【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.2导数的概念及其几何意义练习 北师大版选修1-1

【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 3.2 导数的概念及其几何意 义练习 北师大版选修 1-1

一、选择题 1.如果函数 y=f(x)在点(3,4)处的切线与直线 2x+y+1=0 平行,则 f′(3)等于( A.2 1 B.- 2 1 D. 2 )

C.-2 [答案] C

[解析] ∵切线的斜率为-2,∴f′(3)=-2,故选 C. 2.如果曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( A.f ′(x0)>0 C.f ′(x0)=0 [答案] B 1 [解析] 由导数的几何意义可知 f ′(x0)=- <0,故选 B. 2 1 7 3.曲线 y= x3-2 在点(-1,- )处切线的倾斜角为( 3 3 A.30° C.135° [答案] B 1 1 1 Δy 1 [解析] Δy= (-1+Δx)3- ×(-1)3=Δx-(Δx)2+ (Δx)3, =1-Δx+ (Δx)2, 3 3 3 Δx 3 lim Δy 1 = lim (1-Δx+ (Δx)2)=1, Δx Δx→0 3 B.45° D.60° ) B.f ′(x0)<0 D.f ′(x0)不存在 )

Δx→0

7? 1 ? ∴曲线 y= x3-2 在点?-1,- ?处切线的斜率是 1,倾斜角为 45°. 3? 3 ? 1 4.函数 y=x+ 在 x=1 处的导数是(

x

)

A.2 C.1 [答案] D

5 B. 2 D.0

1 -Δx [解析] Δy=(Δx+1)+ -1-1=Δx+ , Δx+1 Δx+1 Δy 1 =1- , Δx Δx+1 lim 1 ? Δy ? = lim ?1- ?=1-1=0, Δx+1? Δx Δx→0 ?

Δx→0

1 ∴函数 y=x+ 在 x=1 处的导数为 0.

x

5.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1 [答案] A [解析] 由已知点(0,b)是切点. B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1

)

Δy=(0+Δx)2+a(0+Δx)+b-b
=(Δx)2+aΔx, ∴

Δy Δy =Δx+a,y′|x=0= lim =a. Δx →0 Δx Δx

∵切线 x-y+1=0 的斜率为 1,∴a=1. 又切点(0,b)在切线上,∴b=1. 6.如果某物体做运动方程为 s=2(1-t2)的直线运动(s 的单位为 m,t 的单位为 s),那 么其在 1.2s 末的瞬时速度为( A.-4.8m/s C.0.88m/s [答案] A ) B.-0.88m/s D.4.8m/s

Δs 2[1-?1.2+Δt?2]-2?1-1.2?2 [解析] = Δt Δt
=-4.8-2Δt,

当 Δt 趋于 0 时, 二、填空题

Δs 趋于-4.8,故物体在 t=1.2s 末的瞬时速度为-4.8m/s. Δt

7.已知函数 f(x)=x3+2,则 f ′(2)=________. [答案] 12 [解析] f ′(2)= lim ?2+Δx?3+2-23-2 Δx

Δx→0

= lim

Δx→0

?2+Δx-2?[?2+Δx?2+?2+Δx?·2+22] Δx

= lim [4+4Δx+(Δx)2+4+2Δx+4]
Δx→0

= lim [12+6Δx+(Δx)2]=12.
Δx→0

8.若抛物线 y=x2 与直线 2x+y+m=0 相切,则 m=________. [答案] 1 [解析] 设切点为 P(x0,y0),易知,y′|x=x0=2x0. 由?

?2x0=-2 ?y0=x2 0

,得?

?x0=-1 ?y0=1

,即 P(-1,1),

又 P(-1,1)在直线 2x+y+m=0 上, 故 2×(-1)+1+m=0,即 m=1. 三、解答题 9.直线 l:y=x+a(a≠0)和曲线 C:y=x3-x2+1 相切. (1)求切点的坐标; (2)求 a 的值. 32 ? 1 23? [答案] (1)?- , ?或(1,1) (2) 27 ? 3 27? [解析] (1)设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0,y0).

f ′(x)= lim
= lim

Δx→0

f?x+Δx?-f?x? Δx

Δx→0

?x+Δx?3-?x+Δx?2+1-?x3-x2+1? Δx

=3x2-2x.

1 由题意知,k=1,即 3x2 0-2x0=1,解得 x0=- 或 x0=1. 3

? 1 23? 于是切点的坐标为?- , ?或(1,1). ? 3 27?
23 1 32 ? 1 23? (2)当切点为?- , ?时, =- +a,∴a= ; 27 3 27 ? 3 27? 当切点为(1,1)时,1=1+a,∴a=0(舍去). 32 1 23 ∴a 的值为 ,切点坐标为(- , ). 27 3 27 10.求下列函数的导数. (1)求函数 y= x在 x=1 处的导数; (2)求 y=x2+ax+b(a,b 为常数)的导数. [答案] (1)y′|x=1= 1 (2)y′=2x+a 2

[解析] (1)解法一:(导数定义法):Δy= 1+Δx-1,

Δy 1+Δx-1 1 = = . Δx Δx 1+Δx+1
lim = 1 1 = ,∴y′|x=1= . 2 1+Δx+1 2 1

Δx→0

解法二:(导函数的函数值法):Δy= x+Δx- x,

Δy x+Δx- x 1 = = . Δx Δx x+Δx+ x
∴ lim

Δx→0

Δy = lim Δx Δx→0

1 = . x+Δx+ x 2 x

1

1 1 ∴y′= ,∴y′|x=1= . 2 2 x (2)y′= lim ?x+Δx?2+a?x+Δx?+b-?x2+ax+b?

