2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—3.导数及其应用

2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
一、选择题

3.导数及其应用

3 2 0? 处的切线方程 【2018.6】设函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 1? x ? ax .若 f ? x ? 为奇函数,则曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,

为 A. y ? ? 2 x B. y ? ?x C. y ? 2 x D. y ? x )

【2016,12】若函数 f ( x) ? x ? sin 2 x ? a sin x 在 ? ??, ??? 上单调递增,则 a 的取值范围是( A. ??1,1? B. ? ?1, ? 3

1 3

? ?

1? ?

C. ? ? , ? 3 3

? 1 1? ? ?

D. ? ?1, ? ? 3

? ?

1? ?

【2014,12】已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 1,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. (2, ??) 二、填空题 【2017,14】曲线 y ? x2 ?
1 在 ?1, 2 ? 处的切线方程为 x

B. (1, ??)

C. (??, ?2)

D. (??, ?1)



【2012,13】13.曲线 y ? x(3ln x ? 1) 在点(1,1)处的切线方程为_________. 三、解答题
x 【2018.21】已知函数 f ? x ? ? ae ? ln x ? 1 .

(1)设 x ? 2 是 f ? x ? 的极值点.求 a ,并求 f ? x ? 的单调区间;
1 (2)证明:当 a ≥ 时, f ? x ? ≥ 0 . e

【2017,21】已知函数 f ? x ? ? e

x

?e

x

? a ? ? a2 x .

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

1 / 13

x 【2016,21】已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ? e ? a ? x ? 1? . 2

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)若 f ? x ? 有两个零点,求 a 的取值范围.

【2015,21】设函数 (1)讨论

f ? x ? ? e2 x ? a ln x .
2 a

f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 零点的个数;(2)求证:当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2a ? a ln .

【2014,21】设函数 f ( x) ? a ln x ?

为 0.(Ⅰ)求 b ;

(1 ? a) 2 x ? bx (a ? 1) ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f(1))处的切线斜率 2 a (Ⅱ)若存在 x0≥1,使得 f ( x0 ) ? ,求 a 的取值范围. a ?1

2 / 13

【2013,20】已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值;(2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.

【2012,21】21.设函数 f ( x) ? e x ? ax ? 2 . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 1 , k 为整数,且当 x ? 0 时, ( x ? k ) f '( x) ? x ?1 ? 0 ,求 k 的最大值.

【2011,21】已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x
ln x . x ?1

(1)求 a , b 的值; (2)证明:当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

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2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 3.导数及其应用(解析版)
一、选择题
3 2 0? 处的切线方程 【2018.6】设函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 1? x ? ax .若 f ? x ? 为奇函数,则曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,



D B. y ? ?x C. y ? 2 x D. y ? x )

A. y ? ? 2 x

【2016,12】若函数 f ( x) ? x ? sin 2 x ? a sin x 在 ? ??, ??? 上单调递增,则 a 的取值范围是( A. ??1,1? B. ? ?1, ? 3

1 3

? ?

1? ?

C. ? ? , ? 3 3

? 1 1? ? ?

D. ? ?1, ? ? 3

? ?

1? ?

解析:选 C .问题转化为 f ? ? x ? ? 1 ?

2 cos 2 x ? a cos x… 0 对 x ? R 恒成立, 3

故1 ?

2 4 5 2 cos2 x ? 1? ? a cos x… 0 ,即 a cos x ? cos 2 x ? … 0 恒成立. ? 3 3 3 4 2 5 t ? at ? … 0 对 t ???1,1? 恒成立. 3 3 4 2 5 t ? at ? ,开口向下的二次函数 g ? t ? 的最小值的可能值为端点值, 3 3

令 cos x ? t ,得 ?

解法一:构造 g ? t ? ? ?

1 ? g ? ?1? ? ? a …0 ? 1 1 ? 3 a 故只需保证 ? ,解得 ? 剟 .故选 C. 3 3 ? g ?1? ? 1 ? a …0 ? 3 ?

a… ? 4t ? ? 恒成立, 解法二: ①当 t ? 0 时, 不等式恒成立; ②当 0 ? t? 1 时, 由y?
上单调递增,所以 ? 4t ? ? ?

1? 3?

5? t?

1? 5? ? 4t ? ? 在 0 ? t? 1 3? t?

1? 3?

1 5? 1 1 1 5? 4t ? ? 恒成立.由 ? 4 ? 5? ? ? ,故 a…? ;③当 ?1? t ? 0 时,a? ? ? 3 t? 3 3 3? t?

y?

