山东省济宁市2015届高考数学专题复习 第11讲 函数与方程练习 新人教A版

第八节
[考情展望]

函数与方程

1.考查具体函数的零点个数和零点的取值范围 .2.利用函数零点求解参

数的取值范围.3.考查函数零点、 方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形 结合思想.

一、函数零点 1.定义:对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(x ∈D)的零点. 2.函数零点与方程根的关系:方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交 点?函数 y=f(x)有零点. 3. 零点存在性定理: 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f(a)·f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 x0∈(a,b),使 得 f(x0)=0.

对函数零点的认知 1 (1)并不是所有的函数都有零点,如函数 f(x)= .

x

(2)函数的零点不是点,是方程 f(x)=0 的根. 二、二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ =b -4ac 二次函数 y=ax +
2 2 2

Δ >0

Δ =0

Δ <0

bx+c (a>0)的图象
与 x 轴的交点 零点个数 (x 1,0),(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0

二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的零点分布情况 根的分布(m<n<p 为常数) 图象 满足的条件

2

x1<x2<m (两根都小于 m)

Δ >0, ? ? b ?-2a<m, ? ?f?m?>0 Δ >0, ? ? b ?-2a>m, ? ?f?m?>0

m<x1<x2 (两根都大于 m)

x1<m<x2 (一根大于 m,一
根小于 m)

f(m)<0

x1,x2∈(m,n) ( 两根位于 m,n 之间)

错误!

m<x1<n<x2<p (两根分
别位于 m 与 n, n 与 p 之间)

f?m?>0, ? ? ?f?n?<0, ? ?f?p?>0
Δ =0, ? ? ? b m<- <n, ? 2 a ?

只有一根在 m,n 之间



f(m)·f(n)<0

三、二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函 数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似 值的方法叫做二分法.

1.若函数 f(x)=x +mx+1 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
2

2

)

B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

【解析】 依题意,Δ =m -4>0,∴m>2 或 m<-2.

【答案】 C 2.在下列区间中,函数 f(x)=e +4x-3 的零点所在的区间为(
x

)

? 1 ? A.?- ,0? ? 4 ? ?1 1? C.? , ? ?4 2?

? 1? B.?0, ? ? 4? ?1 3? D.? , ? ?2 4?

?1? ?1? 4 x 【解析】 显然 f(x)=e +4x-3 的图象连续不间断,又 f? ?= e-1>0,f? ?= e 2 ? ? ?4?
-2<0.

?1 1? ∴由零点存在定理知,f(x)在? , ?内存在零点. ?4 2?
【答案】 C 1 ?1?x 3.函数 f(x)=x -? ? 的零点的个数为( 2 ?2? A.0 C.2 B.1 D.3 )

1 ?1?x 【解析】 在同一平面直角坐标系内作出 y1=x 与 y2=? ? 的图象如图所示,易知, 2 ?2? 1 ?1?x 两函数图象只有一个交点.因此函数 f(x)=x -? ? 只有 1 个零点. 2 ?2?

【答案】 B 4. 已知函数 f(x)=x +x+a 在区间(0,1)上有零点, 则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 函数 f(x)=x +x+a 在(0,1)上递增. 由已知条件 f(0)·f(1)<0,即 a(a+2)<0,解得-2<a<0. 【答案】 (-2,0)
2 2

5.(2013·重庆高考)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-

c)(x-a)的两个零点分别位于区间(
A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

)

【解析】 ∵f(x)=(x-a)(x -b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),

∴f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),

f(c)=(c-a)(c-b),
∵a<b<c,∴f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0, ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内. 【答案】 A 6.(2013·天津高考)函 数 f(x)=2 |log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
x

)

?1?x x 【解析】 令 f(x)=2 |log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=? ? . ?2? ?1?x 设 g(x)=|log0.5x|,h(x)=? ? ,在同一坐标系下分别画出函数 g(x),h(x)的图象, ?2?
可以发现两个函数图象一定有 2 个交点,因此函数 f(x)有 2 个零点. 【答案】 B

考向一 [031] 函数零点的求解与判断 (1)(2012·天津高考 ) 函数 f(x) = 2 + x - 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
x
3

?1?x-2 3 (2)(2014·广州模拟)设函数 y=x 与 y=? ? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的 ?2?
区间(端点值为连续整数的开区间)是________. 【思路点拨】 (1)先根据零点存在性定理证明有零点, 再根据函数的单调性判断零点 的个数. (2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间. 【尝试解答】 (1)因为 f′(x)=2 ln 2+3x >0,所以函数 f(x)=2 +x -2 在(0,1) 上递增,且 f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有 1 个零点.
x
2

x

3

?1?x-2 3 3 (2)设 f(x)=x -? ? ,则 x0 是函数 f(x)的零点.在同一坐标系下画出函数 y=x 与 ?2?
y=? ?x-2 的图象,如图所示. 2

?1? ? ?

