA1=2cm, 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 AB=AD=4cm, 则点 A1 到平面 AB1D1 的距离等于 14.直线 l: 是 . .(填序号) (t 为参数)与圆 C: cm.

(θ 为参数)相交所得的弦长的取值范围

15.下列说法中,正确的是
2

①若集合 A={x|kx +4x+4=0}中只有一个元素,则 k=1; ②在同一平面直角坐标系中,y=2x 与 y=2﹣x 的图象关于 y 轴对称; ③y=( )﹣ 是增函数;
x

④定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f(x)?f(﹣x)≤0. 16.当下社会热议中国人口政策,下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过 2000 年第五次人口普查预测 的 15﹣64 岁劳动人口所占比例: 2030 2035 年份 年份代号 t 所占比例 y 1 68 2 65 2040 3 62 2045 4 62 2050 5 61

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根据上表,y 关于 t 的线性回归方程为

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

=



= ﹣



17.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件 A 在一 次试验中发生的概率 P 的取值范围是 . . 18.已知 tanβ= ,tan(α﹣β)= ,其中 α,β 均为锐角,则 α=

三、解答题
19.已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.

20.(本小题 12 分)在多面体 ABCDEFG 中,四边形 ABCD 与 CDEF 是边长均为 a 正方形, CF ? 平面

ABCD , BG ? 平面 ABCD ,且 AB ? 2 BG ? 4 BH .
(1)求证:平面 AGH ? 平面 EFG ; (2)若 a ? 4 ,求三棱锥 G ? ADE 的体积.

【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识,间在考查空间想象 能力、逻辑推理能力,以及转化的思想、方程思想.

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2 21.设集合 A ? x | x ? 8 x ? 15 ? 0 , B ? ? x | ax ? 1 ? 0? .

?

?

1 ,判断集合 A 与 B 的关系; 5 (2)若 A B ? B ,求实数组成的集合 C .
(1)若 a ?

22.已知平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 0),设点 A(1, ). (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程;

,右顶点为 D(2,

(3)过原点 O 的直线交椭圆于 B,C 两点,求△ ABC 面积的最大值,并求此时直线 BC 的方程.

23.(本小题满分 12 分)已知 A? 2,1? , B ? 0, 2? 且过点 P ?1, ?1? 的直线与线段 AB 有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.

24.根据下列条件,求圆的方程: (1)过点 A(1,1),B(﹣1,3)且面积最小; (2)圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上且与 y 轴交于点 A(0,﹣4),B(0,﹣2).

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恒山区一中 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:如图所示,设 AB=2, 则 A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(2,2,1). ∴ ∴ ∴ =(﹣2,0,2), = =60°. =(0,1,1), = = ,

∴异面直线 EF 和 BC1 所成的角是 60°. 故选:A.

【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 2. 【答案】D 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图, 则对应的区域为△AOB, 由 ,解得 ,即 B(4,﹣4),



,解得

,即 A( , ),

直线 2x+y﹣4=0 与 x 轴的交点坐标为(2,0), 则△OAB 的面积 S= = , ,

2 2 点 P 的坐标满足不等式 x +y ≤2 区域面积 S=

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2 2 则由几何概型的概率公式得点 P 的坐标满足不等式 x +y ≤2 的概率为

=



故选:D

【点评】本题考查的知识点是几何概型,二元一次不等式(组)与平面区域,求出满足条件 A 的基本事件对 应的“几何度量”N(A),再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据几何概型的概率公式进行求解. 3. 【答案】A 【解析】解:联立 ∴交点为(1,3), 过直线 3x﹣2y+3=0 与 x+y﹣4=0 的交点, 与直线 2x+y﹣1=0 平行的直线方程为:2x+y+c=0, 把点(1,3)代入,得:2+3+c=0, 解得 c=﹣5, ∴直线方程是:2x+y﹣5=0, 故选:A. 4. 【答案】A 【解析】∵ 2 ? ,得 x=1,y=3,

?
6

? ? ? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,∴ ? ? 2k? ?

?
6

,k ?Z ,

∴ y ? cos(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? 2k? ? 当x?

?

?
6

时, y ? cos(2 ?

?

? ) ? 0 ,故选 A. 6 6

?

) ? cos(2 x ? ) , 6 6

?

