上海市复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:函数概念与基本处等函数I

复旦大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:函数概念与基本处等函数 I 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数 y =
1 的定义域是( x +1

) C.(-1,+∞) D.(-1,0) ) D.4

A.[-1,+∞) B.[-1,0) 【答案】C

2.已知函数 y ? f (x) 的反函数 f ?1 ( x) ? 2 x ?1 ,则 f (1) 等于( A.0 【答案】C B.1 C. ?1

3.对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式
1 log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ) a ①
1? a ③a ? a 1? 1 a

1 log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ) a ②
1? 1 a

1? a ④a ? a

其中成立的是( ) A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④ 【答案】D 4.若 a, b, c ? R? , 且a ? b ? c ? 6 ,则 lg a ? lg b ? lg c 的取值范围是( ) A. (??,lg 6] B. (??,3lg 2] C. [lg 6, ??) D. [3lg 2, ??) 【答案】B 5.在区间 ?0,1? 产生的均匀随机数 x1 ,转化为 ? ?1,3? 上的均匀随机数 x ,实施的变 换为( ) A. x ? x1 ? 3 ? 1 B. x ? x1 ? 3 ? 1 C. x ? x1 ? 4 ? 1 D. x ? x1 ? 4 ? 1 【答案】C 6.已知函数 f ( x) 的图象是连续不断的, x, f ( x) 的对应值如下表:

在下列区间内,函数 f ( x) 一定有零点的是( A. (?2, ?1) 【答案】C B. (?1,1)

) D. (2,3)

C. (1, 2)

7.已知函数 f ( x ) 的定义域是[0,2],则函数 g ( x ) ? f ( x ? 定义域是( A. [ 0,2] ) B. [? , ]

1

1 ) ? f (x ? ) 的 2 2

1 3 2 2

C.

1 5 [ , ] 2 2
)

D.

1 3 [ , ] 2 2

【答案】D 8.下列哪组中的两个函数是同一函数( A. y ? 1 与 y ? x0 C. y ? ( x )2 与 y ? x

B. y ? ( 3 x )3 与 y ? x D. y ? x 与 y ?
x2 x

【答案】B 9. 已知函数 y=f x2) ( 的定义域是[-1, 则函数 y=f log2x) 1], ( 的定义域是( A. (0,+?) 【答案】C 10.函数 y ? A. ??3,1? B.[ 2 ,4] C.[1,2] D. ?

)

9 ? x2 的定义域是( x?2
B. (?3,3)

)

C. (?3, 2) ? (2,3) D. [?3,2) ? (2,3] 【答案】D 11.若函数 f ( x) ? A. ? ??, ???
x?4 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是( mx ? 4mx ? 3
2

)

? 3? B. ? 0, ? ? 4?

?3 ? C. ? , ?? ? ?4 ?

? 3? D. ?0, ? ? 4?

【答案】D 12.已知函数 f(x)=ax+loga x(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和 为 loga 2+6,则 a 的值为( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 2 4 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13.已知指数函数过点 P(1,2010) ,则它的反函数的解析式为: .

【答案】

?? cos ? x   x ? 0 14.已知 f (x)= ? ,则 ? f ( x ? 1) ? 1  x ? 0
【答案】3 15.函数 y ? ( )1? x 的值域是____________. 【答案】 (0,+∞)
1 2

?4? f ? ?+ ?3?

? 4? f ? ? ? 的值等于 ? 3?

16.函数 y ? log2 (2 x ? 1) 的定义域是____________ 【答案】 ?x | x ? 0? 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a, b 的值; (2)证明 f (x) 在 ?? ?,??? 上为减函数. (3)若对于任意 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的范围.
b ? 2x 是奇函数. 2x ? a

, 【答案】 (1)? f ( x)为R上的奇函数? f (0) ? 0, b ? 1. 又f (?1) ? ? f (1),得a ? 1.
(2)任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 则 经检验 a ? 1, b ? 1 符合题意.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2(2 x2 ? 2 x1 ) (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )(2 x2 ? 1) ? (1 ? 2 x2 )(2 x1 ? 1) = ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? x1 ? x 2 ,? 2 x1 ? 2 x2 ? 0, 又 ? (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,? f ( x)为R上的减函数 .

(3)? t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,

? f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k )

? f (x) 为奇函数, ? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) ? f (x) 为减函数,
? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .

1 1 1 即 k ? 3t 2 ? 2t 恒成立,而 3t 2 ? 2t ? 3(t ? ) 2 ? ? ? . 3 3 3 18.计算:

1 ?k ? ? . 3

(1) 2

?

