2018-2019学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学试题Word版含解析

2018-2019 学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学 试题

一、单选题 1.若 a ? b ,则下列不等式成立的是(
A. 1 ? 1 ab
C. a2 ? b2
【答案】D



B. ax2 ? bx2

D.

a 3x

?

b 3x

【解析】取特殊值检验,利用排除法得答案。

【详解】

因为 a ? b ,则当 a ? 1,b ? ?1时 1 ? 1 ,故 A 错;当 x ? 0 时 ax2 ? bx2 ,故 B 错; ab

当a

? 1,b ? ?1时, a2

?

b2

,故

C

错;因为

a

?

b



1 3x

?

0

,所以

a 3x

?

b 3x

故选 D.

【点睛】

本题考查不等式的基本性质,属于简单题。

2.在△ABC 中, ?A ? ? , BC ? 6, AB ? 2 6 ,则 ?C ? ( 3

A. ? 或 3? 44

B. 3? 4

C. ? 4

) D. ? 6

【答案】C

【解析】由正弦定理计算即可。

【详解】

由题根据正弦定理可得 BC ? AC sin A sin C



6 3

?

26 sin C

,解得 sin C

?

2 2



2

所以 ?C 为 ? 或 3? ,又因为 ?A ? ? ,所以 ?C 为 ?

44

3

4

故选 C. 【点睛】

本题考查正弦定理,属于简单题。

? ? 3.已知数列 an 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 1,则 a10 ? ( )

A.10

B.20

C.100

D.200

【答案】C

? ? ? ? 【解析】由题可得数列 an 是以1为首相,1为公差的等差数列,求出数列 an 的

通项公式,进而求出 a10 ? 100
【详解】
? ? 因为 a1 ? 1, an?1 ? an ? 1,所以数列 an 是以1为首相,1为公差的等差数列

an ?1? ?n ?1??1 ? n ,所以 a10 ?10 ,则 a10 ? 100
【点睛】 本题考查由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式,属于一般题。

4.关于 x 的不等式 ax ?b ? 0 的解集是 (1, ??) ,则关于 x 的不等式 (ax ? b)(x ? 3) ? 0

的解集是 ( )

A. (??, ?1) (3, ??)

B. (?1,3)

C. (1,3)

D. (??,1) (3, ??)

【答案】A
【解析】由已知不等式的解集可知 a ? 0 且 b ? 1;从而可解得 ?ax ? b?? x ? 3? ? 0的根,
a
根据二次函数图象可得所求不等式的解集.
【详解】
由 ax ?b ? 0的解集为 ?1, ??? 可知: a ? 0 且 b ? 1
a
令 ?ax ? b?? x ? 3? ? 0,解得: x1 ? ?1, x2 ? 3

a ? 0 ??ax ? b??x ?3? ? 0 的解集为: ???, ?1? ?3, ???

本题正确选项: A
【点睛】 本题考查一元二次不等式的求解问题,关键是能够通过一次不等式的解集确定方程的根 和二次函数的开口方向. 5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:“今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四 斤,斩末一尺,重二斤.”意思是:“现有一根金锤,长 5 尺,头部 1 尺,重 4 斤,尾部 1 尺,重 2 斤”,若该金锤从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,该金锤共重多少斤? ()

A.6 斤

B.7 斤

C.9 斤

【答案】D

【解析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.

【详解】

? ? 因为每一尺的重量构成等差数列 an , a1 ? 4 , a5 ? 2 ,

D.15 斤

?a1 ? a5 ? 6 ,

数列的前 5 项和为 S5

? 5? a1 ? a5 2

? 5? 3 ? 15 .

即金锤共重 15 斤,

故选 D.

【点睛】

本题主要考查等差数列求和公式的应用,意在考查运用所学知识解答实际问题的能力,

属于基础题.

? ? 6.等差数列 an 前 n 项和为 Sn ,满足 S10 ? S20 ,则下列结论中正确的是( )

A. S15 是 Sn 中的最大值

B. S15 是 Sn 中的最小值

C. S15 ? 0

D. S30 = 0

【答案】D

【解析】本题考查等差数列的前 n 项和公式,等差数列的性质,二次函数的性质.

