高中数学解题中数形结合思想应用论文

高中数学解题中数形结合思想的应用 摘要:数形结合思想在高中数学中应用十分广泛,常见的比如在 函数、集合、向量、不等式、立体几何、线性规划等问题中都有应 用。本文通过一些典型例题,列举了数形结合思想的应用方法,避 免复杂的数学推理与计算,简化解题过程,加强学生的解题能力。 关键词:数学解题;数形结合;高中数学 在高中教学中,数和形是两个最基本的概念,数形结合的思想不 仅是高中数学解题中的一种重要思想,也是教学的重点。在高中数 学解题中使用数形结合的方法,研究数和形的对应关系,使抽象问 题具体化,复杂问题简单化。在教学中培养学生数形结合的思想, 能够有效的提高学生的解题技巧,做到举一反三,加强学生的解题 能力。 数和形是数学研究的两大基本对象,数形结合即是以形助教,以 数解形,就是数和形之间的相互转化。通过数和形的相互转化来解 决数学问题,使抽象思维转换为形象思维,有助于理解数学问题的 本质。数形结合可以求解很多问题,在高中数学中主要表现在以下 几个方面: (1)通常可以结合数轴和文氏图进行求解集合问题; (2) 数形结合可以使用函数的图像性质求解函数问题,可以研究函数的 奇偶性、周期性、增减性,以及求函数的定义域、最值和极值、值 域等问题。 (3)数形结合可以联系向量的几何意义用于求解向量问 题,运用点、线、曲线的性质用于解析几何问题。 (4)数形结合可 以构造几何图形和函数特点求解不等式问题,从题目的条件和结论 出发,分析几何意义,从图形上寻找解题的思路。使用数形结合的 思想求解问题的关键在于图形的构造,抓住一些重要的量,巧妙地 运用式子规律、数学概念符号去思考其内在的关系。思考途径可以 用下图表示: 数形结合的解题思路 一、利用坐标法解决几何问题 坐标法就是将几何问题坐标化。在解决几何问题中运用坐标法的 基本思路是,首先根据几何问题的特点建立合适的坐标系,其次将 几何问题转变为代数问题, 经过推理和计算, 获得相关的代数结论。 最后考虑坐标系,将代数结论转化为几何结论,由此得到原几何问 题的答案。 例 1.已知 3x+4y=12;并且 x 0,y 0;求函数 取得最小值和最 大值的点。 解析:从题的形式上来看此题是一个求解二元函数的极值问题, 比较难求解,但如果运用坐标法,用初中的数学知识就可以求解。 此题的约束条件是 3x+4y=12,x 0,y 0,可以看成是坐标系中的 线段 ab,并且 , 。将函数 m(x,y)适当的变形为 。假设 p 为动点(x,y) ,q(6,1) ,而 m(x,y)则可以看作是定点 q 到动 点 p 的距离的平方,其中动点 p 被限制在线段 ab 上移动,如图, 可以从图中很容易的看出点 a(0,3)是使 m(x,y)取得最大值 的点,点 b(4,0)是使 m(x,y)取得最小值的点。 二、利用向量法解决几何问题 向量是沟通“数”和“形”的有力工具,可以突出它们的内在联 系。在高中教学中,向量法是指在求解几何问题时运用向量知识。 使用向量法求解几何问题时候,常把直线的各边看作为向量,将几 何问题转变为向量问题,把线段之间的关系转变为向量的关系式, 由此借助向量的有关结论和运算法则,通过向量的计算或化简,推 导出所需要的结论,从而求得问题的答案。在解几何问题上,向量 法具有范围广和表述简洁的特点。 例 2.求证:直角三角形斜边上的中线等于其斜边的一半。 证明:如图所示,在 中, ,d 是 ac 边上的中点,通过向量加 , 法的平行四边形法则可以得到 向量可以作为联系几何与代数的最佳桥梁,可以使图形间的关系 代数化,可以使图形量化,从复杂的图形分析中脱离出来,我们只 需要研究图形中存在的向量关系,就能够推导出最终的结论。 三、利用数性结合思想解决三角形面积问题 在一些题目中含有三角形的问题,如果求解三角形周长和面积问 题,常利用余弦定理、三角形恒等变换、正弦定理等方法来解决问 题,在解题过程中利用三角函数的性质和定理,结合数形结合思想 可以简化计算过程。 例 3.在 ,c= ,ab=3,则 的周长为() (a) (b) (c) (d) 分析:本题一般思路是用正弦定理和三角形恒等变形,然后通过 一定量的计算来完成,但是如果能够注意到数形几何就能够很快解 题。由此,可以延长 ac 到 d,使得 cb=cd,则 ad=ac+cb, , 由此可以用正弦定理 ,从而 ,答案选 c。 , 四、利用斜率公式求函数的值域 在一些分母、分子都是一次函数或三角函数的代数式中,求解值 域问题,一般转化为斜率公式 例 4.求解函数 的值域。 分析:可以很明显的看出函数 类似于 的形式, 可以看作为 p 的形式求解问题。 (cosx,sinx) (2,-2)的直线斜率,而点 p 可以看作是在单 , 位圆 上,如图,得出 。假设过点 的圆的切线方程为 , ,然后 得到 ,进而得到 ,也就是 最后得到函数 的值域为 。 五、利用数形结合解决集合问题 一般情况下,可以使用圆来表示集合,两圆相离代表两个集合没 有公共元素,两圆相交代表两个集合有公共元素。我们可以使用韦 恩图法则来解决有关集合之间关系的问题。 例 5.有个班级总共有 48 名学生, 班里每个人都至少参见一个活动 小组,同时参加数、理小组的有 8 人,同时参加理、化小组的有 7 人,同时参加数、化小组的有 6 人,其中参加数、理、化小组的总 人数分别是 28、25、15,问题是同时参加数、理、化小组的总共有 多少人? 解析:我们可以用 a、b、c 来分别代表班里参加数理化小组的人 数,则三圆的共同交汇处就代表同时参加数理化小组的总人数。可 以用 n 代表集合的元素,则 ,从而 ,故同时参加数理化小组的 总人数是 1 人。 从以上可以看出,数形结合就是通过数和形的相互对应转化,抓 住问题的本质,主要有以形助数和以数解形。以形助数通常是借助 于图像性质,使许多抽象关系和概念直观而形象,有助于探索解题 的途径。以数解形通常是把

相关文档

高中数学教学论文 数形结合思想在解题中的应用
高中数学数形结合思想在解题中的应用
高中数学教学论文《数形结合思想》在解题中应用
数形结合思想在高中数学解题中的运用
高中数学常用解题思想——数形结合
数形结合思想在高中数学解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用——论文版
数形结合思想在解题中的应用毕业论文
高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用
数形结合思想在高中数学解题中的渗透
电脑版