4-1 期望方差_图文

第四章

随机变量的数字特征

引例: 甲、乙两支球队比赛篮球. 假设两队的技术风格 打法差不多, 纯粹从队员的身高去考虑. 甲队五名主力 的身高分别是210,200,200,190,190; 乙队五名主力 的身高则为220,200,200,190,180. 问: 哪队有优势?

记甲队队员身高为X, 乙队队员身高为Y.

X 190 200 210 P
2 5 2 5 1 5

,

Y 180 190 200 220 P 1 1 2 1 5 5 5 5

平均身高:

2 2 1 E ? X ? ? 190 ? ? 200 ? ? 210 ? ? 198 5 5 5
同理

E ?Y ? ? 198

偏离程度:

2 ? ? 200 ? 198 ?2 ? 2 D ? X ? ? ?190 ? 198? ? 5 5
2

? ? 210 ? 198? ? 15 ? 56
2

同样算得

D ?Y ? ? 176

结论?

再如: 两平行班在某考试中, 甲、乙班的平均分相等, 但偏离程度甲班比乙班高. 说明?

随机变量的分布全面描述了随机现象的统计规律, 然 而许多实际问题, 随机变量的分布并不能简单的求得. 另一方面, 有些实际问题往往并不需要知道整个分布函 数, 而仅需要某些关键数据, 这些关键数据在概率统计 上就称为随机变量的数字特征.

§4.1 数学期望 expectation
定义4.1 离散型随机变量的数学期望 设 X 是离散型随机变量, 其概率函数为

P ? X ? ai ? ? pi
即: X 有分布列

? i ? 1, 2,3,?? ,

X P

a1

a2

p1 p2

? an ? , ? pn ?

若级数

望, 并记为E ? X ? , 即

? ai pi 绝对收敛, i ?1

?

则称其为随机变量 X 的数学期
?

E ? X ? ? ? ai pi .
i ?1

若随机变量的取值为有限多个, 则上式为

E ? X ? ? ? ai pi .
i ?1

n

例1 某人射击, 其成绩如下表:

X 7 8 9 10 P 0.1 0.4 0.45 0.05
求其平均射击环数. 解 设该射手总共射击了N次, 则击中7 环的次数为

0.1N , 相应的环数为 7 ? 0.1 ? N , 同样, 击中8环的总环数
为 8 ? 0.4 ? N , 由此得总射击环数为

S ? 7 ? 0.1N ? 8 ? 0.4 N ? 9 ? 0.45N ? 10 ? 0.05N

? 8.45N .

所以平均环数为

S ? S / N ? 8.45
? 7 ? 0.1 ? 8 ? 0.4 ? 9 ? 0.45 ? 10 ? 0.05

? ? ai pi .
i ?1

4

此例说明随机变量的数学期望表示随机变量取值的平 均值.

定义4.1’ 连续型随机变量的数学期望 设X 是连续型随机变量, 广义积分?
??

数学期望, 记为 E ? X ? , 即

??

xf ? x ?dx 绝对收敛, 则称其为随机变量X的

f ? x ?为其概率密度函数, 若

E? X ? ?

??? xf ? x?dx.

??

注: 与离散型随机变量期望的定义及物理中的重心公式
类比.

例2 设 X 是连续型随机变量, 密度函数为

求 E ? X ?. 解 由公式得

?2 x f ? x? ? ? ?0

0 ? x ?1
其它.

E?X ? ? ?

??

??

2 xf ? x ?dx ? ? 2 x dx ? . 0 3
1 2

例3 设 X 为连续型随机变量, 密度函数为

?1 ? sin x f ? x? ? ? 2 ? 0 ?
求 E ? X ?. 解 由公式得

0 ? x ? ?,
其它.

E?X ? ? ?

??

??

xf ? x ?dx ? ?

?

0

1 x sin xdx 2

1 ? ? dx ? 1 x ? ? cos x ? ? 1 ? cos xdx ? ? x ? ? cos x ? 2 0 2 2 ?0 0

?

1 1 ? ? sin x ? ? , 2 2 2 0

?

?