1 1? 5? 1? 5? 1 1 ? 4t ? ? 在 ?1? t ? 0 上单调递增, ? 4t ? ? … ? ?4 ? 5? ? ,所以 a? 3 . 3? t? 3 3 3? t? 1 3 1 .故选 C. 3
3 2

a 综上可得, ? 剟

【2014,12】已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是
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) A. (2, ??) B. (1, ??) C. (??, ?2) D. (??, ?1)

2 , a 2 2 当 a>0 时, 在(-∞, 0)与( ,+∞)上, f '(x)>0, f(x)是增函数. 在(0, ) 上, f '(x)<0, f(x)是减函数. 且 f(0)=1>0, a a
解:依题 a≠0,f '(x)=3ax2-6x,令 f '(x)=0,解得 x=0 或 x= f(x)有小于零的零点,不符合题意.

2 2 )与(0,+∞)上,f '(x)<0,f(x)是减函数.在( ,0)上,f '(x)>0,f(x)是增函数.要使 f(x) a a 2 有唯一的零点 x0,且 x0>0,只要 f ( ) ? 0 ,即 a2>4,所以 a<-2.故选 C a 1 1 1 另解:依题 a≠0,f(x)存在唯一的正零点,等价于 a ? 3 ? 3 有唯一的正零根,令 t ? ,则问题又 x x x
当 a<0 时,在(-∞, 等价于 a=-t3+3t 有唯一的正零根,即 y=a 与 y=-t3+3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧,记 g(t)=-t3+3t,g '(t)=-3t2+3,由 g '(t)=0,解得 t=± 1,在(-∞,-1)与(1,+∞)上,g '(t)<0,g(t)是减函数.在(-1,1)上,g '(t)>0,g(t) 3 是增函数.要使 a=-t +3t 有唯一的正零根,只要 a<g(-1)=-2,故选 C 二、填空题 【2017,14】曲线 y ? x2 ?
1 在 ?1, 2 ? 处的切线方程为 x



【解】 y ? x ? 1 .求导得 y? ? 2x ?

1 ,故切线的斜率 k ? y? |x ?1 ? 1 ,所以切线方程为 y ? 2 ? x ? 1 ,即 x2

y ? x ? 1.
【2012,13】13.曲线 y ? x(3ln x ? 1) 在点(1,1)处的切线方程为_________. 【解析】 4 x ? y ? 3 ? 0 .由已知 y ' ? 3ln x ? 4 ,根据导数的几何意义知切线斜率 k ? y ' |x?1 ? 4 , 因此切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 3 ? 0 . 三、解答题
x 【2018.21】已知函数 f ? x ? ? ae ? ln x ? 1 .

(1)设 x ? 2 是 f ? x ? 的极值点.求 a ,并求 f ? x ? 的单调区间;
1 (2)证明:当 a ≥ 时, f ? x ? ≥ 0 . e
? ?) ,f ′(x)=aex– 21.解:(1)f(x)的定义域为 (0,

1 . x

由题设知,f ′(2)=0,所以 a= 从而 f(x)=

1 . 2e 2

1 x 1 1 e ? ln x ? 1 ,f ′(x)= 2 ex ? . 2e2 2e x

当 0<x<2 时,f ′(x)<0;当 x>2 时,f ′(x)>0. 所以 f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.
5 / 13

1 ex (2)当 a≥ 时,f(x)≥ ? ln x ? 1 . e e
设 g(x)=

ex ex 1 ? ln x ? 1 ,则 g?( x) ? ? . e e x

当 0<x<1 时,g′(x)<0;当 x>1 时,g′(x)>0.所以 x=1 是 g(x)的最小值点. 故当 x>0 时,g(x)≥g(1)=0.

1 因此,当 a ? 时, f ( x) ? 0 . e
【2017,21】已知函数 f ? x ? ? e
x

?e

x

? a ? ? a2 x .

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 【解析】 (1) f ? ? x ? ? 2 e x

? ?

2

? ae x ? a 2 ? ? 2e x ? a ?? e x ? a ?

①当 a ? 0 时, 2e x ? a ? 0 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,即 e x ? a ? 0 ,解得 x ? ln a , 令 f ? ? x ? ? 0 ,即 e x ? a ? 0 ,解得 x ? ln a , 所以当 a ? 0 , f ? x ? 在 ? ln a, ??? 上递增,在 ? ??,ln a ? 上递减. ②当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 2 e x

? ?