5. 【答案】A

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【解析】解析:本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系.在直角坐标系中,圆 C 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ,直线 l 的普通方程为 y ? 3 ? tan? (x ? 1),直线 l 过定点 M (1, 3) ,∵

| MC |? 2 ,∴点 M 在圆 C 的内部.当 | AB | 最小时,直线 l ? 直线 MC , kMC ? ?1 ,∴直线 l 的斜率为1 ,∴ ? ? ? ,选 A. 4
6. 【答案】C. 【解析】易得 BP / / 平面 CC1D1D ,所有满足 ?PBD1 ? ?PBX 的所有点 X 在以 BP 为轴线,以 BD1 所在直 线为母线的圆锥面上, ∴点 Q 的轨迹为该圆锥面与平面 CC1D1D 的交线, 而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆 锥面得到的图形是双曲线,∴点 Q 的轨迹是双曲线,故选 C. 7. 【答案】A 【解析】解:∵复数 z 满足(1+i)z=2i,∴z= 故选 A. 8. 【答案】D 【解析】解:∵f(x+2)=﹣f(x), ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x), 即 f(x+4)=f(x), 即函数的周期是 4. ∴a2017=f(2017)=f(504×4+1)=f(1), ∵f(x)为偶函数,当﹣2≤x≤0 时,f(x)=2x, ∴f(1)=f(﹣1)= , ∴a2017=f(1)= , 故选:D. 【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键. 9. 【答案】B 【解析】解:根据题意球的半径 R 满足
2 2 (2R) =6a , 2 2 所以 S 球=4πR =6πa .

=

=1+i,它在复平面内对应点的坐标为(1,1),

故选 B 10.【答案】A 【解析】解:由约束条件 作出可行域如图,

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联立

,得 A(6,2),

化目标函数 z=x﹣y 为 y=x﹣z, 由图可知,当直线 y=x﹣z 过点 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为 4. 故选:A. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 11.【答案】B 【解析】解:∵b⊥m,∴当 α⊥β,则由面面垂直的性质可得 a⊥b 成立, 若 a⊥b,则 α⊥β 不一定成立, 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件, 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用线面垂直的性质是解决本题的关键. 12.【答案】A 【 解 析 】

二、填空题
13.【答案】 【解析】解:由题意可得三棱锥 B1﹣AA1D1 的体积是 三角形 AB1D1 的面积为 4 则 h= 故点 A1 到平面 AB1D1 的距离为 故答案为: . ,16] . . ,设点 A1 到平面 AB1D1 的距离等于 h,则 , ,

=

14.【答案】 [4

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【解析】解:直线 l: 化为普通方程是 即 y=tanα?x+1; 圆 C 的参数方程 = ,

(t 为参数),

(θ 为参数),

2 2 化为普通方程是(x﹣2) +(y﹣1) =64;

画出图形,如图所示



∵直线过定点(0,1), ∴直线被圆截得的弦长的最大值是 2r=16, 最小值是 2 故答案为:[4 =2× ,16]. ,16]. =2× =4 ∴弦长的取值范围是[4

【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题,解题时先把参数方程化为普通方程,再画出图形,数形 结合,容易解答本题. 15.【答案】 ②④ 【解析】解:①若集合 A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素,则 k=1 或 k=0,故错误; ②在同一平面直角坐标系中,y=2x 与 y=2﹣x 的图象关于 y 轴对称,故正确; ③y=( )﹣ 是减函数,故错误;
x

④定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f(x)?f(﹣x)≤0,故正确. 故答案为:②④ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了集合,指数函数的,奇函数的图象和性质,难度中档. 16.【答案】 y=﹣1.7t+68.7 【解析】解: = , = =63.6.

=(﹣2)×4.4+(﹣1)×1.4+0+1×(﹣1.6)+2×(﹣2.6)=﹣17.

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=4+1+0+1+2=10. ∴ =﹣ =﹣1.7. =63.6+1.7×3=68.7.

∴y 关于 t 的线性回归方程为 y=﹣1.7t+68.7. 故答案为 y=﹣1.7t+68.7. 【点评】本题考查了线性回归方程的解法,属于基础题. 17.【答案】 [ ] .

1 3 2 2 2 【解析】解:由题设知 C4 p(1﹣p) ≤C4 p (1﹣p) ,

解得 p ∵0≤p≤1, ∴



, ]. .