分部积分公式

? 注意到 正好是随机变量 X 取值的平均值. 2

例4 设 X 为连续型随机变量, 密度函数为
2 ? ? 2 f ( x) ? ? ? ?1 ? x ? ? 0 ? 问 E ? X ? 是否存在? x ? 0,
其它.

解 因

?
?

??

??

xf ? x ? dx ?

2
??

?

?

??

0

x dx 2 1? x

1

?

ln ?1 ? x 2 ?

? ??,
0

即该随机变量的数学期望不存在. 例5 求六个常用随机变量的数学期望. ⑴ 0-1分布
X Pr 0 1? p 1 p

E ? X ? ? 0 ? ?1 ? p ? ? 1? p ? p
⑵二项分布 X ~ B ? n, p ? 猜:

E ? X ? ? np

⑶泊松分布 P ? ? ? 猜: E ? X ? ? ?

P? X ? k ? ?
?

?k
k!

e??

? k ? 0,1, 2,?? ,
? k ?1

E ? X ? ? ?k
k ?1

?k
k!

e ? ? ??

? k ? 1?!

? k ?1?1

e??

?? ?

?

k ?1?0

? k ? 1?!

? k ?1

e? ? ??

⑷均匀分布 R ? a, b? 猜: E ? X ? ?
a?b 2

? 1 f ? x? ? ?b ? a ? ? 0 ?

a ? x ? b,
其余,
2 b

E?X ? ? ?

b

a

1 x x dx ? b?a 2 ?b ? a ? a

b2 ? a 2 a?b ? ? 2 ?b ? a ? 2

⑸指数分布 E ? ? ?
??e?? x f ? x? ? ? ? ? 0 ?
? 0

x ? 0, ? ? 0, x ? 0,
?? x

E ? X ? ? ? x ? ?e ? ? xe
? 0?

dx ? ?? xde?? x
0 ? 0

?

?? x ? 0
?

? ? e?? x dx

??

1

0

?e

?? x

dx ?

1

?

⑹正态分布 N ? , ? 2 猜:

?

?
2

E?X ? ? ?
1 f ? x? ? ?e 2??
? x?? ? ?
2? 2

? ?? ? x ? ?? ? ,
dx ? ?
?
? ??

E?X ? ? ? x?
??

?

1 2??

?

? x ? ? ?2
2? 2

e
t2 ? 2

?? t ? ? ?
t2 ? 2

1 2?

e

t2 ? 2

dt

? ? ?t
??

?

1 2?

e dt ? ? ?

1 2?

??

e dt ? ?

定理4.1 随机变量函数的数学期望 ⑴一维离散型随机变量函数的期望 设 X 是离散型随机变量, 概率函数为

P ? X ? ai ? ? pi ,
即有分布律

?i ? 1,2,?, n,??

X a1 a2 ? an ? . P p1 p2 ? pn ?
再设Y ? g ( X )为随机变量的函数, 若级数

? g ?a ? p
i ?1 i ?

?

i

绝对收敛, 则随机变量 Y ? g ( X ) 的数学期望为

E ?Y ? ? ? g ? ai ? pi .
i ?1

例6 设 X 为离散型随机变量, 分布律为

X ?1 0 1 2 , P 0.2 0.4 0.2 0.2
求 Y ? X 的数学期望.
2



由于该随机变量取有限个值, 故数学期望一定存在,

由公式得:

E?X

2

? ? 1? 0.2 ? 0 ? 0.4 ? 1? 0.2 ? 4 ? 0.2 ? 1.2.

⑵一维连续型随机变量函数的数学期望 设 X 是一维连续型随机变量, 密度函数为 f ? x ? , 随机 变量的函数为 Y ? g ( X ), 若广义积分
??

?

??

g ? x ? f ? x ?dx
??

绝对收敛, 则随机变量 Y 的数学期望存在, 且

E ? g ? X ? ? ? ? g ? x ? f ? x ?dx.
??

例7 设 X 为连续型随机变量, 密度函数为

?3 2 ? x f ? x ? ? ?8 ? 0 ? 2 求 E ? X ? X ?.
解 由公式得

0 ? x ? 2,
其它.

E? X ? X ? ? ?
2
2 2

??

??

