高中数学 函数的概念 12 函数的概念与性质习题课——抽象函数问题教学案无答案苏教版必修1

江苏省泰兴中学高一数学教学案(22) 函数的概念与性质习题课——抽象函数问题

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目标要求

理解抽象函数的表示方法,并能解决抽象函数的奇偶性与单调性等有关问题.

课前预习

1、已知函数 y ? f (x ?1) 的定义域是[-1,2],值域是(-10,7),则函数 y ? f (2x ?1) 的

定义域是

,值域是

2、 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x ? y) ? f (x) ? f ( y) ? 2xy ( x,y ? R ), f)1( 2? ,

则 f (2) ?

, f (?2) ?



3、 f (x) 在 R 上是奇函数, f (x ? 4) ? f (x),当x ?(0, 2)时,f (x) ? 2x2,则f (7) ?



4、已知 f(x)是 R 上不恒为零的函数,且对任意的 a,b∈R,都满足 f(ab)=af(b)+bf(a),

则 f(-1)的值是___

___.

5、已知函数 f (?x) ? 2 f (x) ? 2x ?1,则 f (x) 的解析式为



6、对一切实数 x、y,关系式:f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y,且 f (0) ? 1 ,则函数

f(x)=



课堂互动

例 1 函数 f (x) 对任意 a,b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ?1 ,并且当 x ? 0 时,

f (x) ? 1。求证函数 f (x) 是 R 上的增函数.

例 2 已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足:f(x+y)=f(x)+f(y) . ⑴ 求证:f(x)是奇函数; ⑵若 f (?3) ? a ,试用 a 表示 f (12) .
(3)如果 f(x)在[0,+ ? )上递增,解不等式 f (x) ? f (x ? 4) ? 4a ? 0 .
例 3 定义在 R 上的函数 y= f (x) ,当 x ? 0时, f (x) ? 1,且对任意 a,b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) f (b) 成立.(1)证明: f (0) ? 1; (2)证明:对任意 x ? R ,恒有 f (x) ? 0 成立; (3)证明: f (x) 在 R 上是增函数;(4)若 f (x) f (2x ? x2 ) ? 1 ,求 x 的取值范围.

例 4 设函数 y ? f (x) 是定义在 (0,??) 上有单调性,且 f ( x ) ? f (x) ? f ( y) . y
(1)求 f(1) ;(2) 求证 f (xy) ? f (x) ? f ( y) ; (3)若 f(2)=1,解不等式 f (x) ? f ( 1 ) ? 2 .
x?3

江苏省泰兴中学高一数学作业(22)

班级

姓名

得分

1、f(x+1)=2x+1,则 f(x)=



2、如果函数 f(x)满足:f(x+y)=f(x)·f(y),f(x)恒不为 0,那么 f(0)=



3、如果函数 f(x)的定义域为 R+且满足:f(xy)=f(x) +f(y),f(8)=3,那么 f( 2 )=



4、(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)=



?

5、已知

f

(x)

?

? ?

x?5

x?6 ,那么 f(3)=



?? f (x ? 2) x ? 6

6、如果

f

(x ?

1) x

?

x2

?

1 x2

,则函数

f(x)的表达式为



7、如果

f

(1 ?

1) x

?

x 1? x2

,求函数

f(x)的表达式.

8、对一切实数 x、y 满足:f(x+y)=f(x) +f(y),且 x>0 时,f(x)>0,证明 f(x)是 R 上的增 函数.

9、设函数 f(x)的定义域为 R 且满足 x1≠x2 则 f(x1)≠f(x2),又对任何实数 x、y 总有: f(x+y)=f(x) f(y),证明:⑴ f(0)=1; ⑵f(x)>0 恒成立.

10 、 已 知 函 数 f (x) 满 足 f (x ? y) ? f ( y) ? x(x ? 2y ? 1) 对 任 意 x, y ? R 都 成 立 , 且 f (1) ? 0 .
(1) 求 f (0) ; (2)求 f (x) 的解析式; (3)若 f (x) ? a 对任意 x ? ?? 1,2?恒成立,求 a 的
范围.

11、已知函数 f ? x? ,当 x, y ? R 时,恒有 f ? x ? y? ? f ? x? ? f ? y? . ⑴ 求证: f ? x? 是奇函数;⑵当 x ? 0时, f ? x? ? 0,且f ?1? ? ? 1 ,求证: f ? x? 在 R 上
2
是减函数,并求 f ? x? 在区间??2,6? 上的最值.


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