设公差为 d , 则由等差数列前

n

项和公式 Sn

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

知: Sn

是n

的二次函数;



S10

?

S20

知对应二次函数图像的对称轴为 n

?

10

? 20 2

? 15;

于是对应二次函数为

f (n) ? a(n ?15)2 ? b; 无法确定 a ? 0或a ? 0或a ? 0; 所以根据条件无法确定 Sn 有没

有最值;但是根据二次函数图像的对称性,必有 f (0) ? f (30) ? 0, 即 S30 ? 0. 故选 D
? ? ? ? 7.各项不为零的等差数列 an 中, 4a3 ? a72 ? 4a11 ? 0 ,数列 bn 是等比数列,且

b7 ? a7 ,则 b6b8 ? ( )

A.4

B.8

【答案】D

C.16

D.64

【解析】根据等差数列性质可求得 a7 ,再利用等比数列性质求得结果.
【详解】

? ? 由等差数列性质可得: 4a3 ? a72 ? 4a11 ? 4 a3 ? a11 ? a72 ? 8a7 ? a72 ? 0

又?an?各项不为零 ?a7 ? 8 ,即 b7 ? 8

由等比数列性质可得: b6b8 ? b72 ? 64 本题正确选项: D
【点睛】 本题考查等差数列、等比数列性质的应用,属于基础题.

8.在 ?ABC 中,内角 A, B,C 所对应的边分别为 a,b, c ,若 b sin A ? 3a cos B ? 0 ,

且三边 a,b, c 成等比数列,则 a ? c 的值为( ) 2b

A. 2 4

B. 2 2

C. 2

D.1

【答案】C
【解析】由正弦定理整理可得 tan B ? 3 ,进而可知在三角形中 B ? ? ,由 a,b, c 成 3
等比数列得 b2 ? ac ,再根据余弦定理化简配方,从而得出答案。

【详解】
由正弦定理可知 a ? b ? 2R ,所以 a ? 2Rsin A , b ? 2Rsin B sin A sin B
所以 b sin A ? 3a cos B ? 2R sin B sin A ? 2 3R sin Acos B ? 0 ,

因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,解得 tan B ? 3 ,
又因为 B??0,? ? ,所以 B ? ?
3 由 a,b, c 成等比数列得 b2 ? ac
所以 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? a2 ? c2 ? ac ,所以 4b2 ? ?a ? c?2
a?c ?2 2b
故选 C. 【点睛】 本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题,属于简单题。

9.已知 ?ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 b ? 1, acosB ? 1? cosA,则

?ABC 的形状为( )
A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形 【答案】A

D.等腰或直角三角形

【解析】 ?ABC 中, b ? 1, acosB ?1? cosA,所以 acosB ? b ?bcosA.

由正弦定理得: sinAcosB ? sinB ? sinBcosA. 所以 sinAcosB ??sinBcosA ??sinB .
所以 sin?? ?C? ? sinB ,即 sinC ? sinB

因为 B,C 为 ?ABC 的内角,所以 B ? C 所以 ?ABC 为等腰三角形.
故选 A.
10.在 ?ABC 中,已知其面积为 S ? a2 ? (b ? c)2 ,则 tan A =( )

A. 3 4

B. 8 17

C. 8 15

D. 17 19

【答案】C

【解析】由题结合余弦定理可得 1 bc sin A ? 2bc cos A ? 2bc ,整理化简有 2

2sin A cos A ? 4? 2sin2 A ,进而可计算出 tan A ? 1 ,再由正切的二倍角公式计算

22

2

24

可得答案。

【详解】

由题意得 S ? 1 bc sin A ? a2 ? (b ? c)2 ? ?b2 ? c2 ? a2 ? 2bc , 2

又因为 b2 ? c2 ? a2 ? 2bc cos A,所以 1 bc sin A ? 2bc cos A ? 2bc , 2

整理得 sin A ? 4?1? cos A? ,所以 2sin A cos A ? 4? 2sin2 A

22

2

即 cos A ? 4sin A ,所以 tan A ? 1

2

2

24

,则 tan A ?

