2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—2.函数及其性质

2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
一、选择题

2.函数及其性质

?2? x ,x≤0 【2018.12】.设函数 f ? x ? ? ? ,则满足 f ? x ? 1? ? f ? 2 x ? 的 x 的取值范围是 ?1 ,x ? 0
A. ? ?? ,? 1? 【2017,8】函数 y ?

? ?? B. ? 0 ,

C. ? ?1,0 ? )

0? D. ? ?? ,

sin2 x 的部分图像大致为( 1 ? cosx

【2017,9】已知函数 f ? x ? ? ln x ? ln ? 2 ? x ? ,则( A. f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 单调递增 C. y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1 对称 【2016,8】若 a ? b ? 0 , 0 ? c ? 1 ,则( A. loga c ? logb c
2 x

) B. f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 单调递减 D. y ? f ? x ? 的图像关于点 ?1,0 ? 对称

) C. a ? b
c c

B. logc a ? logc b

D. c ? c
a

b

【2016,9】函数 y ? 2 x ? e 在 ? ?2, 2? 的图像大致为(
y 1 -2 O 2x


y 1

y 1 -2 O 2x -2

y 1
2x

O

-2

O

2x

A.

B.

C. )

D.

?2 x ?1 ? 2, x ? 1 【2015,10】已知函数 f ( x) ? ? ,且 f(a)=-3,则 f(6-a)=( ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
A. ?

7 4

B. ?

5 4

C. ?

3 4

D. ?

1 4
)

【2015,12】设函数 y=f(x)的图像与 y=2x+a 的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a=( A.-1 B.1 C.2 D.4

【2014,5】5.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中正 确的是( ) B.

A. f ( x) g ( x) 是偶函数

f ( x) g( x) 是奇函数
1/7

C. f ( x) g( x) 是奇函数

D.

f ( x) g ( x) 是奇函数
)

【2013,9】函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π,π]的图像大致为(

【2013,12】已知函数 f(x)= ? A.(-∞,0]

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ?ln( x ? 1), x ? 0.

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( D.[-2,0] )

).

B.(-∞,1]

C.[-2,1]

1 【2012,11】11.当 0 ? x ? 时, 4x ? loga x ,则 a 的取值范围是( 2
A. (0,

2 ) 2

B. (

2 ,1) 2

C. (1, 2 )

D. ( 2 ,2)

【2011,3】下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ??? 单调递增的函数是( ) A. y ? x
3

B. y ?| x | ?1
x

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? 2

?| x|

【2011,10】在下列区间中,函数 f ? x ? ? e ? 4x ? 3 的零点所在的区间为( ) . A. ? ?

? 1 ? ,0? ? 4 ?

B. ? 0, ?

? ?

1? 4?

C. ?

?1 1? , ? ?4 2?

D. ?
2

?1 3? , ? ?2 4?

【2011,12】已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2 ,当 x ?[?1,1] 时函数 f ( x) ? x ,那么函数 y ? f ( x) 的图像 与函数 y ? lg x 的图像的交点共有( A. 10 个 二、填空题 ) . C. 8 个 D. 1 个

B. 9 个

2 【2018.13】.已知函数 f ? x ? ? log2 x ? a ,若 f ? 3? ? 1 ,则 a ? ________.

?

?

【2015,14】已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7),则 a=



? e x ?1 , x ? 1 ? 【2014,15】设函数 f ( x ) ? ? 1 ,则使得 f ( x )≤2 成立的 x 的取值范围是_____. 3 ? x , x ? 1 ?
【2012,16】16.设函数 f ( x) ?

( x ? 1)2 ? sin x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m ? _______. x2 ? 1

2/7

2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 2.函数及其性质(解析版)
一、选择题

?2? x ,x≤0 【2018.12】.设函数 f ? x ? ? ? ,则满足 f ? x ? 1? ? f ? 2 x ? 的 x 的取值范围是 ?1 ,x ? 0
A. ? ?? ,? 1? 【2017,8】函数 y ?

