高中数学必修2-第三章《直 线与方程》单元测试题

第三章《直线与方程》单元测试题
时间120分钟,满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给 出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.已知点A(1,),B(-1,3),则直线AB的倾斜角是(  ) A.60°           B.30° C.120° D.150° [答案] C [解析] 直线AB的斜率为=-,则直线AB的倾斜角是120°. 2.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] D [解析] Ax+By+C=0可化为y=-x-,由AB<0,BC<0,得- >0,->0,故直线Ax+By+C=0经过第一、二、三象限,不经过第四 象限. 3.已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB的垂直平分线的方程是x+ 2y-2=0,则实数m的值是(  ) A.-2 B.-7 C.3 D.1 [答案] C [解析] 由已知条件可知线段AB的中点(,0)在直线x+2y-2=0 上,把中点坐标代入直线方程,解得m=3. 4.已知直线(2m2-m+3)x+(m2+2m)y=4m+1在x轴上的截距为 1,则实数m的值为(  ) A.2或 B.2或- C.-2或- D.-2或 [答案] A

[解析] 由题意,知直线过点(1,0),代入直线方程整理得2m2-5m +2=0,解得m=2或m=.
5.经过直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y=5=0的交点,并且经过 原点的直线方程是(  )
A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.3x+19y=0 D.19x-3y=0 [答案] C [解析] 解得,即直线l1,l2的交点是(-,),由两点式可得所求直 线的方程是3x+19y=0. 6.已知直线l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0 垂直,则k的值是(  ) A.1或3 B.1或5 C.1或4 D.1或2 [答案] C [解析] 由题意得2(k-3)2-2(5-k)=0,整理得k2-5k+4=0,解 得k=1或k=4.故选C. 7.已知直线(3k-1)x+(k+2)y-k=0,则当k变化时,所有直线都 通过定点(  ) A.(0,0) B.(,) C.(,) D.(,) [答案] C [解析] 直线方程变形为k(3x+y-1)+(2y-x)=0,则直线通过定 点(,). 8.与直线y=-2x+3平行,且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点 的直线方程是(  ) A.y=-2x+4 B.y=x+4 C.y=-2x- D.y=x- [答案] C

[解析] 直线y=-2x+3的斜率为-2,则所求直线斜率k=-2,直 线方程y=3x+4中,令y=0,则x=-,即所求直线与x轴交点坐标为 (-,0).故所求直线方程为y=-2(x+),即y=-2x-.
9.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是(  ) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 [答案] D [解析] 将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的 两点”:在直线x-2y+1=0上取一点P(3,2),点P关于直线x=1的对称 点P′(-1,2)必在所求直线上,只有选项D满足. 10.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1), 且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于(  ) A.-4 B.-2 C.0 D.2 [答案] B [解析] 因为l的斜率为tan135°=-1,所以l1的斜率为1,所以kAB= =1,解得a=0.又l1∥l2,所以-=1,解得b=-2,所以a+b=-2,故 选B.

11.已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0, 它们在坐标系中的关系如右图所示,则(  )
A.b>0,d<0,a<c B.b>0,d<0,a>c C.b<0,d>0,a>c D.b<0,d>0,a<c [答案] C

[解析] 由图象知->->0,-<0,->0,所以c<a<0,b<0,d>0. 12.等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,若点A,C的坐标分别为 (0,4),(3,3),则点B的坐标可能是(  ) A.(2,0)或(4,6) B.(2,0)或(6,4) C.(4,6) D.(0,2) [答案] A [解析] 设B(x,y),根据题意可得, 即, 解得或,所以B(2,0)或B(4,6). 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案 填在题中横线上) 13.已知点A(3,2),B(-2,a),C(8,12)在同一条直线上,则a= ________. [答案] -8 [解析] 根据题意可知kAC=kAB,即=,解得a=-8. 14.与直线7x+24y=5平行,并且距离等于3的直线方程是 ________. [答案] 7x+24y+70=0或7x+24y-80=0 [解析] 设所求直线为7x+24y+m=0. 把直线7x+24y=5整理为一般式得7x+24y-5=0. 由两平行直线间的距离公式得:=3, 解得m=70或-80, 故所求直线方程为7x+24y+70=0或7x+24y-80=0. 15.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移 动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为________. [答案] 3 [解析] 依题意,知l1∥l2,故点M所在直线平行于l1和l2,可设点M 所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式,得=