2 tan A 2

?8

1? tan2 A 15

2

故选 C.

【点睛】

本题考查的知识点有三角形的面积公式,余弦定理,二倍角公式,属于一般题。

? ? 11.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1, 2Sn ? an ?1an ,则 S20 ? ( )

A.200 【答案】B

B.210

C.400

D.410

【解析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式,进一步利用等差数列的前 n 项和公
式的应用求出结果。 【详解】

由题 a1 ? 1, 2Sn ? an?1an ,又因为 a1 ? S1

所以当 n ?1 时,可解的 a2 ? 2

当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? anan?1 ,与 2Sn ? an?1an 相减得 an?1 ? an ? 2
? 当 n 为奇数时,数列 an? 是以1为首相, 2 为公差的等差数列, an ? 2n ?1 ? 当 n 为偶数时,数列 an? 是以 2 为首相, 2 为公差的等差数列, an ? 2n

所以当 n 为正整数时, an ? n ,

则 S20 ? 1? 2 ? 3 ? ? 20 ? 210

故选 B.

【点睛】

本题考查的知识点有数列通项公式的求法及应用,等差数列的前 n 项和公式的应用,主

要考查学生的运算能力和转化能力,属于一般题。

? ? 12.已知数列

an

满足 a1

? 1,an

?Z

,且 an?1

? an?1

?

3n

?

1 2

,an?2

? an

?

3n?1

?

1 2



则 a2019 ? (



A. 32021 ?1 8

B. 32020 ?1 8

C. 32019 ?1 8

D. 32018 ?1 8

【答案】B

【解析】由题结合不等式性质可得 an?1 ? an?1 ? 3n ,利用累加法可求得答案。

【详解】

因为 an?2

? an

?

3n?1

?

1 2

,所以 an?1

? an?1

?

3n

?

1 2



又因为

an

?

Z

,且

an?1

?

an?1

?

3n

?

1 2



所以 an?1 ? an?1 ? 3n ,则

a3 ? a1 ? 32

a5 ? a3 ? 34

a7 ? a5 ? 36

a2019 ? a2017 ? 32018

? ? 累加得 a2019 ? a1 ? 32 ? 34 ? 36 ?

9 1? 91009 ? 32018 ?

? 32020 ? 9

1? 9

8

又因为 a1

? 1,所以 a2019

?

32020 ? 9 8

?1?

32020 8

?1

故选 B. 【点睛】

本题考查利用累加法求数列的通项公式,解题的关键是求得 an?1 ? an?1 ? 3n ,属于一般
题。

二、填空题
13.不等式 1? x ? 2 的解集是______. x

【答案】

? ??

0,

1 3

? ??

【解析】由题可得 1? 3x ? 0 ,分式化乘积得 ?3x ?1? x ? 0 ,进而求得解集。
x
【详解】

由 1? x ? 2 移项通分可得 1? 3x ? 0 ,即 ?3x ?1? x ? 0 ,解得 1 ? x ? 0 ,

x

x

3

故解集为

? ??

0,

1 3

? ??

【点睛】 本题考查分式不等式的解法,属于基础题。

? ? 14.数列 ? an 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 an? 的前 n 项和,若 Sn ? 62 ,则 n ? ____.
【答案】 5
? ? 【解析】由 a1 ? 2, an?1 ? 2an ,结合等比数列的定义可知数列 an 是以 2 为首项,2 为
公比的等比数列,代入等比数列的求和公式即可求解。 【详解】

因为 an?1

?

2an ,所以

an?1 an

?

2

,又因为 a1

?

2

? 所以数列 an? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,

? ? 所以由等比数列的求和公式得

Sn

?

2? 1? 2n 1? 2

? 62 ,解得 n ? 5

【点睛】

本题考查利用等比数列的定义求通项公式以及等比数列的求和公式,属于简单题。

? 15.若数列 an? 是正项数列,且 a1 ? a2 ? ??? ? an ? n2 ? 3n(n? N*) ,则

an ? _______.