D

? ?? B. ? 0 ,

C. ? ?1,0 ? )

0? D. ? ?? ,

sin2 x 的部分图像大致为( 1 ? cosx

【解法】选 C 由题意知,函数 y ? 时, y ?

sin 2 x 为奇函数,故排除 B;当 x ? ? 时, y ? 0 ,排除 D;当 x ? 1 1 ? cos x

sin 2 ? 0 ,排除 A. . 1 ? cos 2
) B. f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 单调递减 D. y ? f ? x ? 的图像关于点 ?1,0 ? 对称

【2017,9】已知函数 f ? x ? ? ln x ? ln ? 2 ? x ? ,则( A. f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 单调递增 C. y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1 对称

【解析】 (法一)函数的定义域为 (0,2) , f ( x) ? ln x ? ln(2 ? x) ? ln x(2 ? x) , 设 t ( x) ? x(2 ? x) ? ? x2 ? 2x ? ?( x ? 1)2 ? 2 , f (t ) 为增函数,当 x ? (0,1) 时, t ( x) 为增函数,

? f ( x) 为增函数,当 x ? (1,2) 时, t ( x) 为减函数,? f ( x) 为减函数.排除 A,B,
因为 t ( x) 是二次函数,图像关于直线 x ? 1 对称,故 t ( x) ? t (2 ? x) , 所以 f ( x) ? f (2 ? x) , y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1 对称,故选 C; (法二) f ?( x) ?

1 1 2 ? 2x ? ? ,当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. x 2 ? x x(2 ? x)
3/7

当 x ? (1,2) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数,故排除 A,B. 故选 C; 【2016,8】若 a ? b ? 0 , 0 ? c ? 1 ,则( A. loga c ? logb c B. logc a ? logc b ) C. a ? b
c c

D. c ? c
a

b

8.B 解析 由 0 ? c ? 1 可知 y ? logc x 是减函数,又 a ? b ? 0 ,所以 logc a ? logc b .故选 B. 评注 作为选择题,本题也可以用特殊值代入验证,如取 a ? 4 , b ? 2 , c ?

1 ,可快速得到答案. 2

另外,对于 A, log a c ?

lg c lg c , log b c ? ,因为 0 ? c ? 1 ,所以 lg c ? 0 . lg a lg b

又 a ? b ? 0 ,所以 lg a ? lg b ,但正负性无法确定,所以 A 无法判断. 对于 C,D,可分别利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误. 【2016,9】函数 y ? 2 x ? e 在 ? ?2, 2? 的图像大致为(
2 x


y 1

y 1 -2 O 2x

y 1 -2 O 2x -2

y 1
2x

O

-2

O

2x

A. C.
x

B. D.
2

解析 :选 D. 设 f ? x ? ? 2 x 2 ? e ,由 f ? 2? ?8 ?e ? ? 0,1

,B(从趋势上超过 1 ) ; ? ,可排除 A(小于 0 )

x 又 x ? ? 0,2? 时, f ? ? x ? ? 4x ? e , f ? ?0? ? f ? ?1? ? ? ? 4 ? e? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上不是单调函数,

排除 C.故选 D. 【2015,10】已知函数 f ( x) ? ? A. ?

?2 x ?1 ? 2, x ? 1 ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
B. ?

,且 f(a)=-3,则 f(6-a)=( C. ?

) D. ?

7 4

5 4

3 4

1 4

解: ∵f(a)=-3, ∴当 a≤1 时, f(a)=2a-1-2=-3, 则 2a-1=-1, 无解. 当 a>1 时, f(a)=-log2(a+1) =-3, 则 a+1=8, 解得 a=7,∴f(6-a)=f(-1)= 2-2-2= ?

7 ,故选 A. 4

【2015,12】设函数 y=f(x)的图像与 y=2x+a 的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a=( )C A.-1 B.1 C.2 D.4 解:设 f(-2)=m,f(-4)=n,则 m+n=1,依题点(-2,m)与点(-4,n)关于直线 y=-x 对称点为(-m,2)与点(-n, 4)在函数 y=2x+a 的图像上,∴2=2-m+a,4=2-n+a,∴-m+a=1,-n+a=2,∴2a=3+m+n=4,∴a=2,故选 C 【2014,5】5.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中正 确的是( )
4/7

A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) g( x) 是奇函数

B. D.

f ( x) g( x) 是奇函数 f ( x) g ( x) 是奇函数

解:设 F(x)=f(x)|g(x)|,依题可得 F(-x)=-F(x),∴ F(x)为奇函数,故选 C 【2013,9】函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π,π]的图像大致为( )

解析:选 C. 由 f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数.可排除 B.当 x∈ ? 0, ? 时,f(x)>0,排除 A. 2

? ?

π? ?

当 x∈(0,π)时,f′(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1.令 f′(x)=0,得 x ?

