概率论与数理统计期末试卷答案

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概率论与数理统计试题(1)
一、 单项选择题(本大题共有 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分)
1 如果 A ,B 为任意事件,下列命题正确的是 ( B A:若 A ,B 互不相容,则 A , B 也互不相容 也相互独立 C:若 A,B 不相容,则 A,B 互相独立 D: AB ? A ? B )。 B:若 A ,B 相互独立,则 A , B

2 某人独射击时中靶率为 2/3,若射击直到中靶为止,则射击次数为 4 的概率 是( C )
?2? A: ? ? ?3?
3

?2? 1 B: ? ? ? ?3? 3

3

?1? 2 C: ? ? ? ?3? 3
x?0 其它

3

?1? D: ? ? ?3?

3

? ke ?2 x 3 设 X 的密度为 f ( x) ? ? ?0

,则 k ? ( A)

A:2

B:1/2

C: 4

D: 1/4

4. 设 R .V . X ~ N (?3,1) , R .V .Y ~ N (2,1) , 且 X 和 Y 相 互 独 立 , 令
Z ? X ? 2Y ? 7 ,则 Z 服从( A)分布。

A: N (0,5)

B: N (0,3)

C: N (0,46)

D: N (0,54) B )。

5, 如果 X,Y 为两个随机变量, 满足 ? XY ? 0 ,下列命题中错误的是 (

A:X,Y 不相关 B:X,Y 相互独立 C:E(XY) =E(X)E(Y) D:D(X-Y) =D(X)+D(Y) 二、填空题(本大题共有 6 个小题,每空 2 分,共 20 分) 4 A,B 为两个随机事件, 若 P(A)=0.4, P(B)=0.2, 若 A,B 互不相容, 则 P(A-B)= 0.4 ,P( A ? B )= 0.4

5 一个袋中装有 5 个白球 4 个黑球。从中随机取 2 个(不放回) ,则取出的球 依次为白,黑两球的概率为 5/18 ,取出第二个为白球的概率为 5/9 , 如果已知第二次取出的为白球, 则第一次取出的为黑球的概率为 1/2 6 某学生和朋友约定: 在他参加的 3 门不同的考试中如果有一门过了 95 分就 要开香槟庆祝,已知他这 3 门功课过 95 分的概率分别为 1/2,1/4,1/5,则他 们开香槟庆祝的概率为 0.7 7.若在高中生中,学生的平均身高为 165 厘米,方差为 10,利用切比雪夫不
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等式估计身高在 160 厘米~170 厘米之间的概率至少为

0.6

?e ? y , y ? 0 8 若 X~N(1,4),Y 的概率密度函数 f ( y ) ? ? ,X,Y 互相独立,则 ? 0, 其它

E(2X+Y-2XY+2)=

3 ,D(2X+Y-2)= 17 1 9 设 D(X)=D(Y)=1, ? XY ? ,则 D(X+2Y)= 7 2 三、解答题(本大题共有 3 个小题,共 32 分) 10 (7 分) 有 A,B,C 三厂同时生产某种产品。 A,B,C 三厂的产量之比为 1:1:3, 次品率分别为 4%,3%,2%。 1,若从一批产品中随机抽出一件,求这件产品为次品的概率。 (4 分) 2,若产品的售后部门接到一名顾客投诉,说其购买的产品为次品,请问那个 厂最该为此事负责,为什么?(3 分) 解:设 A:抽出的产品为次品。 Bi : 选出的产品来自第i厂。 则
n 1 1 3 P ( A) ? ? p ( Bi ) P ( A | Bi )= ?4%+ ? 3%+ ?2%=2.6% 5 5 5 i ?1 1 ?4% P ( B1 A) 5 4 由于P ( B1|A) ? = = P ( A) 2.6% 13 1 3 ? 3% ?2% P ( B1 A) 5 P ( B1 A) 5 3 6 P ( B2 |A) ? = = ,P( B3 |A) ? = = P ( A) 2.6% 13 P( A) 2.6% 13

所以在产品为次品的情况下,产品来自 C 厂的可能性最大,C 厂最该负责。

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11(10 分)某电话在 t 小时的间隔内收到呼叫次数 X 服从参数为 3t 的泊松分布,求
a,某一个小时内恰有 5 次呼叫的概率; (3 分) b,某一天上午 9 点到 11 点至少收到 3 次呼叫的概率。 (3 分) c,若 t=3,求 E(X),D(X). (4 分)

解:若 t=1,则 X~ ? (3),查表可知 P(X=5)=0.9161-0.8153=0.1008 若 t=2,则 X~ ? (6),查表可知 P(X≥3)=1-P(X≤2)=1-0.062=0.938 若 t=3,则 X~ ? (9),E(X)=D(X)=9
?cxy, 0 ? x ? y ? 1 12(15 分) ,设二维随机变量 X,Y 的概率密度为 f ( x, y ) ? ? 0, 其他 ?