?1?-1 ∵f(1)=1-? ? =-1<0, ?2?
f(2)=8-? ?0=7>0 2
∴f(1)f(2)<0, ∴x0∈(1,2). 【答案】 (1)B (2)(1,2) 规律方法 1 确定函数 f?x?零点所在区间的常用方法,?1?解方程法: 当对应方程

?1? ? ?

f?x?= 0 易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上;
?2?利用函数零点的存在性定理:首先看函数 y=f?x?在区间[a,b]上的图象是否 连续,再看是否有 f?a?·f?b?<0.若有,则函数 y=f?x?在区间?a,b?内必有零 点. ?3?数形结合法:通过画函 数图象,观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判 断. 对点训练 (1)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内( A.没有零点 C.有且仅有两个零点 )

B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

2 (2)(2014·厦门模拟)函数 f(x)=ln(x-2)- 的零点所在的大致区间是(

x

)

A.(1,2) C.(3,4)

B.(2,3) D.(4,5)

【解析】 (1)令 f(x)= x-cos x=0,则 x=cos x,设函数 y= x和 y=cos x, 在同一坐标系下做出它们在[0,+∞)的图象,显然两函数的图象的交点有且只有一个,所 以函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内有且仅有一个零点. (2)由题意知函数 f(x)的定义域为{x |x>2},∴排除 A. 2 1 ∵f(3)=- <0,f(4)=ln 2- >0, 3 2

f(5)=ln 3- >0,
∴f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)>0, ∴函数 f(x)的零点在(3,4)之间,故选 C. 【答案】 (1)B (2)C 考向二 [032] 函数零点的应用 e 已知函数 g(x)=x+ (x>0).若 g(x)=m 有实数根,求 m 的取值范围;
2

2 5

x

【思路点拨】 可用基本不等式求出最值或数形结合法求解. e 2 【尝试解答】 法一 ∵g(x)=x+ ≥2 e =2e,等号成立的条件是 x=e,故 g(x)
2

x

的值域是[2e,+∞),因此,只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有零点. 故当 g(x)=m 有实数根时,m 的取值范围为[2e,+∞). 法二 e 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图:
2

x

可知若使 g(x)=m 有零点,则只需 m≥2e. 故当 g(x)=m 有实数根时,m 的取值范围为[2e,+∞). 规律方法 2 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路,?1?直接法: 直接

根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确 定参数范围; ?2?分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; ?3?数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然 后数形结合求解. 2 x 对点训练 (1)(2014·山东省实验中学模拟)函数 f(x)=2 - -a 的一个零点在区间

x

(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( A.(1,3) C.(0,3)

) B.(1,2) D.(0,2)
x

? ?2 -a,x≤0 (2)(2014·抚顺模拟)已知函数 f(x)=? ?2x-1,x>0 ?

(a∈R), 若函数 f(x)在 R 上有

两个零点,则 a 的 取值范围是( A.(-∞,-1)

) B.(-∞,-1]

C.[-1,0)

D.(0,1]

【解析】 (1)由题意可知 f(1)·f(2)<0,即 a(a-3)<0,所以 0<a<3. 1 (2)∵当 x>0 时,f(x)=2x -1,由 f(x)=0 得 x= . 2 ∴要使 f(x)在 R 上有两个零点,则必须 2 -a=0 在(-∞,0]上有解. 又当 x∈(-∞,0]时,2 ∈(0,1]. 故所求 a 的取值范围是(0,1]. 【答案】 (1)C (2)D
x x

思想方法之七 解决方程根问题的一大“利器”——数形结合 利用函数处理方程解的问题,方法如下: (1)方程 f(x)=a 在区间 I 上有解?a∈{y|y=f(x),x∈I}, ?y=f(x)与 y=a 的图 象在区间 I 上有交点. (2)方程 f(x)=a 在区间 I 上有几个解?y=f(x)与 y=a 的图象在区间 I 上有几个交点. 一般地,在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时,常采用转化与化归的 思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题, 从而可利用数形结合的方法给予直观解答. ——— [1 个示范例] ———— [1 个对点练] ———

(2014·锦州模拟)偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1), 且在 x∈[0,1]时,

f(x)=x,则关于 x 的方程 f(x)=? ?x 在 x∈[0,4]上解的个数是( 10
A.1 C.3 B.2 D.4

?1? ? ?

)

【解析】 根据 f(x-1)=f(x+1)可得函数 f(x)的周期为 2, 根据函数 f(x)是偶函数 以及 f(x-1)=f(x+1)可得 f(1-x)=f(1+x),所以这个函数的图象关于直线 x=1 对 称. 根据函数 f(x)在[0,1]上的解析式可以画出函数 f(x)在[0,4]上的图象, 结合图象可得

? 1 ?x 函数 f(x)=? ? 在[0,4]上有 4 个解. ?10?

|2 -1|,x<2, ? ? (2014·济南模拟) 已知函数 f(x)=? 3 , x≥2, ? ?x-1 不同的实数根,则 实数 a 的取值范围为( A.(1,3) C.(0,2) ) B.(0,3) D.(0,1)

x

若方程 f(x)-a=0 有三个

【解析】 画出函数 f(x)的图象如图所示,

观察图象可知,若方程 f(x)-a=0 有三个不同的实数根,则函数 y=f(x)的图象与直 线 y=a 有 3 个不同的交点,此时需满足 0<a<1,故选 D. 【答案】 D


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