2

? 0 , f ? x ? 在 R 上递增.

x ③当 a ? 0 时, e x ? a ? 0 ,令 f ? ? x ? ? 0 ? 2e x ? a ? 0 ? e ? ?

a ? a? ? x ? ln ? ? ? , 2 ? 2?

x 令 f ? ? x ? ? 0 ? 2e x ? a ? 0 ? e ? ?

a ? a? ? x ? ln ? ? ? , 2 ? 2?

所以当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ln ? ?

? ?

? ? ? a? ? a ?? ? , ?? ? 上递增,在 ? ??,ln ? ? ? ? 上递减. ? 2? ? 2 ?? ? ?

综上所述:当 a ? 0 , f ? x ? 在 ? ??,ln a ? 上递减,在 ? ln a, ??? 上递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 R 上递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??,ln ? ?

? ?

? ? a? ? ? a ?? ? ? 上递减,在 ? ln ? ? ? , ?? ? 上递增. ? 2 ?? ? ? 2? ?

ln a e ln a ? a ? a 2 ln a ? ?a 2 ln a ? 0 , (2)由(1)得当 a > 0 时, f ? x ?min ? f ? ln a ? ? e

?

?

? ln a ? 0 ,得 0 ? a ? 1 .当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? e x ? ? 0 满足条件.
2

当 a ? 0 时, f ? x ?min

? a? ? a? ? ? ? ln ? ? ? ? 2 ? a? ? ? a ? ? ln? ? 2? ? f ? ln ? ? ? ? ? e ? e ? 2 ? ? a ? ? a ln ? ? ? ? ? ? 2? ? ? 2 ?? ? ?

6 / 13

?

3 2 ? a? a ? a 2 ln ? ? ? ? 0 , 4 ? 2?

3 3 3 ? a? 3 a ? ln ? ? ? ? ? ? ? e 4 ? a ? ?2e 4 ,又因为 a ? 0 ,所以 ?2e 4 ? a ? 0 . 2 ? 2? 4

3 ? ? 综上所述, a 的取值范围是 ? ?2e 4 ,1? . ? ?
x 【2016,21】已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ? e ? a ? x ? 1? . 2

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)若 f ? x ? 有两个零点,求 a 的取值范围.
x x 解析: (1)由题意 f ? ? x ? ? ? x ? 1? e ? 2a ? x ? 1? = ? x ? 1? e ? 2a .

?

?

0 ,即 a… 0 时, e ? 2a ? 0 恒成立.令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ? 1 , ①当 2a…
x

所以 f ? x ? 的单调增区间为 ?1, ?? ? .同理可得 f ? x ? 的单调减区间为 ? ??,1? . ②当 2a ? 0 ,即 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ? 1 或 ln ? ?2a ? . (ⅰ)当 ln ? ?2a ? ? 1 ,即 a ? ?

e 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? ln ? ?2a ? , 2

所以 f ? x ? 的单调增区间为 ? ??,1? 和 ln ? ?2a ? , ?? .同理 f ? x ? 的单调减区间为 1, ln ? ?2a ? ; (ⅱ)当 ln ? ?2a ? ? 1 ,即 a ? ?

?

?

?

?

e 时, 2

当 x? 1 时, x ? 1? 0 , e x ? 2a? e1 ? e ? 0 ,所以 f ? ? x ? … 0 .同理 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 故 f ? x ? 的单调增区间为 ? ??, ??? ; (ⅲ)当 ln ? ?2a ? ? 1 ,即 ?

e ? a ? 0 时.令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ? ln ? ?2a ? 或 x ? 1 , 2

所以 f ? x ? 的单调增区间为 ??, ln ? ?2a ? 和 ?1, ?? ? ,同理 f ? x ? 的单调减区间为 ln ? ?2 a ? ,1 . 综上所述,当 a ? ?

?

?

?

