山东省山师附中2014届高三第一次模拟考试_数学_Word版含答案

山师附中 2011 级高三第一次模拟考试 数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 A ? {1,3, m} , B ? {1, m} ,若 A A.

B ? A ,则 m ? (



0或 3

B.
2

0或3


C.

1或 3

D.

1或3

2、已知 tan x ? 2 ,则 sin x ? 1 ? ( A. 0 B.

9 4 5 C. D. 5 3 3 3、已知函数 f ( x) ? log 1 x ? 1 ,则下列结论正确的是( )
2

A. f ( ? ) ? f (0) ? f (3) C. f (3) ? f ( ? ) ? f (0)

1 2

B. f (0) ? f ( ? ) ? f (3) D. f (3) ? f (0) ? f ( ? )

1 2

1 2

4、设 a, b ? R ,则“ a ? 0, b ? 0 ”是“

a?b ? ab ”的( 2

1 2



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5、若 f ( x) ? A.

ln x , e ? a ? b ,则( ) x
B. f (a) ? f (b)
a

f ( a ) ? f ( b)

C. f (a) ? f (b)
a a a

D. f (a) f (b) ? 1 )

6、等差数列 {an } 中 a5 ? a6 ? 4 ,则 log2 (2 1 ? 2 2 ? 2 3 ?…? 2 10 ) ? ( A. 10 B. 20 C. 40 D. 2+ log 2 5

?x ? y ? 0 ? 7、在不等式组 ? x ? y ? 0 确定的平面区域中,若 z ? x ? 2 y 的最大值为 3 ,则 a 的值为( ) ?y ? a ?
A.

1

B.

2

C.

3

D.

4


8、若 ? ? [

? ?

3 7 , ],sin 2? ? ,则 sin ? ? ( 4 2 8
B.

A.

3 5

4 5

C.

7 4

D.

3 4

9、小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a和b(a ? b) ,其全程的平均时速为 v ,则( ) A. a ? v ? ab B. v ? ab C.

ab ? v ?

a?b 2
-1-

D. v ?

a?b 2

2 10、已知关于 x 的方程 x ? 6 x ? a (a ? 0) 的解集为 P ,则 P 中所有元素的和可能是(



A. 3, 6, 9

B. 6,9,12

C. 9,12,15

D. 6,12,15 )

11、 已知点 M 是直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 上的动点, 点 N 为圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 上的动点, 则 MN 的最小值为 ( A.

9 5

B.

1

C.

4 5

D.

13 5

N 是圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点,点 F1 关于点 N 的对称点为 M ,线段 F1M 12、已知定点 F 1 (?2,0), F 2 (2,0) ,
的中垂线与直线 F2 M 相交于点 P ,则点 P 的轨迹是( A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 ) D. 圆

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
13、已知 f ( x) ? x2 ? px ? q 满足 f (1) ? f (2) ? 0 ,则 f (?1) ? 14、已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a3 ? a22 ? 4 ,则 an ?
2

。 。 。

15、设 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16 , AB ? AC ? AB ? AC ,则 AM ?

16、已知 P, Q 为抛物线 x2 ? 2 y 上的两点,点 P, Q 的横坐标分别为 4, ?2 ,过 P, Q 分别作抛物线的切线,两切线 交于点 A ,则点 A 的纵坐标为 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 x ? x ? 17、 (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( ? ) ? cos( ? ) ? sin( x ? ? ) 2 4 2 4
(1) 求 f ( x ) 的最小正周期。 (2) 若将 f ( x ) 的图像向右平移 值。

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图像,求函数 g ( x) 在区间 ? 0, ? ? 上的最大值和最小 6

-2-

18、 (本小题 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 4an ? 3(n ? N * ) 。 (1)证明:数列 {an } 为等比数列; (2)若数列 {bn } 满足 bn?1 ? an ? bn (n ? N * ) ,且 b1 ? 2 ,求数列 {bn } 的通项公式。

19、 (本小题 12 分)在 ?ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c 。 已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C. (1) 求证: a, b, c 成等比数列。 (2)

若a ? 1, c ? 2, 求?ABC的面积S .

