海南省华侨中学三亚学校2016届高三数学一轮复习 解析几何练习4

海南省华侨中学三亚学校 2016 届高三数学一轮复习 解析几何练习 4
一、选择题 1 . 直 线 x + y = 1 与 圆 x + y - 2ay = 0(a>0) 没 有 公 共 点 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ( ) A.(0, 2-1) C.(- 2-1, 2+1)
2 2 2 2

B.( 2-1, 2+1) D.(0, 2+1)

解析:由圆 x +y -2ay=0(a>0)的圆心(0,a)到直线 x+y=1 的距 离大于 a,且 a>0 可得 a 的取值范围. 答案:A 2. (大纲全国卷)设两圆 C1、 C2 都和两坐标轴相切, 且都过点(4,1), 则两圆心的距离|C1C2| = A.4 C.8 B.4 2 D.8 2 ( )

解析:依题意,可设圆心坐标为 (a,a)、半径为 r,其中 r=a>0,因此圆方程是(x-

a)2+(y-a)2=a2,由圆过点(4,1)得(4-a)2+(1-a)2=a2,即 a2-10a+17=0,则该方程
的两根分别是圆心 C1,C2 的横坐标,|C1C2|= 2× 10 -4×17=8. 答案:C 3.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 A.(x +1) +(y-1) =2 B.(x-1) +(y+1) =2 C.(x-1) +(y-1) =2 D.(x+1) +(y+1) =2 解析: 因为两条直线 x-y=0 与 x-y-4=0 平行,故它们之间的距离即为圆的直径, 所以 2R= 4 2 ,所以 R= 2.设圆心 C 的坐标为(a,-a),由点 C 到两条切线的距离都等于
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(

)

2|a| |2a-4| 半径,所以 = 2, = 2,解得 a=1,故圆心为(1,-1),所以圆 C 的方程为 2 2 (x-1) +(y+1) =2. 答案:B 4.(重庆高考)在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和
2 2 2 2

BD,则四边形 ABCD 的面积为
A.5 2 B.10 2

(

)

1

C.15 2

D.20 2

解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是 10,且点 E(0,1)位于该圆内,故 过点 E(0,1)的最短弦长|BD| =2 10-?1 +2 ?=2 5(注:过圆内一定点的最短弦是以该 点为中点的弦),过点 E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|=2 10,且 AC⊥BD,因 1 1 此四边形 ABCD 的面积等于 |AC|×|BD|= ×2 10×2 5=10 2. 2 2 答案:B 5. (绍兴模拟)直线 x+7y-5=0 截圆 x +y =1 所得的两段弧长之差的绝对值是( A. π 4 π B. 2 3π D. 2 |0+0-5| 2 = . 2 1+49
2 2 2 2

)

C.π

解析:圆心到直线的距离 d= 又∵圆的半径 r=1,

∴直线 x+7y-5=0 截圆 x +y =1 的弦长为 2. π ∴劣弧所对的圆心角为 . 2 3 π ∴两段弧长之差的绝对值为 π - =π . 2 2 答案:C 6.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x 有公共点,则 b 的取值范围是 A.[1-2 2,1+2 2] C.[-1,1+2 2] B.[1- 2,3] D.[1-2 2,3]
2 2

2

2

(

)

解析: 在平面直角坐标系内画出曲线 y=3- 4x-x 与直线 y=x, 在平面直角坐标系内平移该直线,结合图形分析可知,当直线沿左上 方平移到过点 (0,3) 的过程中的任何位置相应的直线与曲线 y= 3 - 4x-x 都有公共点;当直线沿右下方平移到与以点 C(2,3)为圆心、2 为半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线 y=3- 4x-x 都有公共点. 注意与
2 2

y=x 平行且过点(0,3)的直线方程是 y=x+3;当直线 y=x+b 与以点 C(2,3)为圆心、2 为
|2-3+b| 半径的圆相切时,有 =2,b=1±2 2.结合图形可知,满足题意的 b 的取值范围 2 是 [1-2 2,3]. 答案:D
2

二、填空题 7.已知两圆 x +y =10 和(x-1) +(y-3) =20 相交于 A,B 两点,则直线 AB 的方程 是________________. 解析:因为点 A、B 同时在两个圆上,联立两圆方程作差并消去二次项可得直线 AB 的方 程为 x+3y=0. 答案:x+3y=0 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y =4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c =0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 解析:因为圆的半径为 2,且圆上有且仅有四个点到直线 1 2x-5y+c=0 的距离为 1, 即要圆心到直线的距离小于 1,即 答案:(-13,13) 9. (湖北高考)过点(-1, -2)的直线 l 被圆 x +y -2x-2y+1=0 截得的弦长为 2, 则直线 l 的斜率为________. 解析:由条件易知直线 l 的斜率必存在,设为 k,圆心(1,1)到直线 y+2=k(x+1)的距 |2k-3| 2 17 17 离为 2 = ,解得 k=1 或 k= .即所求直线 l 的斜率为 1 或 . 2 7 7 k +1 17 答案:1 或 7 三、解答题 10.已知点 A(1,a),圆 x +y =4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为 2 3,求 a 的值. 解:(1)由于过点 A 的圆的切线只有一条,则点 A 在圆上,故 1 +a =4,∴a=± 3. 当 a= 3时,A(1, 3),切线方程为 x+ 3y-4=0; 当 a=- 3时,A(1,- 3),切线方程为 x- 3y-4=0, ∴a= 3时,切线方程为 x+ 3y-4=0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

|c| 12 +?-5?
2

2

<1,解得-13<c<13.

a=- 3时,切线方程为 x- 3y-4=0.
(2)设直线方程为 x+y=b, 由于直线过点 A,∴1+a=b,a=b-1. |b| 又圆心到直线的距离 d= , 2 |b| 2 2 3 2 ∴( ) +( ) =4. 2 2

3

∴b=± 2.∴a=± 2-1. 11. 已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称, 直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,求圆 C 的方程.

b-1 ? ?k =a+2=-1, 解:设圆心为 C(a,b),则由? 1+b -2+a ? 2 = 2 +1 ?
CP



??

? ?a+b+1=0, ?a-b-1=0, ?

??

? ?a=0, ?b=-1. ?

∴C(0,-1). 设圆 C 半径为 r,点 C 到直线 3x+4y-11=0 的距离为 d, |3×0+4×?-1?-11| 则 d= =3. 2 2 3 +4 |AB| 2 2 2 ∴r =( ) +d =9+9=18. 2 ∴圆 C 的方程为 x +(y+1) =18. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已 知圆 x +y -12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2) 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k,使得向量 OA + OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不 存在,请说明理由. 解:(1)圆的方程可化为 (x-6) +y =4,其圆心为 Q(6,0).过点 P(0,2)且斜率为 k 的 直线方程为 y=kx+2.代入圆的方程得 x +(kx+2) -12x+32=0, 整理得(1+k )x +4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A,B,所以 Δ =[4(k-3)] -4×36(1+k )=4 (-8k - 6k)>0, 3 3 解得- <k<0,即 k 的取值范围为(- ,0). 4 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 OA + OB =(x1+x2,y1+y2). 4?k-3? 由方程①,得 x1+x2=- ,② 2 1+k 又∵y1+y2=k(x1+x2)+4.③ 而 P(0,2),Q(6,0), PQ =(6,-2),
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

??? ?

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4

所以 OA + OB 与 PQ 共线等价于(x1+x2)=-3(y1+y2), 3 将②③ 代入上式,解得 k=- . 4 3 由(1)知 k∈(- ,0),故没有符合题意的常数 k. 4

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5


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