新课标2017春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时均值不等式的应用__证明问题课时作业新人教B版必修5

2017 春高中数学 第 3 章 不等式 3.2 均值不等式 第 2 课时 均值不 等式的应用——证明问题课时作业 新人教 B 版必修 5

基 础 巩 固 一、选择题 1 . a 、 b 、 c 是 互 不相等 的 正数 ,且 a + c = 2bc , 则下 列 关系 中可 能成 立 的是 导学号 27542692 ( A.a>b>c C.b>a>c
2 2 2

C ) B.c>a>b D.a>c>b
2

[解析] ∵a、c 均为正数,且 a≠c,∴a +c >2ac, 又∵a +c =2bc,∴2bc>2ac, ∵c>0,∴b>a,排除 A、B、D,故选 C. 2. 设{an}是正数等差数列, {bn}是正数等比数列, 且 a1=b1, a21=b21, 则 导学号 27542693 ( D ) A.a11=b11 C.a11<b11 [解析] ∵an>0,bn>0,a1=b1,a21=b21, ∴a11= B.a11>b11 D.a11≥b11
2 2

a1+a21 b1+b21
2 = 2

≥ b1b21=b11,等号成立时,

b1=b21,即此时{an}、{bn}均为常数列,故选 D.
3 .小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则 导学号 27542694 ( A.a<v< ab C. ab<v< A ) B.v= ab 2 D.v=

a+b

a+b
2

[解析] 设甲、乙两地之间的路程为 s. ∵a<b,∴v= 2sab 2ab 2ab = = < = ab, s s ?a+b?s a+b 2 ab + 2s

a b

2ab ab-a a -a 又 v-a= -a= > =0,∴v>a. a+b a+b a+b 4.已知 R1、R2 是阻值不同的两个电阻,现分别按图①、②连接,设相应的总阻值分别

2

2

2

1

为 RA、RB,则 RA 与 RB 的大小关系是 导学号 27542695 (

A )

A.RA>RB C.RA<RB [解析] RA=

B.RA=RB D.不确定

R1+R2
2

,RB=

2R1R2 , R1+R2
2

RA-RB=


R1+R2
2
2

2R1R2 ?R1+R2? -4R1R2 - = R1+R2 2?R1+R2?

?R1-R2? >0,所以 RA>RB. 2?R1+R2? B )

5. 已知 a>1, b>1, 且 lga+lgb=6, 则 lga·lgb 的最大值为 导学号 27542696 ( A.6 C.12 [解析] ∵a>1,b>1,∴lga>0,lgb>0, lga+lgb 2 6 2 又 lga+lgb=6,∴lga·lgb≤( ) =( ) =9,故选 B. 2 2 B.9 D.18

6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平 均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费 8 用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 导学号 27542697 ( A.60 件 C.100 件 [ 解析 ] ≥2 B.80 件 D.120 件 B )

x

x 800 由题意知仓储 x 件需要的仓储费为 元,所以平均费用为 y = + 8 8 x

x2

x 800 × =20,当且仅当 x=80 等号成立. 8 x
二、填空题 2 3 7.已知 + =2(x>0,y>0),则 xy 的最小值是 6. 导学号 27542698

x y
2

[解析]

x y

3 + ≥2

6

xy

,∴2

6

xy

≤2,∴xy≥6.

2 3 2 2 8.若实数 x、y 满足 x +y +xy=1,则 x+y 的最大值是 . 导学号 27542699 3
2

[解析] ∵x +y +xy=1,∴(x+y) =xy+1. 又∵xy≤(

2

2

2

x+y
2

) ,∴(x+y) ≤(

2

2

x+y
2

) +1,

2

3 4 2 2 即 (x+y) ≤1.∴(x+y) ≤ . 4 3 2 3 2 3 2 3 ∴- ≤x+y≤ .∴x+y 的最大值为 . 3 3 3 三、解答题 9.已知 a、b、c∈R,求证:

a2+b2 +

b2+c2 +

c2+a2 ≥ 2 (a + b +

c). 导学号 27542700
[解析] ∵

a+b
2



a2+b2
2

,∴ a +b ≥

2

2

a+ b
2



2 (a+b)(a、b∈R 等号在 a=b 时成立). 2
2 2

同理 b +c ≥

2 (b+c)(等号在 b=c 时成立). 2

a2+c2≥

2 (a+c)(等号在 a=c 时成立). 2
2 2 2 2 2 2

三式相加得 a +b + b +c + a +c ≥ 2 2 2 (a+b)+ (b+c)+ (a+c) 2 2 2

= 2(a+b+c)(等号在 a=b=c 时成立). 9 2 2 10.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求证:(a+1) +(b+1) ≥ . 导学号 27542701 2 [解析] ∵a>0,b>0,∴a+b≤ 2?a +b ?, ∴(a+1)+(b+1)≤ 2?a+1? +2?b+1? , 又∵a+b=1,∴3≤ 2?a+1? +2?b+1? , 9 2 2 ∴(a+1) +(b+1) ≥ , 2 1 当且仅当 a=b= 时,等号成立. 2 9 2 2 ∴(a+1) +(b+1) ≥ . 2 能 力 提 升 一、选择题
2 2 2 2 2 2