故答案为:[ 18.【答案】

【解析】解:∵tanβ= ,α,β 均为锐角,

∴tan(α﹣β)=

=

= ,解得:tanα=1,

∴α=

. .

故答案为:

【点评】本题考查了两角差的正切公式,掌握公式是关键,属于基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a2=0,a6+a8=10. ∴ ,解得 ,

∴an﹣1+(n﹣1)=n﹣2. (2) ∴数列{ = . }的前 n 项和 Sn=﹣1+0+ + +…+ ,

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=

+0+

+…+

+





=﹣1+

+ …+



=﹣2+



=



∴Sn= 20.【答案】



【解析】(1)连接 FH ,由题意,知 CD ? BC , CD ? CF ,∴ CD ? 平面 BCFG . 又∵ GH ? 平面 BCFG ,∴ CD ? GH .

CD ,∴ EF ? GH ……………………………2 分 1 3 1 5 2 2 2 2 a , 由题意,得 BH ? a , CH ? a , BG ? a ,∴ GH ? BG ? BH ? 4 4 2 16 5 25 2 FG 2 ? (CF ? BG ) 2 ? BC 2 ? a 2 , FH 2 ? CF 2 ? CH 2 ? a , 4 16 2 2 2 则 FH ? FG ? GH ,∴ GH ? FG .……………………………4 分
又∵ EF 又∵ EF

FG ? F , GH ? 平面 EFG .……………………………5 分

∵ GH ? 平面 AGH ,∴平面 AGH ? 平面 EFG .……………………………6 分

21.【答案】(1) B ? A ;(2) C ? ?0,3,5? . 【解析】

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考 点:1、集合的表示;2、子集的性质. 22.【答案】 【解析】解;(1)由题意可设椭圆的标准方程为 ∵右顶点为 D(2,0),左焦点为 ∴a=2, , . , . ,c 为半焦距.

∴该椭圆的标准方程为

(2)设点 P(x0,y0),线段 PA 的中点 M(x,y).

由中点坐标公式可得

,解得

.(*)

∵点 P 是椭圆上的动点,∴



把(*)代入上式可得

,可化为



即线段 PA 的中点 M 的轨迹方程为一焦点在 x 轴上的椭圆 (3)①当直线 BC 的斜率不存在时,可得 B(0,﹣1),C(0,1). ∴|BC|=2,点 A 到 y 轴的距离为 1,∴ =1;



②当直线 BC 的斜率存在时,设直线 BC 的方程为 y=kx,B(x1,y1),C(﹣x1,﹣y1)(x1<0).

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联立 ∴ ∴|BC|=

2 2 ,化为(1+4k )x =4.解得



. =2 = .

又点 A 到直线 BC 的距离 d=





=

=





=

=



令 f(k)=

,则 .列表如下:



令 f′(k)=0,解得

又由表格可知:当 k=

时,函数 f(x)取得极小值,即 →1. ,即

取得最大值 2,即



而当 x→+∞时,f(x)→0, 综上可得:当 k=

时,△ABC 的面积取得最大值



【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相 交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面 积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值. 23.【答案】 k ? ?3 或 k ? 2 . 【解析】 试题分析:根据两点的斜率公式,求得 k PA ? 2 , kPB ? ?3 ,结合图形,即可求解直线的斜率的取值范围.

?1 ? 1 ?1 ? 2 ? 2 , k PB ? ? ?3 1? 2 1? 0 所以,由图可知,过点 P ?1, ?1? 的直线与线段 AB 有公共点,
试题解析:由已知, k PA ?

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所以直线的斜率的取值范围是: k ? ?3 或 k ? 2 .

考点:直线的斜率公式. 24.【答案】 【解析】解:(1)过 A、B 两点且面积最小的圆就是以线段 AB 为直径的圆, ∴圆心坐标为(0,2),半径 r= |AB|=
2 2 ∴所求圆的方程为 x +(y﹣2) =2;

= ×

=



(2)由圆与 y 轴交于点 A(0,﹣4),B(0,﹣2)可知,圆心在直线 y=﹣3 上, 由 ,解得 , ,
2

∴圆心坐标为(2,﹣3),半径 r=
2

∴所求圆的方程为(x﹣2) +(y+3) =5.

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