2 π. 3

2 π ,可排除 D. 3 ?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 【2013,12】已知函数 f(x)= ? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x ? 0.
故极值点为 x ? A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] 解析:选 D.可画出|f(x)|的图象如图所示. D.[-2,0]

).

当 a>0 时,y=ax 与 y=|f(x)|恒有公共点,所以排除 B,C; 当 a≤0 时,若 x>0,则|f(x)|≥ax 恒成立. 若 x≤0,则以 y=ax 与 y=|-x2+2x|相切为界限,由 ? 0,∴a=-2.∴a∈[-2,0]. 【2012,11】11.当 0 ? x ?

? y ? ax, 得 x2-(a+2)x=0.∵Δ=(a+2)2= 2 ? y ? x ? 2 x,


1 时, 4x ? loga x ,则 a 的取值范围是( 2

A. (0,

2 ) 2

B. (

2 ,1) 2

C. (1, 2 )

D. ( 2 ,2)

【解析】显然要使不等式成立,必有 0 ? a ? 1 . 在同一坐标系中画出 y ? 4 与 y ? log a x 的图象.
x

5/7

若0 ? x ?

1 时, 4x ? loga x , 2

?0 ? a ? 1 ? 当且仅当 ? , 1 log a ? 2 ? ? 2

?0 ? a ? 1 ?0 ? a ? 1 2 ? ? ,即 ? 2 1 . 解得 ? a ? 1,故选择 B. ? 1 2 2 log a ? log a a a ? ? ? ? 2 ? 2

【2011,3】下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ??? 单调递增的函数是( ) A. y ? x
3

B. y ?| x | ?1

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? 2

?| x|

【解析】四个选项中的偶函数只有 B , C , D ,故排除,当 x ? (0, ??) 时,三个函数分别为 y ?
?x x 调递增, y ? ? x2 ? 1单调递减, y ? 2 ? ( ) 单调递减.故选 B.

x ? 1单

1 2

【2011,10】在下列区间中,函数 f ? x ? ? e ? 4x ? 3 的零点所在的区间为( ) .
x

A. ? ?

? 1 ? ,0? ? 4 ? ?1? ?? ?4?

B. ? 0, ?

? ?

1? 4?

C. ?

?1 1? , ? ?4 2?

D. ?

?1 3? , ? ?2 4?

【解析】因为 f ?

?1? ?1 1? f ? ? ? 0 ,由函数零点存在性定理,可知函数零点处于区间 ? , ? 内.故选择 C. ? 2? ?4 2?

【2011,12】已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2 ,当 x ?[?1,1] 时函数 f ( x) ? x2 ,那么函数 y ? f ( x) 的图像 与函数 y ? lg x 的图像的交点共有( ) .

A. 10 个 B. 9 个 C. 8 个 D. 1 个 【解析】 考查数形结合思想,在同一直角坐标系中作出两个函数的图像,如下图.容易判断出两函 数图像的交点个数为 10 个. 故选 A.

y

y ?1
?1
二、填空题
2 【2018.13】.已知函数 f ? x ? ? log2 x ? a ,若 f ? 3? ? 1 ,则 a ? ________.-7

o

1

10x

?

?

【2015,14】已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7),则 a= . 2 解:∵f '(x)=3ax +1,∴切线斜率为 f '(1)=3a+1,又切点为(1, a+2),且切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1, 解得 a=1.

? e x ?1 , x ? 1 ? 【2014,15】设函数 f ( x ) ? ? 1 ,则使得 f ( x )≤2 成立的 x 的取值范围是_____. 3 ? ? x ,x?1

6/7

解:(-∞,8],当x<1时,由e ≤2可得x≤1+ln 2,故x<1;当x≥1时,由 x ≤2可得x≤8,故1≤x≤8,综上可 得x≤8. 【2012,16】16.设函数 f ( x) ?

x-1

1 3

( x ? 1)2 ? sin x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m ? _______. x2 ? 1

【解析】2. 令 g ( x) ?

f ( x) ?

( x ? 1)2 ? sin x x 2 ? 1 ? 2 x ? sin x 2x sin x ? 1? 2 ? 2 ? . 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

2x sin x ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? 1 ,因为 g ( x) 为奇函数,所以 g ( x)max ? g ( x)min ? 0 . x ?1 x ?1
2

所以 M ? m ? [ g ( x)max ? 1] ? [ g ( x)min ? 1] ? g ( x)max ? g ( x)min ? 2 ? 2 .

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