【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 拓展资料:关于导数的几何意义的几类考题

关于导数的几何意义的几类考题
导数的几何意义是考查导数知识的主要内容之一,是深刻理解导数概念的重 要形式。本文从求切线方程问题入手,介绍与此相关的几类题型,供参考。 一、求切线的方程
1 1 例 1 已知曲线 y= x3 上一点 P(1, ),求过点 P 的切线的方程。 3 3

分析:

点 P 虽然在曲线上,根据题意知,并不能保证点 P 为切点,只有求

曲线 y=f(x)在点 M(x 0 ,y 0 )处的切线时,M 才是切点。
1 2 2 设切点为 N(x 0 ,y 0 ),则切线斜率 k=f’(x 0 )=x 0 ,切线方程为 y- =x 0 (x 3 1 2 1 -1),由点 N 既在切线上又在已知曲线上,得 y 0 - =x 0 (x 0 -1),y 0 = x 3 ,解得 3 3 0 1 x 0 =1 或 x 0 =- ,回代得:切线方程为 3x-3y-2=0 或 3x-12y+1=0。 2

解:

评析:已知曲线 y=f(x)和点 M(x 0 ,y 0 ),求过点 M 和曲线 y=f(x)相切的切线方程 时,要先判断点 M 是否为切点,若不知切点,则需先设切点,再利用切点既在已 经曲线上,又在切线上,列方程组求出切点;若知是切点,则只需求出切点处的 斜率即可。 二、求两切线的夹角
1 与抛物线 y= x 交点处两切线的夹角 x 1 1 解析: 联立两曲线方程 y= 与 y= x , 解得两曲线的交点为(1,1), 由曲线 y= , x x 1 1 得 y’=- 2 , ∴k1=y| x?1 =-1, 即双曲线 y= 在交点(1,1)处的切线的斜率为 k1=-1, x x

例 2.求双曲线 y=

由抛物线 y= x 得 y’= 斜率为 k2= tanα=|

1 ?2 1 x ,∴k2=y| x?1 = ,即抛物线 y= x 在交点(1,1)处切线的 2 2

1

1 ,设两线交点处切线的夹角为 α,两直线夹角公式得 2

k1 ? k 2 |=3,所以两切线的夹角为 arctan3. 1 ? k1 k 2

点评:求两切线的夹角,关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率,根据导 数的几何意义,只需先求出两曲线在交点的导数,再应用两直线的夹角公式求出 夹角即可。
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三、求参数 例3 已知直线 x―y―1=0 与抛物线 y=ax2 相切,求参数 a 的值。

解析:由于已知直线是抛物线的切线,故而抛物线的切线斜率是已知的,又 由导数的几何意义知,抛物线在切点处的导数就是切线的斜率,故而可解题。事
1 ,又切 2a 1 2 2 点在切线上、抛物线上,故而 y0=ax 0 ,y0=x0-1,即 ax 0 =x0-1,将 x0= 代入, 2a 1 可解得 a= 。 4

实上,可设切点为(x0,y0),则 k=f’(x0)=2ax0,又 k=1,则有 2ax0=1,即 x0=

点评:本题也可以利用直线与抛物线的位置关系联立方程,利用根的判别式 求解。 四、求相关三角形的面积 例4 积 解析:联立两曲线方程 y= 由于 y=
1 及 y=x2,解得 x=1,y=1,即二曲线交点为(1,1), x

求曲线 y=

1 和 y=x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面 x

1 1 的导数 y’=- 2 ,∴y |'x?1 =-1,所以在交点(1,1)处的一条切线方程 y-1= x x

-1(x-1),即 y=-x+2,同理可得 y=x2 在(1,1)处的切线方程为 y=2x-1.二曲线与 x
1 1 1 3 轴的交点分别为(2,0),( ,0),故所围成的三角形面积为 S= ×1×(2- )= 。 2 2 2 4

点评:求与切线相关的几何问题,首先要解决切线问题,即先求出切线的方 程,然后再由其他条件来配合解题。

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