?x

2

? x ? f ? x ? dx

3 2 3 2 4 ? ? ? x ? x ? x dx ? ? ? x ? x3 ?dx 0 8 8 0

3? 1 5 1 4 ? 9 ? ? x ? x ? ? ? 8? 5 4 ? 0 10

2

例8 设 X 为连续型随机变量, 密度函数为

求E X 2 . 解 由公式得

? ?

?1 ? sin x f ? x? ? ? 2 ? 0 ?

0 ? x ? ?,
其它.

E?X

2

???

??

??

x f ? x ?dx ? ?
2

?

0

1 ? 2 ? ? x ? ? cos x ?? dx 2 0

1 2 x sin xdx 2

1 2 1 ? ? ? x cos x ? 2 ? ? x cos dx 2 2 0 0
1 2 ? 1 2 ? ? ? ? ? x cos xdx ? ? ? ? x ? sin x ?? dx 0 0 2 2
? ? 1 2 1 2 ? ? ? x sin x 0 ? ? sin xdx ? ? ? 2. 0 2 2

?

例9 一工厂生产的某种设备的寿命 X (以年记)服从参 数为1/4的指数分布, 出售的设备在售出一年内损坏可予

以调换, 若该厂售出一台设备赢利100元, 调换一台设备
需花费300元, 求工厂出售一台设备净赢利的期望. 解 设 Y 为一台设备的净利润, 则

P ?Y ? 100? ? P ? X ? 1?
??
?? 1

f ? x ?dx ? ?

??

1

1 ?1/ 4 x e dx ? e ?1/ 4 , 4

P ?Y ? ?200? ? P ? X ? 1? 1 11 ? ? f ? x ?dx ? ? e ?1/ 4 x dx ? 1 ? e ?1/ 4 , ?? 0 4
所以

E ?Y ? ? 100 ? e ?1/ 4 ? ? ?200 ? ? ?1 ? e ?1/ 4 ? ? 33.64,

即: 每出售一台平均赢利33.64元.

⑶二维离散型随机变量函数的期望 设 ? X , Y ?为二维离散型随机变量, 概率函数为

P ? X ? ai ,Y ? b j ? ? pij ,
?

?i ? 1,2,?; j ? 1,2,??

Z ? g ? X ,Y ? 是随机变量的函数, 若级数
i ?1, j ?1

? g ?a ,b ? p
i j ?

ij

绝对收敛, 则函数的期望为

E ? g ? X ,Y ?? ?

i ?1, j ?1

? g ?a ,b ? p .
i j ij

例10 设离散型随机变量 X , Y ? 有分布律 ?

X \ Y ?1 0 1 2 ?1 0.1 0.05 0.1 0.05 , 0 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0.05 0.1 0.05 0.1
求随机变量 Z ? XY 的数学期望 E ? XY ? . 解 因随机变量仅取有限多个值, 故由公式得

E ? XY ? ? 0.1 ? 0.1 ? 0.1 ? 0.05 ? 0.05 ? 0.2

? 0.1.

⑷二维连续型随机变量函数的期望 设 ? X , Y ?为二维连续型随机变量,

f ? x, y ? 为相应的密

度函数, Z ? g ? X ,Y ? 为随机变量的函数, 若广义积分

? ?
??

??

??

??

g ? x, y ? f ? x, y ?dxdy
??

绝对收敛, 则函数的期望为

E ? g ? X ,Y ?? ? ?

??

?

??

??

g ? x, y ? f ? x, y ?dxdy.

例11 设连续型随机变量? X , Y ? 有密度函数
? xy 0 ? x ? 1 0 ? y ? 2, f ? x, y ? ? ? ? ? 0 其它. ?

求随机变量 Z ? X ? Y 的数学期望. 解 由公式得

E?X ? Y ? ?

??? ??? g ? x, y ? f ? x, y ? dxdy
1 2 0 0

??

??

? ? dx ? ? x ? y ? xydy

? ? dx? x ydy ? ? dx? xy 2 dy
2 0 0 0 0

1

2

1

2

? 2.

例12 设 X ? E ? ? ? , 求 E X 2 . 解

? ?

E? X

2

? ? x f ? x ? dx ? ? x2?e?? x dx ?
?? 2 ?? ?? 0
0

? ?x e

2 ? ? x ??