3

1.若 a、b、c、d、x、y 是正实数,且 P= ab+ cd,Q= ax+cy· 导学号 27542702 ( A.P=Q C.P≤Q [解析] Q= ax+cy· = C ) B.P≥Q D.P>Q

b d + ,则有 x y

b d + x y

adx bcy ab+cd+ + ≥ ab+cd+2 abcd y x

= ab+ cd=P. 5 x -4x+5 2.已知 x≥ ,则 f(x)= 有 导学号 27542703 ( 2 2x-4 5 A.最大值 4 C.最大值 1 5 [解析] ∵x≥ ,∴x-2>0, 2 则 f(x)= 1 x2-4x+5 1 x2-4x+5 1 ?x-2?2+1 1? ?≥1, = × = × = ??x-2?+ ? ?x-2?? 2x-4 2 x-2 2 x-2 2? 1 5 B.最小值 4 D.最小值 1
2

D )

当且仅当 x-2=

x-2

,即 x=3 时等号成立. D <y <y )

3.已知 y>x>0,且 x+y=1,那么 导学号 27542704 ( A.x< C.x<

x+y
2 2

<y<2xy <2xy<y

B.2xy<x< D.x<2xy<

x+y
2 2

x+y

x+y

3 1 [解析] ∵y>x>0,且 x+y=1,∴设 y= ,x= , 4 4 则

x+y 1

3 x+y = ,2xy= .∴x<2xy< <y.故选 D. 2 2 8 2

4.设 a、b 是正实数,给出以下不等式: ① ab> 2ab 2 2 2 ;②a>|a-b|-b;③a +b >4ab-3b ; a+b D )

2 ④ab+ >2,其中恒成立的序号为 导学号 27542705 (

ab

A.①③ C.②③

B.①④ D.②④
4

2 ab + [解析] ∵a、b∈R 时,a+b≥2 ab,∴ ≤1, a+b ∴ 2ab ≤ ab,∴①不恒成立,排除 A、B; a+b

2 ∵ab+ ≥2 2>2 恒成立,故选 D.

ab

二、填空题 5.建造一个容积为 8 m ,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为 每平方米 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为 1_760 元. 导学号 27542706 [解析] 设水池池底的一边长为 x m,则另一边长为 4 m,则总造价为:
3

x

y=480+80×?2x+2× ?×2=480+320?x+ ? x? ? ? x?
≥480+320×2

?

4?

?

4?

x× =1 760. x

4

4 当且仅当 x= 即 x=2 时,y 取最小值 1 760.

x

所以水池的最低总造价为 1 760 元. 6.已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC、BC 的距离乘积的最大值是 3. 导学号 27542707 [解析] 以 C 为原点,CB 为 x 轴,CA 为 y 轴建立直角坐标系,设 P(x,y),则 AB 方程 为 + =1, 3 4 ∵x、y∈R ,∴1= + ≥2 3 4 三、解答题 1 1 7.若 x>0,y>0,x+y=1,求证:(1+ )·(1+ )≥9. 导学号 27542708


x y

x y

xy
12

,∴xy≤3.

x

y

1 1 [解析] 证法一:左边=(1+ )(1+ )

x

y

1 1 1 x+y 1 =1+ + + =1+ +

x y xy

xy

xy

2 2 =1+ ≥1+ =9=右边. xy x+y 2 ? ? 2 1 当且仅当 x=y= 时,等号成立. 2

5

证法二:∵x+y=1, 1 1 ∴左边=(1+ )(1+ )

x

y

=(1+

x+y x+y y x )(1+ )=(2+ )(2+ ) x y x y y x x y

=5+2( + )≥5+4=9=右边. 1 当且仅当 x=y= 时,等号成立. 2 8.已知 a、b、c∈R ,求证: + + ≥a+b+c. 导学号 27542709 [解析] ∵a、b、c∈R , , , 均大于 0, 又 +b≥2
+ +

a2 b2 c2 b c a

a2 b2 c2 b c a

a2 b

a2 ·b=2a, b b2 ·c=2b, c c2 ·a=2c, a a2 b b2 c c2 a

b2 +c≥2 c c2 +a≥2 a

三式相加得 +b+ +c+ +a≥2a+2b+2c, ∴ + + ≥a+b+c.

a2 b2 c2 b c a

6


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