-3-

20、 (本小题 12 分)已知递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an log 2 an , Sn ? b1 ? b2 ? …? bn ,求 Sn 。

21、 (本小题 13 分)定义在 R 上的函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? cx ? 2 同时满足以下条件: 3

① f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数; ② f '( x) 是偶函数;③ f ( x ) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直。 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 g ( x) ? [ x ? f ( x )] ? e ,求函数 g ( x) 在 [m, m ? 1] 上的最小值。
3 x

1 3

-4-

22、 (本小题 13 分)已知椭圆 G :

6 x2 y 2 ,右焦点为 (2 2,0) ,斜率为 1 的直线 l 与椭 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3

圆 G 交于 A, B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(?3, 2) 。 (1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ?PAB 的面积。

-5-

2011 级高三第一次模拟考试数学参考答案(2013.9)
一、选择题
题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 D 5 A 6 B 7 A 8 D 9 A 10 B 11 C 12 B

二、填空题 13、 6 ;14、 2n ? 1 ;15、 2 ;16、 ?4 ; 三、解答题 x ? x ? f ( x) ? 2 3 sin( ? ) ? cos( ? ) ? sin( x ? ? ) 17、解: (1) 2 4 2 4

? 3 cos x ? sin x ?????3 分
? 2sin( x ? ) ???5 分 3 2? ? 2? 。??????????6 分 于是 T ? 1
(2)由已知得 g ( x) ? f ( x ? ∵ x ??0, ? ? ,∴ ( x ?

?

?

) ? 2sin( x ? ) ????????8 分 6 6

?

?

? ? 7? ? )?? , ? 6 ?6 6 ?

∴ sin( x ?

?

? 1 ? ) ? ?? ,1? ,??????????10 分 6 ? 2 ?

∴ g ( x) ? 2sin( x ?

?
6

) ? ? ?1, 2? ??????????12 分

故函数 g ( x) 在区间 ? 0, ? ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 。 18、解: (1)由已知 Sn ? 4an ? 3(n ? N * ) 当 n ? 2 时,有 Sn?1 ? 4an?1 ? 3 ????????2 分 两式相减得 an ? 4an ? 4an?1 整理得 an ?

4 an ?1 ??????????4 分 3

当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 0 ????????5 分

4 等比数列。??????????6 分 3 4 n ?1 4 n ?1 (2)由(1)可知 an ? ( ) , S n ? 4 ? ( ) ? 3 ????????7 分 3 3
故数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 由 bn?1 ? an ? bn (n ? N * ) 可得

b2 ? a1 ? b1
-6-

b3 ? a2 ? b2
??

bn ? an?1 ? bn?1 ???????9 分
累加得 bn ? a1 ? a2 ? … ? an?1 ? b1 ? Sn?1 ? b1 ??????10 分 又 b1 ? 2 ,于是 bn ? 4 ? ( )

4 3

n?2

? 1 ????????12 分

19、解: (1)由 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C. 可得

sin B(

sin A sin C sin A sin C ? )? ? ??????????2 分 cos A cos C cos A cos C

去分母得 sin B(sin A cos C ? sin C cos A) ? sin A sin C ????????3 分 即 sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C 。??????????4 分 由 A ? B ? C ? ? 可知 sin( A ? C ) ? sin B 于是 sin B ? sin A sin C ??????????5 分
2

由正弦定理得 b ? ac ,故 a, b, c 成等比数列。????????????6 分
2

(2)由 a ? 1, c ? 2 可得 b ? 由余弦定理得 cos B ?

2。

a 2 ? c 2 ? b 2 12 ? 22 ? 2 3 ? ? ,?????????8 分 2ac 2 ? 1? 2 4

∵ 0 ? B ? ? ,∴ sin B ?

7 ??????????10 分 4

∴S ?

1 1 7 7 ac sin B ? ?1? 2 ? ? 。????????12 分 2 2 4 4

20、解: (1)设等比数列 {an } 首项为 a1 ,公比为 q 。 由已知得 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ??????1 分 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 可得 a3 ? 8 。????????3 分 于是 a2 ? a4 ? 20 。

1 ? 3 ? ? q ? 2 ?q ? ? a1q ? a1q ? 20 故? ,解得 ? 或? 2 。????????5 分 2 ? a1 ? 2 ?a ? 32 ? ? a3 ? a1q ? 8 ? 1

-7-

又数列 {an } 为递增数列,故 ?