?

e 时, f ? x ? 的单调增区间为 ? ??,1? 和 ? ln ? ?2a ? , ?? ? ,单调减区间为 ?1, ln ? ?2a ? ? ; 2

当a ? ?

e 时, f ? x ? 的单调增区间为 ? ??, ??? ; 2

当?

e ? a ? 0 时, f ? x ? 的单调增区间为 ? ??, ln ? ?2a ? ? 和 ?1, ??? ,单调减区间为 ? ln ? ?2a ? ,1? ; 2
7 / 13

0 时, f ? x ? 的单调增区间为 ?1, ?? ? ,单调减区间为 ? ??,1? . 当 a…
(2)解法一(直接讨论法) :易见 f ?1? ? ?e ? 0 ,如(1)中讨论,下面先研究(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)三种情 况. ①当 a ? ?

e 时,由 f ? x ? 单调性可知, f ? ln ? ?2a ? ? ? f ?1? ? 0 ,故不满足题意; 2 e 时, f ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递增,显然不满足题意; 2

②当 a ? ?

③当 ?

e ? a ? 0 时,由 f ? x ? 的单调性,可知 f ?1? ? f ? ln ? ?2a ?? , 2

且 f ln ? ?2a ? ? ln ? ?2a ? ? 2

?

? ?

? ? ?2a ? ? a ?ln ? ?2a ? ? 1?

2

? a? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ? a ? 0 ,故不满足题意;
2

0, 下面研究 a…
x 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? x ? 2? e ,令 f ? x ? ? 0 ,则 x ? 2 ,因此 f ? x ? 只有 1 个零点,故舍去;

当 a ? 0 时, f ?1? ? ?e ? 0 , f ? 2? ? a ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上有 1 个零点; (i)当 0 ? a? 1 时,由 ln

a ? 0 ,而 2

? a 3 a? ? a? ? a ?a ? a ? f ? ln ? ? ? ln ? 2 ? ? a ? ln ? 1? ? a ? ln 2 ? ln ? ? 0 , 2 2 2? ? ? 2? ? 2 ?2 ? 2 ?

2

所以 f ? x ? 在 ? ??,1? 上有 1 个零点; (i i)当 a ? 1 时,由 ?2 ? 0 ,而 f ? ?2 ? ? ? ?4 ? e 所以 f ? x ? 在 ? ??,1? 上有 1 个零点; 可见当 a ? 0 时 f ? x ? 有两个零点.所以所求 a 的取值范围为 ?0, ??? . 解法二(分离参数法) :显然 x ? 1 不是 f ? x ? 的零点, 当 x ? 1 时,由 f ? x ? ? 0 ,得 a ?
?2

? 9a ? 9a ?

4 ?0, e2

2? x

? x ? 1?

2

e x ? x ? 1? .

设 g ? x? ?

2? x

? x ? 1?

2

e x ? x ? 1? ,则问题转化为直线 y ? a 与 g ? x ? 图像有两个交点,

2 ?e x ? x ? 1? ?? x ? 2 ? ? 1? ? ?, 对 g ? x ? 求导得 g ? ? x ? ? 4 ? x ? 1?

所以 g ? x ? 在 ? ??,1? 单调递增,在 ?1, ?? ? 单调递减.

8 / 13

①当 a? 0 时,若 x ? ? ??,1? , g ? x ? ? 0 ,直线 y ? a 与 g ? x ? 图像没有交点, 若 x ? ?1, ?? ? , g ? x ? 单调递减,直线 y ? a 与 g ? x ? 图像不可能有两个交点, 故 a? 0 不满足条件; ②若 a ? 0 时,取 x1 ? min ?1 ?

? ? ? ?

1 3? 1 ? , ? ,则 g ? x1 ? ? … a, 2 a 2? ? x1 ? 1? ?

而 g ? 2? ? 0 ? a ,结合 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递减, 可知在区间 ? x1 , 2? 上直线 y ? a 与 g ? x ? 图像有一个交点, 取 x2 ? min ?1 ?

? ? ? ?

2 2 ? ? , 0 ? , x3 ? ? , a ? a ?
2

则 g ? x2 ? 厖

2

? x2 ? 1?

a , g ? x3 ? ?

2 ? x3 2 ? 2 ? a, 2 x3 x3

结合 g ? x ? 在 ? ??,1? 单调递增,可知在区间 ? x3 x2 ? 上直线 y ? a 与 g ? x ? 图像有一个交点, 综上所述, a ? 0 时直线 y ? a 与 g ? x ? 图像有两个交点,函数 f ? x ? 有两个零点.

【2015,21】设函数 (1)讨论

f ? x ? ? e2 x ? a ln x .
2 a

f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 零点的个数;(2)求证:当 a ? 0 时, f ? x ? …2a ? a ln .
a , x>0 x
…2 分

解:(Ⅰ) f '(x)=2e2x ?