【答案】 4?n ?1?2

【解析】有已知条件可得出 a1 ? 16 , n ? 2 时
a1 ? a2 ? ??? ? an?1 ? ?n ?1?2 ? 3?n ?1?(n? N*) ,与题中的递推关系式相减即可 得出 an ? 4?n ?1?2 ,且当 n ?1时也成立。
【详解】
? 数列 an? 是正项数列,且 a1 ? a2 ? ??? ? an ? n2 ? 3n(n? N*)
所以 a1 ? 4 ,即 a1 ? 16
n ? 2 时 a1 ? a2 ? ??? ? an?1 ? ?n ?1?2 ? 3?n ?1?(n? N*)
两式相减得 an ? 2n ? 2 ,
所以 an ? 4?n ?1?2 ( n ? 2 ) 当 n ?1时, a1 ? 16 适合上式,所以 an ? 4?n ?1?2
【点睛】 本题考差有递推关系式求数列的通项公式,属于一般题。 16.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角

形面积的方法——“三斜求积术”,即 ?ABC 的 S ?

1 4

? ?a2c2 ??

?

? ? ?

a2

?

c2 2

?

b2

?2 ? ?

? ? ??

,其

中 a,b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B,C 的对边.若 b ? 2 ,且 tan C ? 3 sin B , 则 1? 3 cos B
?ABC 的面积 S 的最大值为____.

【答案】 3 2

【解析】由已知利用正弦定理可求 c ? 3a ,代入“三斜求积”公式即可求得答案。
【详解】

因为 tan C ? 3 sin B ,所以 sin C ? 3 sin B

1? 3 cos B

cosC 1? 3 cos B

整理可得 sin C ? 3 sin ?B ? C? ? 3 sin A ,由正弦定理得 c ? 3a

因为 b ? 2 ,

? ? ? ? 所以 S ?

1 4

? ?a2c2 ??

? ??
?

a2

?

c2 2

? b2

?2 ? ?? ? ??

?

1 4

???3a4

?

2a2

?1

2

? ??

?

?1

a2 ? 2

23 ?

4

4

所以当 a ? 2 时, ?ABC 的面积 S 的最大值为 3 2
【点睛】 本题用到的知识点有同角三角函数的基本关系式,两角和的正弦公式,正弦定理等,考 查学生分析问题的能力和计算整理能力。

三、解答题
? ? 17.已知公差大于零的等差数列 an 满足: a3a4 ? 48, a3 ? a4 ? 14 . (1)求数列 ?an ? 通项公式; ? ? (2)记 bn ? an ? ( 2)an ,求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
【答案】(1) an ? 2n (2) Tn ? 2n?1 ? n2 ? n ? 2 【解析】(1)由题可计算得 a3 ? 6, a4 ? 8 ,求出公差,进而求出通项公式
(2)利用等差数列和等比数列的求和公式计算即可。 【详解】
解:(1)由公差 d ? 0 及 a3a4 ? 48, a3 ? a4 ? 14 ,解得 a3 ? 6, a4 ? 8 ,
所以 d ? a4 ? a3 ? 2 ,所以通项 an ? a3 ? ?n ?3?d ? 2n
? ? (2)由(1)有 bn ? an ? 2 an ? 2n ? 2n ,

? ? 所以数列?bn?的前

n

项和 Tn

?

n(2 ? 2

2n)

?

2

1? 2n 1? 2

? 2n?1 ? n2 ? n ? 2 .

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式以及等差数列和等比数列的求和公式,属于简单题。

18.在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且 csin B ? bcosC ? 3 .

(1)求边长 b ; (2)若 ?ABC 的面积为 21 ,求边长 c .
2 【答案】(1) 3 2 ;(2) 5 .
【解析】试题分析:本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形 面积公式等基础知识,同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力. 第一
问,利用正弦定理将边换成角,消去 sin B ,解出角 C,再利用 bcosC ? 3解出边 b 的 长;第二问,利用三角形面积公式 S ? 1 ac sin B ,可直接解出 a 边的值,再利用余弦
2 定理 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C 解出边 c 的长.

