三角函数图像与性质练习题

三角函数图像与性质练习题
一考试内容: 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ω x+φ )的图像.正切函数的图 像和性质.已知三角函数值求角. 二考试要求: (理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函 数和函数 y=Asin(ω x+φ )的简图,理解 A.ω 、φ 的物理意义. 三 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin??x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?
R
?

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

?

图像

对称性

单调性

四.图象变换 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T ? 2? ,频率 f ? 1 ? | ? | ,相位 ? x ? ? ; 初相 ?
|? |
T 2?

(即当 x=0 时的相位)(当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号) . , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A| <1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变, 横坐标伸长 (0<|ω |<1) 或缩短 (|ω |>1) 到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换
?

由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0) 或向右 (当 φ<0) 平行移动|φ|个单位,

得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移. 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y) 由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ) (A>0,ω >0) (x∈R)的 图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。 五.相关试题 选择与填空 1. 函数 y ? 3cos( x ? ) 的最小正周期

2 5

?

6

2.函数 y ? tan

x 1 ? 的最小正周期是___________________。 2 sin x
2? 2? ) 、 y ? cos(2 x ? ) 中, 3 3

3. 在函数 y ? sin x 、 y ? sin x 、 y ? sin(2 x ? 最小正周期为 ? 的函数的个数为( ). A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

4. 若函数 f ( x) ? 2sin(2kx ? 5. f ( x) ? sin

?
3

) 的最小正周期 T 满足 1 ? T ? 2 ,则自然数 k 的值为______.


2 2 x ? cos x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为 ( 3 3 4 3 7 A.3π B. ? C. ? D. ? 3 2 6 5 6. 函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 的一条对称轴方程( ) 2
A. x ? ?

?

2

B. x ? ?

?

4

C. x ?

?

8

D. x ?

5 ? 4

7.函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 ? 0,

? ?? 上的最小值为 ? 2? ?



8.函数 y ? (a cos x ? b sin x)cos x 有最大值 2 ,最小值 ?1 ,则实数 a ? ____, b ? ___ 9. 函数 y ?

2 ? cos x 的最大值为________. 2 ? cos x

10. 求函数 y ? 11.方程 2 cos( x ?

log2

1 ? 1 的定义域为________. sin x


?
4

) ? 1 在区间 (0, ? ) 内的解是

? ], 且 sin x = 2m + 1, 则 m 的取值范围是 6 ? ? 13、把函数 y=cos(2x+ )的图象向右平移 个单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短为 4 8 1 原来的 (纵坐标不变) ,则所得图象的解析式为 . 2
12. 已知 x?[ 0, 14、 (2)在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为 解答题 15、已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2x ?1 求函数单调区间,最大值及周期。

π 16 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ;(2)求函数 y=f(x)的单调增区间. (3)并写出它是由 y ? sin x 如何变化得来的?

17.下图为函数 y=Asin(ω x+φ )的一段图象.( ω >0,0<φ < ? )

(1)请写出这个函数的一个解析式; (2)求它的对称轴及对称中心。

18.已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?

19.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4
, ] 上的值域 12 2

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

? ?

20

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特级教师 王新敞
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设-

?
6

≤x≤

?
4

,求函数 y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)的最大值和最小值

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