(1)若 a≤0 时,f '(x)>0 在(0,+∞)恒成立,所以 f '(x)没有零点; …3 分 (2)若 a>0 时,f '(x)单调递增.当 x ?0, f '(x) ?-∞;当 x ?+ ∞,f '(x) ?+∞, 所以 f '(x) 存在一个零点. …6 分 (Ⅱ) 设 f '(x)的唯一零点为 k,由(Ⅰ)知(0, k)上,f '(x)<0,f(x)单调递减; 在(k,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增.所以 f(x)取最小值 f(k). …8 分 所以 f(x)≥f(k)= e2k-alnk,又 f '(k)= 2e2k ?

2 a a =0,所以 e2k= , 2k ? ln ? ln k , a k 2k

所以 f(k)=

a 2 a a a ? a(ln ? 2k ) ? ? 2ka ? a ln ? 2a ? a ln , 2k a 2k 2 2 2 . a
…12 分

所以 f(x)≥ 2 a ? a ln

2x 21. 解析 (1) f ? x ? ? e2 x ? a ln x ? x ? 0? , f ? ? x ? ? 2e ?

a . x

9 / 13

显然当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 恒成立, f ? ? x ? 无零点.

a a 2x ,则 g ? ? x ? ? 4e ? 2 ? 0 ,即 f ? ? x ? 单调递增. x x a a 2x 2x 令 g ? x ? ? f ? ? x ? ? 2e ? ? 0 ,即 2e ? . x x y a 画出 y ? 2e2 x 与 y ? 的图像,如图所示. x
2x 当 a ? 0 时,取 g ? x ? ? f ? ? x ? ? 2e ?

由图可知, f ? ? x ? 必有零点,所以导函数 f ? ? x ? 存在唯一零点.

y=2e2x

(2)由(1)可知 f ? ? x ? 有唯一零点,设零点为 x0 , 由图可知,当 x ? ? 0, x0 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,即 f ? x ? 单调递减; 当 x ? ? x0 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ,即 f ? x ? 单调递增. 所以 f ? x ? 在 x ? x0 处取得极小值,即 f ? x ?min ? f ? x0 ? ? e2 x0 ? a ln x0 . 又 f ? ? x0 ? ? 2e
2 x0

y= O

a x x

?

a a ? 0 ,解得 e2 x0 ? .① x0 2 x0
a ? 2 x0 . 2

①两边分别取自然对数,得 2 x0 ? ln a ? ln 2 x0 ,即 ln x0 ? ln 所以 f ? x0 ? ?

a a ? a ? a ? a ? ln ? 2 x0 ? ? ? 2ax0 ? a ln … 2 x0 2 ? 2 ? 2 x0

2a ? a ln

a a 2 1 ? 2ax0 ,即 x0 ? 时取等号) ? 2a ? a ln (当且仅当 . 2 a 2 2 x0
(1 ? a) 2 x ? bx (a ? 1) ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f(1))处的切线斜率 2

【2014,21】设函数 f ( x) ? a ln x ?

为 0. (Ⅰ)求 b ; 解:(Ⅰ) f ?( x) ? (Ⅱ)若存在 x0≥1,使得 f ( x0 ) ?
a ,求 a 的取值范围. a ?1

a ? (1 ? a) x ? b (x>0),依题 f '(1)=0,解得 b=1, …3 分 x (1 ? a) x 2 ? x ? a ( x ? 1)[(1 ? a) x ? a] (1 ? a) 2 x ? x , f ?( x) ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? a ln x ? , 2 x x a 因为a≠1,所以f '(x )=0有两根:x=1或 x ? 。 …4分 1? a 1 a ? 1 ,在(1,+∞)上,f '(x)>0,f (x)单调递增. (1)若 a ? ,则 2 1? a a a 1? a a ?1 ? 所以存在x0≥1,使得 f ( x0 ) ? ,的充要条件为 f (1) ? ,即 , a ?1 1? a 2 1? a
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解得 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 。 …6分 1 a a ? 1 ,在 (1, (2)若 ? a ? 1 ,则 )上,f '(x) <0 , f (x)单调递减, 2 1? a 1? a a , ?? )时,f '(x)>0,f (x)单调递增. 在( 1? a a a a )? 所以存在x0≥1,使得 f ( x0 ) ? ,的充要条件为 f ( , a ?1 1? a 1? a a a a2 a a 而 f( ,所以不合题意. …9分 ) ? a ln ? ? ? 1? a 1 ? a 2 ?1 ? a ? 1 ? a 1 ? a 1? a ?1 ? a a ?1 ? ? (3) 若 a>1,则 f (1) ? 。存在 x0≥1,符合条件。…11 分 2 2 a ?1 综上,a 的取值范围为: (? 2 ?1, 2 ?1) ? (1, ??) 。 …12 分
【2013,20】已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值;(2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4,由已知得 f(0)=4,f′(0)=4,故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4.
x (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)· ?e ?

