浙江省嘉兴市高中学科基础测试(理科)数学试题卷.1

浙江省嘉兴市 2008 年高中学科基础测试(理科) 数学试题卷 2009.1

第Ⅰ卷
一.选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 A= x ? 2 ? x ? 3?,B= x x ? ?1或x ? 4 ,那么集合 A∩B 等于 ( ▲ ) A. x ? 1 ? x ? 3

?

?

?

?

?

B. x x ? ?1或x ? 3 C. x ? 2 ? x ? ?1 D. x ? 1 ? x ? 3

?

?

?

?

?

?

2.若复数 z1 ? a ? i, z2 ? 1 ? i ,且 z1 z2 为纯虚数,则实数 a 为 ( ▲ ) A.1 B.-1 C.1 或-1
2

D.0

3.“a>0”是“方程 ax ? 3x ? 1 ? 0 至少有一个负数根”的 ( ▲ ) A.充分必要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知等差数列{an}满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 = ( ▲ ) A.95 B.135 C.138 D.23 5.阅读如图的程序框图.若输入 m=4,n=6,则输出的 a,i 分别等于 ( ▲ ) A.12,2 B.12,3 C,24,2 D.24,3

6.要得到函数 y=cosx 的图象,只需将函数 y=cos(x的图象 ( ▲ ) A.向右平移三个单位 C.向右平移至 3 个单位

? ) 3

B.向左平移冬个单位 D.向左平移三个单位

7.已知向量 a =(1,2)和 b =(x,1),若向量 a +2 b 与 2 a - b 平行,则实数 x 等于 ( ▲ ) A.

1 2

B. 1
3 2

C.

1 3

D. 2

8.己知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ,其导数 f'(x)的图象如图所示, 则函数 f(x)的极小值是 ( ▲ ) A.a+b+c B.8a+4b+c C.3a+2b D.c

9.如图,点 P(3,4)为圆 x 2 ? y 2 ? 25 上的一点,点 E,F 为 y 轴 上的两点,△PEF 是以点 P 为顶点的等腰三角形,直线 PE,PF 交圆于 D, C 两点, 直线 CD 交 y 轴于点 A, 则 sin∠DAO 的值为 ( ▲ )

2 5 4 C. 5
A.

3 5 3 D. 4
B.

10.圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点,一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到 另一点.若起跳点为奇数,则落点与起跳点相邻;若起跳点为偶数,则落点与起跳相隔一个 点.该青蛙从 5 这点开始起跳,经 2008 次跳动,最终停在的点为 ( ▲ ) A.4 B.3 C.2 D.1

第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.命题“∨x∈R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
3 2



. ▲ .

12.在△ABC 中,若∠B=60°,AC=3,AB= 6 ,则∠A= 13. ?1 ? 3 x ? 展开式中 x 的系数为
3

2



. ▲ . .

14.设函数 f ? x ? ? ax ? b (a≠0),若
2

?

2

0

f ( x)dx ? 2 f ( x0 ) ,x0>0,则 x0=


15.从[0,1]之间选出两个数,这两个数的平方和大于 l 的概率是

16. 如图, 一个空间几何体的主视图、 侧视图是周长为 4 一个内角为 60° 的菱形, 俯视图是圆及其圆心, 那么这个几何体的表面积为 ▲ .

17.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线 y ? x 的焦点,另外两个顶
2

点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为





三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(本小题满分 14 分) 一袋中有 m(m∈N*)个红球,3 个黑球和 2 个自球,现从中任取 2 个球. (Ⅰ)当 m=4 时,求取出的 2 个球颜色相同的概率; (Ⅱ)当 m=3 时,设ξ 表示取出的 2 个球中黑球的个数,求ξ 的概率分布及数学期望; (Ⅲ)如果取出的 2 个球颜色不相同的概率小于

2 ,求 m 的最小值. 3

19.(本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, AB∥CD, ∠DAB=60°, AB=AD=2CD=2, 侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°, M 为 AP 的中点. (Ⅰ)求证:DM∥平面 PCB; (Ⅱ)求直线 AD 与 PB 所成角; (Ⅲ)求三棱锥 P-MBD 的体积.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? a ln x (a∈R) 2

(Ⅰ)若函数 f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 y ? x ? b ,求 a,b 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)在(1,+∞)为增函数,求 a 的取值范围.