1,确定常数 c(3 分) 2,求概率 P(X+Y<1) (4 分). 3,求边缘概率密度 f X ( x), fY ( y) ,并判断 X,Y 是否互相独立。(6 分) 4,求 E(
1 ).(2 分) XY
1 1 0 x

解:? ? ? f ( x, y)dxdy ? ? dx ? cxydy ? 1 ?
2, P( X ? Y ? 1) ? ? dx ?
1 2 0 1? x

c 1 c ( x ? x3 )dx ? ? 1, c ? ( 8 3分) ? 0 2 8

x

8 xydy ?

1 1 1 ? ? (4分) 2 3 6

1 y 2 3 ? ? ? ?x 8 xydy ?4 x(1 ? x ), 0 ? x ? 1 ? ?0 8 xydx ?4 y , 0 ? y ? 1 3, f X ( x) ? ? ,fY ( y ) ? ? (4分) ? ? 0, 其他 0, 其他 ? ? ? f X ( x) fY ( y ) ? f ( x, y ), 故X , Y 不互相独立。(2分)
1 1 1 1 1 ) ? ? dx ? 8 xydy ? ? 8(1 ? x 2 )dx ? ( 4 2分) 0 x xy 0 XY

? 4,E (

四、计算题(本大题共有 3 小题,共 28 分) 13(10 分) 某地区 18~24 岁的年轻人血压服从 N(100, 152 )分布,在该地区任选 一名测量其血压为 X,求 a,P(X≤112),P(X≥115)(查表,结果保留 4 位小数)(6 分) b,确定常数 a,使得 P(X>a) ≤0.05 (4 分)
? E ( X ) ? 100, D( X ) ? 152 , 解: X ? 100 112 ? 100 P( X ? 112) ? P( ? ) ? P(U ? 0.8) ? ? (0.8) ? 0.7881(3分) 15 15

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X ? 100 115 ? 100 ? ) ? 1 ? ?(1) ? 0.1587 (3分) 15 15 X ? 100 a ? 100 a ? 100 若P(X>a) ? 0.05, 1 ? P( ? ) ? 0.05,?( ) ? 0.95 15 15 15 P( X ? 115) ? 1 ? P(

查表知 a>=125,(4 分) 14(12 分) 某厂收到 A,B 两种产品的订货单数分别为 X 和 Y 万件。据以往的资料显示,
X,Y 的联合分布律为

Y

1

2

3

4

X

X 1 0.01 0.03 0.04 0.02 0.1 2 0.05 0.15 0.2 0.1 0.5 3 0.04 0.12 0.16 0.08 0.4 Y 0.1 0.3 0.4 0.2 1 1,求 P(X<3,Y<3)(2 分) 2,求 X,Y 的边缘分布律(可以将答案在表中表示) 。 (4 分) 3,求 E(X),E(Y).并判断 X,Y 是否互相独立。 (6 分) 解:1,P(X<3,Y<3)=0.01+0.03+0.05+0.15=0.24 (2 分) E(X)=0.1+2×0.5+3×0.4=2.3,E(Y)= 0.1+2×0.3+3×0.4+4×0.2=2.7 由于 P(ij)= P(X=i)P(Y=j),对所有 I=1,2,3;y=1,2,3,4 都成立。 所以 X,Y 互相独立。 (6 分) 15(6 分)从下题中任选一题求解,如果两题都做了,以得分最高的题为准。 A, 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,在(1,2)上服从均匀分布。求 Z= X+Y 的概率密度函数 f Z ( z ) B,
?3 x 2 设随机变量 X 的概率密度函数为 f X ( x) ? ? ?0 0 ? x ?1 其它 ,

若 Y=1-3X,求 Y 的概率密度函数 fY ( y ) . 解:X=(1-Y)/3,由公式
1? y ? 1? y 2 1 ? 1? y 2 ) ? 0? ? 1 ?( ) ? 2 ? y ?1 ?3( fY ( y ) ? ? ?? 3 , 3 3 3 ? ? 0 其它 其它 ? ? 0

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