? ?

1? ?. 2?

令 f′(x)=0 得,x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0;当 x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. - 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e 2). 【2012,21】21.设函数 f ( x) ? e x ? ax ? 2 . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 1 , k 为整数,且当 x ? 0 时, ( x ? k ) f '( x) ? x ?1 ? 0 ,求 k 的最大值. 【解析】 (1)函数 f ( x) 的定义域为(-∞,+∞) ,且 f '( x) ? e ? a .
x

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在(-∞,+∞)上是增函数;
x 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? e ? a ? 0 ,得 x ? ln a .

令 f '( x) ? e ? a ? 0 ,得 x ? ln a ,所以 f ( x) 在 (ln a, ??) 上是增函数,
x

令 f '( x) ? e ? a ? 0 ,得 x ? ln a ,所以 f ( x) 在 (??,ln a) 上是减函数,
x x x (2)若 a ? 1 ,则 f ( x) ? e ? x ? 2 , f '( x) ? e ?1 .

所以 ( x ? k ) f '( x) ? x ? 1 ? ( x ? k )(e ?1) ? x ? 1 ,
x

故当 x ? 0 时, ( x ? k ) f '( x) ? x ? 1 ? 0 等价于

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xe x ? 1 x(e x ? 1) ? x ? 1 x ?1 , k? x ? ? x? x x e ?1 e ?1 e ?1
即当 x ? 0 时, k ? 令 g ( x) ?

x ?1 ? x(x ? 0) . ex ?1



? xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) x ?1 ? x ,则 . g '( x ) ? ? 1 ? ex ?1 (e x ? 1)2 (e x ? 1)2

由(1)知,函数 h( x) ? e x ? x ? 2 在 (0, ??) 单调递增,而 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h(2) ? e2 ? 4 ? 0 , 所以 h( x) 在 (0, ??) 存在唯一的零点. 故 g '( x ) 在 (0, ??) 存在唯一的零点.设此零点为 ? ,则 ? ? (1, 2) . 当 x ? (0, ? ) 时, g '( x) ? 0 ;当 x ? (? , ??) 时, g '( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (0, ??) 的最小值为 g (? ) . 又由 g '(? ) ? 0 ,可得 e? ? ? ? 2 ,所以 g (? ) ?

? ?1
e? ? 1

? ? ? ? ? 1 ? (2,3) ,

由于①式等价于 k ? g (? ) ? ? ? 1? (2,3) ,故整数 k 的最大值为 2. 【2011,21】已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x
ln x . x ?1

(1)求 a , b 的值; (2)证明:当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

x 【解析】 (1) f ? ? x ? ? ?

a?

? x ?1

? ln x ?
2

? ? ? b ,由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? 1 , 2

? x ?1?

x

2

? f ?1? ? 1 ?b ? 1 ? ? 且过点 ?1,1? ,故 ? ,即 ?a 1 ,解得 a ? 1 , b ? 1 . 1 f 1 ? ? ? ? ? ? ? ?b ? ? 2 2 ?2 ?

(2)由(1) 知 f ? x ? ?

ln x 1 ? x2 ?1 ? ln x 1 ? ,所以 f ? x ? ? ? 2ln x ? ? ?. x ?1 x x ?1 1 ? x2 ? x ?

2 2 2 x ? 1? ? x2 ?1 2 2 x ? ? x ? 1? ? ?? 考虑函数 h ? x ? ? 2ln x ? . ? x ? 0? ,则 h ? x ? ? ? x2 x x x2

所以当 x ? 1 时, h ? x ? ? 0 .而 h ?1? ? 0 ,故当 x ? ? 0,1? 时, h ? x ? ? 0 ,可得 当 x ? ?1, ?? ? 时, h ? x ? ? 0 ,可得

?

1 h ? x? ? 0 ; 1 ? x2

1 h ? x? ? 0 . 1 ? x2

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从而当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ? x ? ?

ln x ln x ? 0 ,即 f ? x ? ? . x ?1 x ?1

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