?|m+7|=|m+5|?m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公 式,得M到原点的距离的最小值为=3.
16.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的 线段的长为2,则m的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60°  ⑤75°,其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号)
[答案] ①⑤ [解析] 两平行线间的距离为 d==, 由图知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°, 所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°. [点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距 离,考查数形结合的思想.是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂 的题目,但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻,这一问题还是不难 解决的.所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂,只有以 思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变. 三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知直线l经过点P(-2,5)且斜率为-, (1)求直线l的方程; (2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方 程. [解析] (1)直线l的方程为:y-5=-(x+2)整理得 3x+4y-14=0. (2)设直线m的方程为3x+4y+n=0, d==3, 解得n=1或-29. ∴直线m的方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0. 18.(本小题满分12分)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC

边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求: (1)顶点C的坐标; (2)直线MN的方程. [解析] (1)设点C的坐标为(x,y),则有=0,=0, ∴x=-5,y=-3,故C的坐标为(-5,-3). (2)由题意在,M(0,-),N(1,0), ∴直线MN的方程为x+=1,即5x-2y-5=0. 19.(本小题满分12分)求经过两直线3x+4y-5=0与2x-3y+8=0
的交点M,且与直线l1:2x+y+5=0平行的直线l2的方程,并求l1与l2间 的距离.
[解析] 由解得,所以交点M(-1,2). 由直线l2与直线l1:2x+y+5=0平行,得直线l2的斜率为-2. 所以直线l2的方程为y-2=-2(x+1),即2x+y=0. 由两平行直线间的距离公式,得l1与l2间的距离为=. 20.(本小题满分12分)根据下列条件求直线方程: (1)已知直线过点P(-2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1; (2)过两直线3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交点,且垂直于直线x+ 3y+4=0. [解析] (1)设所求直线的方程为+=1. 由题意得 解得或 故所求直线方程为+y=1或+=1, 即x+2y-2=0或2x+y+2=0. (2)解法一:设所求直线方程为3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0,即(3+ λ)x+(3λ-2)y+(1+4λ)=0. 由所求直线垂直于直线x+3y+4=0,得 -·(-)=-1. 解得λ=.

故所求直线方程是3x-y+2=0. 解法二:设所求直线方程为3x-y+m=0. 由解得 即两已知直线的交点为(-1,-1). 又3x-y+m=0过点(-1,-1), 故-3+1+m=0,m=2. 故所求直线方程为3x-y+2=0. 21.(本小题满分12分)直线过点P(,2)且与x轴、y轴的正半轴分别 交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条 件: (1)△AOB的周长为12; (2)△AOB的面积为6. 若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由. [解析] 设直线方程为+=1(a>0,b>0), 若满足条件(1),则a+b+=12, ① 又∵直线过点P(,2),∵+=1. ② 由①②可得5a2-32a+48=0, 解得或 ∴所求直线的方程为+=1或+=1, 即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0. 若满足条件(2),则ab=12, ③ 由题意得,+=1, ④ 由③④整理得a2-6a+8=0, 解得或 ∴所求直线的方程为+=1或+=1, 即3x+4y-12=0或3x+y-6=0. 综上所述:存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y- 12=0.

22.(本小题满分12分)有定点P(6,4)及定直线l:y=4x,点Q是l上在 第一象限内的点,PQ交x轴的正半轴于点M,问点Q在什么位置时, △OMQ的面积最小,并求出最小值.
[解析] 如图,由点Q在直线y=4x上,设点Q(x0,4x0),且x0>0.需求 直线PQ与x轴的交点M的横坐标,因为S△OQM=·|OM|·4x0=f(x0)是x0的函 数,利用函数求最小值的方法求得面积的最小值及点Q的坐标.
设点Q(x0,4x0)(x0>0且x0≠6), ∴直线PQ的方程为y-4=(x-6). 令y=0得x=, ∴点M的坐标为(,0).

设△OMQ的面积为S, 则S=|OM|·4x0=, 即10x-Sx0+S=0. ∵x0∈R,∴关于x0的一元二次方程有实根. ∴Δ=S2-40S≥0,即S≥40. 当S=40时,x0=2,4x0=8, ∴点Q的坐标为(2,8). 而当x0=6时,点Q的坐标为(6,24), 此时S=×6×24=72>40,不符合要求. 故当点Q的坐标为(2,8)时,△OMQ的面积最小,且最小值为40.


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