试题解析:(Ⅰ)由正弦定理得 sin C sin B ? sin BcosC ,

又 sin B ? 0 ,所以 sinC ? cosC , C ? 450 .

因为 bcosC ? 3,所以 b ? 3 2 . …6 分

(Ⅱ)因为 S ? 1 ac sin B ? 21 , csin B ? 3 ,所以 a ? 7 .

2

2

据余弦定理可得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 25,所以 c ? 5 . …12 分

【考点】正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.

19.已知函数 f (x) ? x2 ? (a ? 2)x ? 2a(a ? R) .

(1)求不等式 f (x) ? 0 的解集;

(2)若当 x ?R 时, f (x) ? ?4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2) a ???2,6?

【解析】(1)不等式 f (x) ? 0 可化为:(x ? 2)(x ? a) ? 0 ,比较 a 与 2 的大小,进而求
出解集。
(2) f (x) ? ?4 恒成立即 x2 ? (a ? 2)x ? 2a ? 4 ? 0 恒成立,则

? ? (a ? 2)2 ? 4(2a ? 4) ? 0 ,进而求得答案。

【详解】
解:(1)不等式 f (x) ? 0 可化为: (x ? 2)(x ? a) ? 0 ,

①当 a ? 2 时,不等 f (x) ? 0 无解;
? ? ②当 a ? 2 时,不等式 f (x) ? 0的解集为 x 2 ? x ? a ; ? ? ③当 a ? 2 时,不等式 f (x) ? 0的解集为 x a ? x ? 2 .

(2)由 f (x) ? ?4 可化为: x2 ? (a ? 2)x ? 2a ? 4 ? 0 ,

必有: ? ? (a ? 2)2 ? 4(2a ? 4) ? 0 ,化为 a2 ? 4a ?12 ? 0 ,

解得: a ???2,6?.

【点睛】 本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题,属于一般题。

20.等差数列?an?的各项均为正数,a1 ? 3,?an?的前 n 项和为 Sn ,?bn?为等比数列,

b1 ? 2 ,且 b2S2 ? 32, b3S3 ? 120 .

(1)求 an 与 bn ;

? ? (2)求数列 anbn 的前 n 项和 Tn .

【答案】(1) an ? 2n ?1, bn ? 2n ;(2)Tn ? (2n ?1) ? 2n?1 ? 2
【解析】试题分析: (1)?an?的公差为 d ,?bn?的公比为 q ,利用等比数列的通项

公式和等差数列的前 n 项和公式,由 b2S2 ? 32, b3S3 ? 120 列出关于 q, d 的方程组,解

出 q, d 的值,从而得到 an 与 bn 的表达式.

? ? (2)根据数列 anbn 的特点,可用错位相减法求它的前 n 项和 Tn ,由(1)的结果知

anbn ? (2n ?1) ? 2n

Tn ? 3? 2 ? 5 ? 22 ? ? (2n ?1) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n

(1) ,两边同乘以 2 得

2Tn ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ?1) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1

(2)

由(1)(2)两式两边分别相减,可转化为等比数列的求和问题解决.

试题解析:(1)设?an?的公差为 d ,?bn?的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? 2qn?1

依题意有{S3b3 ? (9 ? 3d)2q2 ? 120 ,即{(9 ? 3d)q2 ? 60 ,

S2b2 ? (6 ? d)2q ? 32

(6 ? d)q ?16

d 解得{

?

2

d

, 或者{

?

?