? 2?

??

0

xe

?? x

dx ?

??

2

??

0

x?e

?? x

dx

?2

1

?

E?X ? ?

2

?

2

.

例13 某公司生产的机器其无故障工作时间 X 为一随机 变量. 其密度函数为

?1 ? 2 f ? x? ? ? x ?0 ?

x ? 1,
其它.

(单位: 万小时). 公司每售出一台机器可获利1600元, 若机器售出后使用1.2万小时之内出现故障, 则应予以更 换, 这时每台亏损1200元, 若在1.2万小时到2万小时之间 出现故障, 则应予以维修, 由公司负担维修费400元; 若

在2万小时以后出现故障, 则由用户自己负责, 求该公司 出售每台机器的平均利润. 解 以Y 表示出售机器后的利润, 则 Y 是机器无故障工作

时间 X 的函数, 由条件得:

??1200 ? Y ? g ? X ? ? ?1200 ?1600 ?

0 ? X ? 1.2, 1.2 ? X ? 2, X ? 2.

则问题转化为求随机变量Y 的期望. 由计算公式得:

E ?Y ? ? ?

??

??

f ? x ? g ? x ? dx

??

1.2

1

2 ?? 1 1 1 ? ?1200? 2 dx ? ?1.21200 ? 2 dx ? ?2 1600 ? 2 dx x x x

? 1000.
即该公司每售出一台机器平均获利1000元

定理4.2 期望的性质 ⑴ E ? c ? ? c. ⑵ E ? kX ? c ? ? kE ? X ? ? c ⑶

E ? kX ? lY ? ? kE ? X ? ? lE ?Y ?
E ? XY ? ? E ? X ? E ?Y ?.

⑷若 X , Y 独立, 则

补证二项分布

X ~ B ? n, p ? 则

X ? U1 ? U2 ? ??? ? Un

其中 U i

~ B ?1, p ?

E ? X ? ? E ?U1 ? ? E ?U2 ? ? ??? ? E ?Un ?

? p ? p ? ? ? ? ? p ? np

例14 设

? X ,Y ? 有密度函数为

?3 0 ? x ? 1, ? x ? y ? x, ? x, f ( x, y ) ? ? 2 其它, ?0 ? 求E ? X ? , E ?Y ? , E ? XY ? , E ? XY 2 ? . y 解 y?x E ? X ? ? ?? xf ? x, y ? d?
D
1 3 2 3 3 ? ? dx ? x dy ? 3? x dx ? , 0 ?x 2 0 4 1 x

1 O y ? ?x

x

3 xydy ? 0, E ?Y ? ? ?? yf ? x, y ? d? ? ? dx ? 0 ?x 2 D
1 x

E ? XY ? ? ?? xyf ? x, y ? d?
D

奇函数积分

3 2 ? ? dx ? x ydy ? 0, 0 ?x 2 E XY 2 ? ?? xy 2 f ? x, y ? d?
1 x

?

?

D

3 2 2 1 1 2 1 ? ? dx ? x y dy ? ? x dx ? . 0 ?x 2 2 0 6
1 x

例15 毕业晚会上每人提供一礼品随机编号. 设X为 恰好抽到自己礼品的人数. 求X的数学期望. 解: X的分布很难求得. 设
?1 第i人抽到自己礼品 Xi ? ? ?0 第i人抽到别人礼品

1 则 E ? Xi ? ? n

X ? X1 ? X 2 ? ??? ? X n
1 E ? X ? ? E ? X1 ? ? E ? X 2 ? ? ? ? ? ? E ? X n ? ? n ? ? 1 n

§4.2 方差与标准差
1.方差mean-square deviation的定义 上节我们讨论了随机变量的第一个数字特征——数学 期望, 它的实际意义是随机变量取值的平均值. 但数学 期望还不能很好地反映随机变量的分布情况. 两个数学

期望相同的随机变量, 其分布情况可能存在较大的差异.
下面的例子就说明了这个问题

例16 有两批钢筋(每批10根), 它们的抗拉强度分别 为 第一批

110 120 120 125 125 125 130 130 135 140,
第二批

90 100 120 125 125 130 135 145 145 145.
算出这两批钢筋的抗拉强度的平均值均为126, 但直观上 可以看到第二数据比第一批数据与平均数126有较大的