21.(本小题满分 15 分) 已知二次函数 y ? f ? x ? 的图像经过坐标原点,其导函数 f'(x)=2x+2,数列 ?an ? 的前 n 项和为

Sn ,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y ? f ? x ? 的图像上.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn=

1 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求 Tn . a n a n ?1

22.(本小题满分 15 分)

x2 y2 如图,F 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的一个焦点,A,B 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为 a b
1 .点 C 在 x 轴上,BC⊥BF,B,C,F 三点确定的圆 M 恰好与直线 l1: x ? 3 y ? 3 ? 0 相切. 2
(Ⅰ)求椭圆的方程: (Ⅱ)过点 A 的直线 l2 与圆 M 交于 PQ 两点,且 MP ? MQ ? ?2 ,求直线 l2 的方程.

2008 年高中学科基础测试(理科) 数学参考答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 B 6 B 7 A 8 D 9 A 10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分
3 2 11.x0∈R, x0 ? x0 ?1 ? 0 .

12.

5 π. 12

13.27.

14.

2 3 . 3

15.1-

? . 4

16.π

17.2- 3 或 2+ 3 .

三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.解:(1)设“取出的 2 个球颜色相同”为事件 A
2 2 C4 ? C32 ? C 2 5 P(A)= ? 2 18 C9

4(分)

(2) ξ P 0 1 2

5 14

15 28

3 28
7(分)

5 15 3 3 Eξ =0× +1× +2× = 14 28 28 4
(3)设“取出的 2 个球中颜色不相同”为事件 B,则 P(B)=
1 1 1 1 1 C1 2 x C3 ? C x C 2 ? C3 C 2 ? 2 3 C x ?5

9分

11 分

∴x2-6x+2>0 ∴x>3+ 7 或 x<3- 7 ,x 的最小值为 6. 19.【解】 (I)取 PB 的中点 F,联结 MF、CF, ∵M、F 分别为 PA、PB 的中点. ∴MF∥AB,且 MF= 14 分

1 AB. 2

∵四边形 ABCD 是直角梯形,AB∥CD 且 AB=2CD, ∴MF∥CD 且 MF=CD. ∴四边形 CDFM 是平行四边形. ∴DM∥CF. ∵CF 平面 PCB, ∴DM∥平面 PCB. (Ⅱ)取 AD 的中点 G,连结 PG、GB、BD. 4 分

∵PA=PD,

∴PG⊥AD.

∵AB=AD,且∠DAB=60°, ∴△ABD 是正三角形,BG⊥AD. ∴AD⊥平面 PGB. ∴AD⊥PB. (Ⅲ)VP-MBD=VB-PMD VB-PMD = 8分 10 分 14 分

1 1 2 3 × × × 2× 3= 3 2 2 6

20.(1)因为:f'(x)=x所以 ?

a (x>0),又 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b x

? 2 ? aIn 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 ?1
a



2分 4分 6分

解得:a=2, b=-2In2

(2)若函数 f(x)在(1,+∞)上恒成立.则 f'(x)=x即:a≤x2 在(1,+∞)上恒成立。所以有 a≤l

a ≥0 在(1,+∞)上恒成立 x
14 分

21.解:(1)f(x)=x2+2x 2分 2 所以,Sn=n +2n,当 n=1,a1=S1=3,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1, ∴an=2n+1(n∈N*) 6分 (2) 因为 bn=

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

10 分

所以 Tn=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ? ? ... ? ? )? ( ? )? 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 6n ? 9

15 分

22.(1)F(-c,0),B(0, 3a ),∵kBF= 3 ,kBC=-

3 ,C(3c,0) 3

且圆 M 的方程为(x-c)2+y2=4c2,圆 M 与直线 l1:x+ 3 u+3=0 相切,



1? c ? 3 ? 0 ? 3 1? 3

? 2c ,解得 c=1,

∴所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

6分

(2) 点 A 的坐标为(-2,0),圆 M 的方程为(x-1)2+y2=4, 过点 A 斜率不存在的直线与圆不相交,设直线 l2 的方程为 y=k(x+2), ∵ MP ? MQ ? ?2 ,又 MP ? MQ ? 2 ,∴cos<MP,MQ>=

MP ? MQ MP ? MQ

??

1 2

∴∠PMQ=120°,圆心 M 到直线 l2 的距离 d=

k ? 2k 1 2 ? 1 ,∴k= ? r ? 1 ,所以 2 2 4 k ?1
15 分

所求直线的方程为 x×2 2 y +2=0.

命题教师:沈微微、许群燕;审稿:沈新权、吕峰波、陈云彪、计振明.


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