?q ? 2 ,∴ an ? 2n ????6 分 a ? 2 ? 1

(2)∵ bn ? an log 2 an ? n ? 2n ??????????7 分 ∴ Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? …? n ? 2n

2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? …? n ? 2n+1 ??????????9 分
两式相减得 ?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? …? 2n ? n ? 2n?1 ??????????10 分

?

2 ? (1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 1? 2

∴ Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 ????????????12 分 21、解: (1) f '( x) ? ax2 ? 2bx ? c ????????1 分

? f '(1) ? 0 ?a ? 2b ? c ? 0 ? ? 由已知得 ?b ? 0 ,即 ?b ? 0 ,????????4 分 ?c ? ?1 ? f '(0) ? ?1 ? ? ?a ? 1 ? 解得 ?b ? 0 。????????5 分 ?c ? ?1 ?
故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ?

1 3 x ? x ? 2 ????????6 分 3
x

(2)∵ g ( x) ? [ x ? f ( x)] ? e ? ( x ? 2) ? e ,????????7 分
3 x

1 3

∴ g '( x) ? ( x ? 2) ? e ? e ? ( x ?1)e ????????????8 分
x x x

令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 。当 x ? 1 时, g '( x ) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减;当 x ? 1 时, g '( x ) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递 增。????????9 分 若 m ? 1 ,在 [m, m ? 1] 上函数 g ( x) 单调递增,此时 g ( x)min ? g (m) ? (m ? 2)em ;?10 分 若 m ? 1 ? m ? 1 即 0 ? m ? 1 , 函 数 g ( x) 在 [ m,1] 上 单 调 递 减 , 在 [1, m ? 1] 上 单 调 递 减 , 此 时

g ( x)min ? g (1) ? ?e ;????????????11 分
若 m ? 1 ? 1 即 m ? 0 ,在 [m, m ? 1] 上函数 g ( x) 单调递减, 此时 g ( x)min ? g (m ?1) ? (m ?1)e
m?1

;????????12 分

综上可知,函数 g ( x) 在 [m, m ? 1] 上的最小值
-8-

g ( x) min

?(m ? 2)e m , m ? 1 ? ? ??e, 0 ? m ? 1 。??????????13 分 ?(m ? 1)e m ?1 , m ? 0 ?

22、解: (1)由已知得 c ? 2 2,
2 2 2

c 6 ,解得 a ? 2 3 ????1 分 ? a 3

于是 b ? a ? c ? 4 ????????2 分

x2 y 2 ? ? 1 。??????3 分 ∴求椭圆 G 的方程为 12 4
(2)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 E( x0 , y0 ) ??4 分

?y ? x ? m ? 2 2 联立 ? x 2 y 2 ,消元整理得 4 x ? 6mx ? 3m ? 12 ? 0 ??????6 分 ?1 ? ? ?12 4
于是 ? ? (6m)2 ? 4 ? 4 ? (3m2 ?12) ? 12 ? (16 ? m2 ) ? 0 可得 m ? 16 ????????????8 分
2

由 x1 ? x2 ? ? 可得 x0 ? ?

3 3m2 ? 12 m, x1 x2 ? ????????8 分 2 4

3 1 3 1 m , y0 ? x0 ? m ? m ,即 E ( ? m, m) ??????????9 分 4 4 4 4 ∵ AB 为等腰三角形的底边,∴ PE ? AB 1 2? m 4 ? ?1 ,解得 m ? 2 ,符合要求。??????10 分 ∴ k PE ? 3 ?3 ? m 4
此时 x1 ? x2 ? ?3, x1 x2 ? 0 所以 AB ?

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? 3 2 ????????????11 分
又点 P(?3, 2) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 故 ?PAB 的面积 S ?

?3 ? 2 ? 2 2

?

3 2 ??????12 分 2

1 9 AB ? d ? ????????13 分 2 2

-9-


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