2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—7.不等式、推理与证明

2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 7.不等式、推理与证明
一、选择题
? x ? 3 y ? 3, ? 【2017,7】设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z=x+y 的最大值为( ? y ? 0, ?



A.0

B.1

C.2

D.3 )

【2014,11】11.设 x,y 满足约束条件 ? A.-5 B.3

? x ? y ? a, 且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a= ( x ? y ? ? 1, ?
D.5 或-3

C.-5 或 3

【2012,5】5.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1) ,B(1,3) ,顶点 C 在第一象限,若点( x , y )在△ABC 内部,则 z ? ? x ? y 的取值范围是( ) A. ( 1 ? 3 ,2) 二、填空题
?x ? 2 y ? 2 ≤ 0 ? 【2018.14】若 x ,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1≥ 0 ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为________. ?y ≤0 ?

B. (0,2)

C. ( 3 ? 1 ,2)

D. (0, 1 ? 3 )

【2016, 16】 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、 乙两种新型材料. 生产一件产品 A 需要甲材料 1. 5kg, 乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时.生产一 件产品 A 的利润为 2100 元, 生产一件产品 B 的利润为 900 元. 该企业现有甲材料 150kg, 乙材料 90kg, 则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.

? x? y?2?0 ? 【2015,15】15.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
【2014,14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________. 【2013,14】设 x,y 满足约束条件 ?



?1 ? x ? 3, 则 z=2x-y 的最大值为______. ??1 ? x ? y ? 0, ?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9


【2011,14】若变量 x , y 满足约束条件 ?

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2011 年—2018 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
7.不等式、推理与证明(解析版) 一、选择题
? x ? 3 y ? 3, ? 【2017,7】设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z=x+y 的最大值为( ? y ? 0, ?



A.0

B .1

C .2

D.3

【考点】线性规划求目标函数最值问题 【答案】D 【解法】如图,目标函数 z ? x ? y 经过 A(3, 0) 时最大,故 zmax ? 3 ? 0 ? 3 ,故选 D.

【2014,11】11.设 x,y 满足约束条件 ? A.-5 B.3

? x ? y ? a, 且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a= ( ? x ? y ? ?1,
D.5 或-3

)B

C.-5 或 3

解: 联立x+y=a与x-y=-1解得交点M (

a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 ? a? ? 7, , ), z取得最值 解之得a=-5或a=3. 但 2 2 2 2

a=-5时,z取得最大值,舍去,所以a=3,故选B. 【2012,5】5.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1) ,B(1,3) ,顶点 C 在第一象限,若点( x , y )在 △ABC 内部,则 z ? ? x ? y 的取值范围是( ) A. ( 1 ? 3 ,2) C. ( 3 ? 1 ,2) B. (0,2) D. (0, 1 ? 3 )

【解析】正△ABC 内部如图所示, A(1,1) ,B(1,3) ,C( 1 ? 3 ,2) . 将目标函数 z ? ? x ? y 化为 y ? x ? z , 显然在 B(1,3)处, zmax ? ?1 ? 3 ? 2 ; 在 C( 1 ? 3 ,2)处, zmin ? ?(1 ? 3) ? 2 ? 1 ? 3 .
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因为区域不包括端点,所以 1 ? 3 ? z ? 2 ,故选择 A. 二、填空题

?x ? 2 y ? 2 ≤ 0 y 满足约束条件 ? 【2018.14】若 x , ? x ? y ? 1≥ 0 ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为________. 6 ?y ≤0 ?
【2016,16】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1. 5kg, 乙材料 1kg, 用 5 个工时; 生产一件产品 B 需要甲材料 0. 5kg, 乙材料 0. 3kg, 用 3 个工时. 生 产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 解析: 216000 . 设生产产品 A,B 的件数分别为 x, y ,获得利润为 z 元,

? x, y ? N ?1.5 x ? 0.5 y? 150 ? 则 x, y 满足约束条件为: ? , ? x ? 0.3 y? 90 ? ?5 x ? 3 y? 600
目标函数为 z ? 2100x ? 900 y ? 300 ?7 x ? 3 y ? ,画出满足不等式组的可行域, 如图所示.

y 300

200

(60,100)

y? 6 0 0 ?5 x ? 3 ? x ? 60 联立 ? ,得 ? , 即 A? 6 0 , 1? 0. 0 移动目标函数 3? 9 0 ?x ? 0 . y ? y ? 100

O

100

x

7 z y ?? x? , 3 900
可得到当其经过点 A? 60,100? 时, z 有最大值 216000 .故填 216000 .

? x? y?2?0 ? 【2015,15】15.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
为 .4 解:作出可行域四边形 ABC,如图. 画出直线 l0:3x+y =0,平移 l0 到 l, 当 l 经过点 A 时 z 最大,联立 x+y-2=0 与 x-2y+2=0 解得交点 A(1,1),所以 zmax=4.
-1

y
B



2

A 2



O x 【2014,14】14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市 C l0 ① 时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________. A 解:∵丙说:三人同去过同一个城市,甲说没去过 B 城市,乙说:我没去过 C 城市,∴三人同去过同 3/4

一个城市应为A,∴乙至少去过A,若乙再去城市 B,甲去过的城市至多两个,不可能比乙多,∴可判断 乙去过的城市为 A. 【2013,14】设 x,y 满足约束条件 ? 答案:3 解析:画出可行域如图所示.

?1 ? x ? 3, 则 z=2x-y 的最大值为______. ??1 ? x ? y ? 0,

画出直线 2x-y=0,并平移,当直线经过点 A(3,3)时,z 取最大值,且最大值为 z=2× 3-3=3.

【2011,14】若变量 x , y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9
9
y



【解析】在坐标系中画出可行域,如下图. 可知当直线过点 A 时取得最小值, 由?

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? A(4, ?5) , ?x ? y ? 9 ? 0

3
O

6

x ? y ?9 ? 0 9 x

可得 A 的坐标为 (4, ?5) ,故 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 . 故答案为 ?6 .

A 2x ? y ? 3 ? 0

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