1 2

?

(?4) 0 2

?

1 2 ?1

? (1 ? 5 ) 0

(2) log 2 25 ? log 3

1 1 ? log 5 16 9
(2)16

【答案】 (1) 2 2

19.f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2 .若对任意的 x∈t, t+2,不等式 f(x+t)≥2f(x)恒成立,求 t 的取值范围。 【答案】f(x+t)≥2f(x)=f( ),又 函数在定义域 R 上是增函数 恒成立 . 恒成立,

故问题等价于当 x 属于 t,t+2 时 x+t≥ 令 g(x)=

, 解得 t≥ x ?1 ?x ? 1? . 20.已知函数 f ( x ) ? x ?1 (1)证明 f (x ) 在 ?1,??? 上是减函数; (2)当 x ? ?3,5?时,求 f (x ) 的最小值和最大值. 【答案】 (1)设 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1 x2 ? 1

?

?x1 ? 1??x2 ? 1? ? ?x2 ? 1??x1 ? 1? ? ? 2?x2 ? x1 ? ?x1 ? 1??x2 ? 1? ?x1 ? 1??x2 ? 1?

? x1 ? 1, x2 ? 1, ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, ? ( x1 ? 1)?x2 ? 1? ? 0, ? x1 ? x2 ,? x2 ? x1 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f (x ) 在 ?1,??? 上是减函数。

(2)? ?3,5? ? ?1,??? ,? f (x ) 在 ?3,5? 上是减函数,

? f ( x) max ? f (3) ? 2, f ( x) min ? f (5) ? 1.5,

21. 函数 f ( x)对任意实数x均有f ( x ? 2) ? kf ( x) , 其中 k 为已知的正常数, f ( x ) 且 在区间 0,2 上有表达式 f ( x ) ? x( x ? 2) . (1)求 f ( ?1), f (2.5) 的值; (2)求 f ( x ) 在-2,2 上的表达式,并写出函数 f ( x ) 在-2,2 上的单调区间(不需 证明) ; (3)求函数 f ( x ) 在-2,2 上的最小值,并求出相应的自变量的值. 【答案】 (1)? f ( x ? 2) ? kf ( x)
? f ( ?1) ? 1 1 1 f ( ?1 ? 2) ? f (1) ? ? , k k k 1 1 3 f (2.5) ? f (0.5 ? 2) ? kf (0.5) ? k ? ( ? 2) ? ? k 2 2 4

(2)? f ( x) ? x( x ? 2), x ??0,2? , 设 ?2 ? x ? 0, 则0 ? x ? 2 ? 2 ,

? f ( x ? 2) ? ( x ? 2) x又f ( x ? 2) ? kf ( x)
?kf ( x) ? x( x ? 2)

? f ( x) ?

1 x ( x ? 2) k

?1 ? x( x ? 2), ?2 ? x ? 0, ? f ( x) ? ? k ? x( x ? 2), 0 ? x ? 2. ?
? k ? 0 ,结合二次函数的图象得.
f ( x) 的减区间为 ??2, ?1? , ?0,1?

增区间为 ? ?1,0? , ?1,2? (3)由函数 f ( x) 在 ? ?2,2? 上的单调性知, f ( x) 在 x ? ?1 或 x ? 1 处取得极小值.
1 f ( ? 1)= ? , f (1) ? ?1. . k 1 故有:①当 ? ? ?1即 k ? 1 时, f (x) 在 x ? 1 处取得最小值-1, k 1 ②当 ? ? ?1即 k ? 1 时, f (x) 在 x ? 1, x ? ?1处都取得最小值-1. k

③当 ?

1 1 ? ?1 即 0 ? k ? 1 时, f (x) 在 x ? ?1 处取得最小值 ? . k k

22.已知函数 f (x)在定义域 R 内为偶函数,并且 x ? 0 时解析式为

f ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 7
求: (1) x ? 0 时的解析式; (2)求函数在区间 ?? 3,1? 上的最值。 【答案】? x ? 0, ? ? x ? 0 , 又 f (x) 在 R 上为偶函数,且 x ? 0 时解析式为 f ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 7

? f (? x) ? 2x 2 ? 4x ? 7 ? f ( x)
即? f ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 7 (2)由(1)得

?2 x 2 ? 4 x ? 7( x ? 0) f ( x) ? ? 2 ?2 x ? 4 x ? 7( x ? 0)
所以;当 x ? 1 函数有最小值 f (1) ? 5 当 x ? ?3 函数有最小值 f (?3) ? 13

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