6 5

(舍去),

q?2

q ? 10

3

故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 2n 。 4 分

(2) anbn ? (2n ?1) ? 2n 。 6 分

Tn ? 3? 2 ? 5? 22 ? ? (2n ?1) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ,

2Tn ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ?1) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ,

两式相减得 ?Tn ? 3? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? 2 ? 2n ? (2n ?1)2n?1 8 分

? 2 ? 22 ? 23 ? ? 2n?1 ? (2n ?1)2n?1 ? 2n?2 ? 2 ? (2n ?1)2n?1 ? (1? 2n)2n?1 ? 2 ,

所以Tn ? (2n ?1) ? 2n?1 ? 2 12 分 【考点】1、等差数列和等比数列;2、错位相减法求特数列的前 n 项和.
21.在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边是 a,b, c ,若向量 m ? ?cosB,cosC? 与

n ? (2a ? b, c) 共线.

(1)求角 C 的大小; (2)若 c ?1,求 ?ABC 周长 l 的取值范围.
【答案】(1) C ? ? (2) l ??2,3?
3
【解析】(1)由题可得 ccosB ? ?2a ? b?cosC ,利用正弦定理边化角以及两角和的正

弦公式整理可得 cosC ? 1 ,进而得到答案。 2

(2)由正弦定理得 a ? 2 sinA , b ? 2 sinB ,所以周长

3

3

l ?a?b?c?

2 sinA ? 3

2 3

sin

B+1

,化简整理得 l

?

2 sin

? ??

A

?

? 6

? ??

+1 ,再根据角

A

的范围求得答案。

【详解】

解:(1)由 m 与 n 共线,得 ccosB ? ?2a ?b?cosC ,

由正弦定理得: sinCcosB ? ?2sinA?sinB?cosC ? 2sinAcosC ?sinBcosC ,

所以 sinCcosB ? sinBcosC ? sin?B ? C? ? sinA ? 2sinAcosC
又 sinA ? 0 ,所以 cosC ? 1 2
因为 C ??0,? ? ,解得 C ? ? .
3
a ? b ? c ?1?2 (2)由正弦定理得: sinA sinB sinC 3 3 ,
2

则 a ? 2 sinA , b ? 2 sinB ,

3

3

所以周长 l ? a ? b ? c ? 2 sinA ? 2 sin B+1

3

3

?

2 sinA ? 3

2 3

sin

? ??

2? 3

?

A

? ??

+1

?

2

sin

? ??

A

?

? 6

? ??

+1

因为

A

?

? ??

0,

2? 3

? ??



A

?

? 6

?

? ??

? 6

,

5? 6

? ??

,所以 sin

? ??

A?

? 6

? ??

?

? ??

1 2

,1???



故 l ??2,3?

【点睛】

本题考查的知识点有正弦定理边化角以及两角和差的正弦公式,三角函数的性质,属于

一般题。

22.已知数列?an?前 n

项和为

Sn

,满足 a1

?

1 2



Sn

?

n2an

?

n(n

? 1)

(1)证明:数列

? ? ?

n

? n

1

S

n

? ? ?

是等差数列,并求

S

n



(2)设 bn

?

n3

Sn ? 3n2

,求证: b1

?

b2

? ... ?

bn

?

5 12

.

【答案】(1)

Sn

?

n2 n ?1

.(2)见解析.

【解析】(1)由 Sn=n2an ? n(n ?1) 可得,当 n ? 2 时, Sn=n2 (Sn ? Sn?1) ? n(n ?1) ,

两式相减可

? ? ?

n

? n

1

Sn

? ? ?

是等差数列,结合等差数列的通项公式可求

n

?1 n

Sn

进而可求(2)

由(1)可得 bn

?

1 2

(1 ? n ?1

1) n?3

,利用裂项相消法可求和,即可证明.试题分析:(1)

(2)

试题解析:(1)由 Sn ? n2an ? n(n ?1) 知,当 n ? 2时Sn ? n2 (Sn ? Sn?1) ? n(n ?1)

即 n ? 2时(n2 ?1)Sn ? n2Sn?1 ? n(n ?1)

所以

n

?

2时,n

?1 n

Sn

?

n n ?1

Sn?1

?

1



1?1 1

S1

?

1

故数列

? ? ?

n

? n

1

Sn

? ? ?

是以

1

为首项,1

为公差的等差数列,且

(2)因为

所以

【考点】数列递推式;等差关系的确定;数列的求和


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