偏离. 此例说明对随机变量而言, 仅有中心指标——数 学期望来刻画随机变量是远远不够的, 还需要刻画描述

相对于中心位置的偏离程度的指标. 通常可以用

X ? E?X ?
来刻画偏离程度,但 X ? E ? X ? 不便于计算, 为此用

? X ? E ? X ??
进行刻画, 故引入:

2

定义4.2 设X是随机变量, 且 E ? X ? 存在, 若

E ? X ? E ? X ?? ? ?

?

2

?

存在, 则称其为随机变量 X 的方差, 记为 D? X ? , 即

D ? X ? ? E ? X ? E ? X ?? . ? ?
2

?

?



D ? X ? 为 X 的标准差standard deviation.

计算公式 由期望的性质得

D? X ? ? E

?? X ? E ? X ?? ? ? E ? X ? 2E ? X ? ? X ? ? E ? X ?? ? ? ?
2
2 2

? E? X ? E? X

2

? ? 2E ? X ? ? E ? X ? ? ? E ? X ?? ? ? ? ? ? E ? X ?? ? ?
2

2

2

例17 设 X 有分布

求 D ? X ?. 解

X ?1 1 2 4 . P 0.2 0.3 0.1 0.4

由计算公式得

E ? X ? ? ?0.2 ? 0.3 ? 0.2 ? 1.6 ? 1.9, E ? X 2 ? ? 0.2 ? 0.3 ? 0.4 ? 6.4 ? 7.3
2

所以

D? X ? ? E ? X

? ? ? E ? X ?? ? ?

2

? 7.3 ? 3.61 ? 3.69.

例18 设 X 为连续型随机变量, 其概率密度函数为

求 D ? X ?.

?3 2 ? x f ? x ? ? ?8 ?0 ?

0? x?2
其它.

,

解 由计算公式:

3 3 3 E ? X ? ? ? xf ? x ?dx ? ? x dx ? , ?? 0 8 2 ?? 23 12 2 2 4 E ? X ? ? ? x f ? x ? dx ? ? x dx ? , ?? 0 8 5
2

??

所以

12 9 3 D ? X ? ? E ? X ? ? ? E ? X ?? ? ? ? . ? ? 5 4 20
2 2

例19 设 X 解 已求得:

? E ? ? ? , 求 D ? X ?.
1
E?X
2

E?X ? ?
所以

?

,

2

?? ?

2
2

,

D? X ? ? E ? X

?? E ?X ? ? ?
2

1
2

.

课堂练习: 已知随机变量X服从参数为p的几何分布. 求X的期望和方差.

E ? X ? ? ? k ?1 ? p ?
k ?1

?

k ?1

p ? p? k ?1 ? p ?
k ?1
?

?

k ?1

? pf ?1 ? p ?

逐项积分得:

?

x

0

x f ? x ? dx ? ? ? kx dx ? ? x ? 0 1? x k ?1 k ?1
x k ?1 k

?

求导得:

f ? x? ?

1 ? ?1 ? x ? ? x ? ? ?1?

?1 ? x ?

2

?

1

?1 ? x ?

2

1 1 E ? X ? ? pf ?1 ? p ? ? p ? 2 ? p p
E?X
2

? ? ? k ?1 ? p ?
2 k ?1

?

k ?1

p ? p? k ?1 ? p ?
2 k ?1

?

k ?1

g ? x ? ? ? k 2 x k ?1
k ?1

?

?

x

0

g ? x ? dx ? ? kx ? ? ? k ? 1? x ? ? x k
k k k ?1 k ?1 k ?1

?

?

?

g ? x? ?
2

x 1 1 x ? f ? x? ?1 ? ? ? ? 2 1 ? x ?1 ? x ? 1 ? x ?1 ? x ?2 1? x

?1 ? x ?

3

2? p 2? p E ? X ? ? pg ?1 ? p ? ? p 3 ? p p2
2 ? p 1 1? p D ? X ? ? E ? X ? ? ? E ? X ?? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? p p p
2 2

作业: 习题四 2,3,8,9


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