Δx→0

Δx

= lim

Δx→0

x2+2x?Δx?+?Δx?2+ax+a?Δx?+b-x2-ax-b Δx
2x?Δx?+a?Δx?+?Δx?2 = lim (2x+a+Δx)

= lim

Δx→0

Δx

Δx→0

=2x+a.

一、选择题 1 3 1.曲线 y= x2-2 在点(1,- )处切线的倾斜角为( 2 2 A.1 5 C. π 4 [答案] B [解析] 由导数的定义可知 f′(x)=x, π 所以 f′(1)=1=tanθ,故 θ= . 4 2.已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 的值为 ( ) 2 A. 3 1 C. 3 [答案] D [解析] 由导数的定义可得 y′=3x2, ∴y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率 k=y′|x=1=3, 2 B.- 3 1 D.- 3 π B. 4 π D.- 4 )

a b

a a 1 由条件知,3× =-1,∴ =- . b b 3
3.已知函数 y=f(x)的图像如图,f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( )

A.0>f′(xA)>f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB)

B.f′(xA)<f′(xB)<0 D.f′(xA)>f′(xB)>0

[答案] B [解析]

f′(xA) 和 f′(xB) 分 别 表 示 函 数 图 像 在 点 A , B 处 的 切 线 斜 率 , 故

f′(xA)<f′(xB)<0.
4.曲线 y=x3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为( A.y=x-1 C.y=2x-2 [答案] A [解析] ∵f′(x)= lim ?Δx+x?3-2?Δx+x?+1-x3+2x-1 )

B.y=-x+1 D.y=-2x+2

Δx→0

Δx Δx

= lim

?Δx?3+3x·?Δx?2+3x2·Δx-2Δx

Δx→0

= lim ((Δx)2+3x·Δx+3x2-2)
Δx→0

=3x2-2, ∴f′(1)=3-2=1, ∴切线的方程为 y=x-1. 二、填空题 5.函数 y=f(x)的图像在点 P(5,f(5))处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f ′(5)= ________. [答案] 2 [解析] 由条件知,f(5)=-5+8=3,f ′(5)=-1, ∴f(5)+f ′(5)=2. 6.如图,函数 f(x)的图像是折线段 ABC,其中 A、B、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、 (6,4),则 f[f(0)]=__________; lim

Δx→0

f?1+Δx?-f?1? =________.(用数字作答) Δx

[答案] 2 -2 [解析] 考查函数的基本概念、图像与导数的定义. 易知 f(x)=?

?-2x+4 ?x-2

?0≤x≤2? ?2<x≤6?



∴f(0)=4,f[f(0)]=f(4)=2(也可直接由图示得知) 由导数的定义知 lim 三、解答题 7.已知曲线 C:y= 1 经过点 P(2,-1),求 t-x

Δx→0

f?1+Δx?-f?1? =f′(1)=-2. Δx

(1)曲线在点 P 处的切线的斜率. (2)曲线在点 P 处的切线的方程. (3)过点 O(0,0)的曲线 C 的切线方程. [答案] (1)1 (2)x-y-3=0 (3)y=4x 1 中得 t=1, t-x

[解析] (1)将 P(2,-1)代入 y= 1 ∴y= . 1 -x

1 1 - Δy f?x+Δx?-f?x? 1-?x+Δx? 1-x ∴ = = Δx Δx Δx = 1 , ?1-x-Δx??1-x? Δy 1 = , Δx ?1-x?2

∴ lim

Δx→0

1 ∴曲线在点 P 处切线的斜率为 k=y′|x=2= =1. ?1-2?2 (2)曲线在点 P 处的切线方程为 y+1=1×(x-2),即 x-y-3=0. (3)∵点 O(0,0)不在曲线 C 上, 设过点 O 的曲线 C 的切线与曲线 C 相切于点 M(x0, y0), 则切线斜率 k= =

y0 1 , x0 ?1-x0?2

1 1 1 由于 y0= ,∴x0= ,∴切点 M( ,2),切线斜率 k=4,切线方程为 y-2=4(x 1-x0 2 2

1 - ),即 y=4x. 2 8.已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且 l1 ⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴围成的三角形的面积 1 22 125 [答案] (1)y=- x- (2) 3 9 12 [解析] (1)y′= lim ?x+Δx?2+?x+Δx?-2-x2-x+2

Δx→0

Δx

2x?Δx?+?Δx?2+Δx = lim = lim (2x+Δx+1)=2x+1.
Δx→0

Δx

Δx→0

∴f′(1)=2×1+1=3, ∴直线 l1 的方程为 y=3(x-1),即 y=3x-3. 设直线 l2 过曲线 y=x2+x-2 上的点 B(b,b2+b-2), 则 l2 的方程为 y=(2b+1)x-b2-2. 1 2 ∵l1⊥l2,则有 2b+1=- ,b=- . 3 3 1 22 ∴直线 l2 的方程为 y=- x- . 3 9 1 ? x= ? 6 ,得? 5 y=- ? ? 2

(2)解方程组

? ?y=-1x-22 ? 3 9

y=3x-3

.

1 5 故直线 l1 和 l2 的交点坐标为( ,- ). 6 2

l1,l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(-

22 ,0). 3

1 25 5 125 所以所求三角形的面积 S= × ×|- |= . 2 3 2 12


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