2016-2017学年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和高效测评新人教A版必修5讲义

2016-2017 学年高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前 n 项和高 效测评 新人教 A 版必修 5

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.在等比数列{an}中,公比 q=-2,S5=44,则 a1 的值为( A.4 C.2 解析: S5= 答案: A 2.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比 q 等于( A.2 C.4 1 B. 2 1 D. 4 ) B.-4 D.-2 )

a1?1-q5? a1[1-?-2?5] ,∴44= ,∴a1=4,故选 A. 1-q 1-?-2?

解析: ∵a3=3S2+2,a4=3S3+2,∴a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即 a4=4a3,∴q= =4, 故选 C. 答案: C 3.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( A.2 8 C. 3 7 B. 3 D. 3

a4 a3

S6 S3

S9 S6

)

a1?1-q6? 6 1-q S6 1-q 3 3 解析: 由题意知 = = =1+q =3,∴q =2. S3 a1?1-q3? 1-q3 1-q a1?1-q9? 9 3 3 1-q S9 1-q 1-?q ? 1-8 7 ∴ = = = = = . S6 a1?1-q6? 1-q6 1-?q3?2 1-4 3 1-q
答案: B 1 4.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 a1a2+a2a3+…+anan+1=( 4 )

1

A.16(1-4 ) 32 -n C. (1-4 ) 3

-n

B.16(1-2 ) 32 -n D. (1-2 ) 3

-n

a5 3 1 1 解析: ∵ =q = ,∴q= , a2 8 2

?1?n-1 ?1?n 5-2n ∴an·an+1=4·? ? ·4·? ? =2 , ?2? ?2? ? 1? 8?1- n? ? 4 ? 32 3 1 -1 -3 5-2n -n 故 a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1=2 +2 +2 +2 +…+2 = = (1-4 ). 1 3 1- 4
答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. 解析: ∵S6=4S3,∴ ∴a4=a1q =3. 答案: 3 6.数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,已知 S4=2,S8=8,则 S12=________. 解析: 由等比数列前 n 项和的性质,知 S4,S8-S4,S12-S8 成等比数列,即(S8-S4) =S4(S12-S8),又 S4=2,S8=8,故 S12=26. 答案: 26 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求 n 和 q. 解析: 由等比数列性质知 a1an=a2an-1=128, 联立方程组?
? ?a1+an=66, ?a1an=128, ?
2 2 3

a1?1-q6? 4a1?1-q3? 3 = ,解得 q =3. 1-q 1-q

∴a1,an 为方程 x -66x+128=0 的两根,又由此方程两根分别为 2,64, ∴?
?a1=64, ? ? ?an=2,

或?

?a1=2, ? ? ?an=64.

当 a1=64,an=2 时,又∵Sn=
-1

a1-anq 1 n-1 n =126,得 q= ,又由 an=a1·q ,即 2=64·q 1-q 2

?1?n-1 =64·? ? ,∴n=6; ?2?
当 a1=2,an=64 时, 又∵Sn=

a1-anq =126,得 q=2, 1-q
2

又由 an=a1·q

n-1

,即 64=2·2

n-1

,得 n=6.

1 综上知 n=6,q= 或 2. 2 8.一个等比数列的首项是 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170, 求此数列的公比和项数. 解析: 方法一:设原等比数列的公比为 q,项数为 2n(n∈N ).
*

? ? 由已知 a =1,q≠1,有? q?1-q ? ? 1-q
1

1-q 2 =85, 1-q
2n 2

2n

① ②

? =170,

由②÷①,得 q=2, ∴ 1-4 n =85,4 =256,∴n=4. 1-4
n

故公比为 2,项数为 8. 方法二:设原等比数列的公比为 q,项数为 2n(n∈N ) ∵S 偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q =(a1+a3+…+a2n-1)q=S 奇·q. ∴q=
*

S偶 170 = =2. S奇 85
2n a1?1-q2n? 1-2 ,得 =255, 1-q 1-2

又 S2n=85+170=255,据 S2n= ∴2 =256,∴2n=8. 即公比为 2,项数为 8. ? 尖子生题库 ??
2n

☆☆☆

9.(10 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. 解析: (1)∵S1,S3,S2 成等差数列, ∴2S3=S1+S2,显然{an}的公比 q≠1, 2a1?1-q ? a1?1-q ? 于是 =a1+ , 1-q 1-q 即 2(1+q+q )=2+q, 整理得 2q +q=0, 1 ∴q=- (q=0 舍去). 2
2 2 3 2

3

1 (2)∵q=- , 2 又 a1-a3=3,

? 1?2 ∴a1-a1·?- ? =3, ? 2?
解得 a1=4.

? ? 1?n? 4?1-?- ? ? ? ? 2? ? 8? ? 1?n? 于是 Sn= = ?1-?- ? ?. 1? 3? ? 2? ? ? 1-?- ? 2 ? ?

4


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