四川省成都市五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

四川省成都市五校协作体 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条,那么它们的交线和这两条平行 线的位置关系是() A.都平行 B. 都相交 C. 一个相交,一个平行 D.都异面 2. (5 分)在 x、y 轴上的截距分别是﹣3、4 的直线方程是() A. + =1 B. + =1 C. ﹣ =1 D. + =1

3. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 BA1 与 CC1 所成的角为() A.30° B.45° C.60° D.90° 4. (5 分)圆(x+2) +y =5 关于坐标原点(0,0)对称的圆的方程是() 2 2 2 2 2 2 2 A.x +(y﹣2) =5 B.x +(y+2) =5 C.(x﹣2) +y =5 D.(x﹣2) +(y﹣2) 2 =5 5. (5 分)如图所示,甲、乙、丙是三个空间立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正
2 2

确的是() ①长方体 ②圆锥 A.③②④

③三棱锥 B.②①③

④圆柱. C.①②③

D.④③②

6. (5 分)若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题中的真命 题是() A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B. 若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β C. 若 α⊥γ,α⊥β,则 β⊥γ D.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β

7. (5 分)设实数 x、y 满足不等式组

,若 x、y 为整数,则 3x+4y 的最小值

是() A.14

B.16

C.17

D.19

8. (5 分)设 A 是棱长为 a 的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面, 对正方体的所有顶点都如此操作, 所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体, 则关于 此多面体有以下结论: ①有 12 个顶点;②有 24 条棱;③有 12 个面;④表面积为 3a ;⑤体积为 a . 其中正确的结论是() A.①③④ B.①②⑤
2 2 2 2 3

C.②③⑤
2 2

D.②④⑤
2

9. (5 分)若圆 C1:x +y ﹣2tx+t ﹣4=0 与圆 C2:x +y +2x﹣4ty+4t ﹣8=0 相交,则 t 的取 值范围是() A.﹣ C. ﹣ <t<2 B. ﹣ D .﹣ <t<0 或 0<t<2

10. (5 分)已知 E 为不等式组
2 2

,表示区域内的一点,过点 E 的直线 l 与圆 M: (x

﹣1) +y =9 相交于 A,C 两点,过点 E 与 l 垂直的直线交圆 M 于 B、D 两点,当 AC 取最 小值时,四边形 ABCD 的面积为() A.12 B. 6 C.12 D.4

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)过点 P(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为. 12. (5 分)已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图是顶角为 120°的等腰 三角形,则该三棱锥的侧视图面积为.

13. (5 分)已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB(其中 O 为坐标原 点) ,则实数 a 等于. 14. (5 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 四边形 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, 且 AP= , AB=4,BC=2,点 M 为 PC 中点,若 PD 上存在一点 N 使得 BM∥平面 ACN,求 PN 长度.

2

2

15. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是(写 出所有正确命题的编号) . ①当 CQ=1 时,S 的面积为 .

②当 <CQ<1 时,S 为六边形 ③当 CQ= 时,S 与 m 的交点 R 满足 C1R1= ④当 CQ= 时,S 为等腰梯形 ⑤当 0<CQ< 时,S 为四边形.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知直线 l1:2x+(m+1)y﹣2=0;直线 l2:mx+y﹣1=0. (Ⅰ)若 l1⊥l2 求实数 m 的值. (Ⅱ)若 l1∥l2,求实数 m 的值. 17. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AD,AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

18. (12 分)已知一圆 C 的圆心为(2,﹣1) ,且该圆被直线 l:x﹣y﹣1=0 截得的弦长为 2 , (Ⅰ)求该圆的方程 (Ⅱ)求过点 P(4,3)的该圆的切线方程. 19. (12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AE=3,AB=6. (1)求证:AB⊥平面 ADE; (2)求凸多面体 ABCDE 的体积.

20. (13 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,则面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= ,底 面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ)线段 AD 上是否存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 若不存在,请说明理由. ?若存在,求出 的值;

21. (14 分)已知圆 A 过点 于直线 x﹣y+2=0 对称. (1)求圆 A 的方程;

,且与圆 B: (x+2) +(y﹣2) =r (r>0)关

2

2

2

(2)若 HE、HF 是圆 A 的两条切线,E、F 是切点,求

的最小值. ,

(3) 过平面上一点 Q (x0, y0) 向圆 A 和圆 B 各引一条切线, 切点分别为 C、 D, 设 求证:平面上存在一定点 M 使得 Q 到 M 的距离为定值,并求出该定值.

四川省成都市五校协作体 2014-2015 学年高二上学期期 中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条,那么它们的交线和这两条平行 线的位置关系是() A.都平行 B. 都相交 C. 一个相交,一个平行 D.都异面 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键. 解答: 解:如图所示:已知:α∩β=m,a∥b,a?α,b?β.则 a∥b∥m. 证明:∵a∥b,∴a 与 b 可确定一个平面 γ. ∴b∥α, 由∵α∩β=m,b?β, ∴b∥m. ∴a∥b∥m. 故选 A.

点评: 熟练掌握线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键. 2. (5 分)在 x、y 轴上的截距分别是﹣3、4 的直线方程是() A. + =1 B. + =1 C. ﹣ =1 D. + =1

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的截距式方程. 直线与圆. 由直线的截距可得截距式方程. 解:∵直线在 x、y 轴上的截距分别是﹣3、4,

∴直线的截距式方程为: 故选:A 点评: 本题考查直线的截距式方程,属基础题. 3. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 BA1 与 CC1 所成的角为() A.30° B.45° C.60° D.90° 考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 将 CC1 平移到 B1B,从而∠A1BB1 为直线 BA1 与 CC1 所成角,在三角形 A1BB1 中 求出此角即可. 解答: 解:∵CC1∥B1B, ∴∠A1BB1 为直线 BA1 与 CC1 所成角, 因为是在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 所以∠A1BB1=45°. 故选 B. 点评: 本题主要考查了异面直线及其所成的角, 考查空间想象能力、 运算能力和推理论证 能力,属于基础题. 4. (5 分)圆(x+2) +y =5 关于坐标原点(0,0)对称的圆的方程是() 2 2 2 2 2 2 2 A.x +(y﹣2) =5 B.x +(y+2) =5 C.(x﹣2) +y =5 D.(x﹣2) +(y﹣2) 2 =5 考点: 圆的标准方程. 分析: 求出已知圆的圆心和半径,求出圆心 A 关于原点对称的圆的圆心 B 的坐标,即可 得到对称的圆的标准方程. 2 2 解答: 解:圆(x+2) +y =5 的圆心 A(﹣2,0) ,半径等于 , ∴圆心 A 关于原点(0,0)对称的圆的圆心 B(2,0) , 2 2 所求对称圆的方程为 (x﹣2) +y =5, 故选:C 点评: 本题考查求一个圆关于一个点的对称圆的方程的求法,求出圆心 A 关于原点(0, 0)对称的圆的圆心 B 的坐标,是解题的关键.本题是一个基础题.
2 2

5. (5 分)如图所示,甲、乙、丙是三个空间立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正

确的是() ①长方体 ②圆锥 A.③②④

③三棱锥 B.②①③

④圆柱. C.①②③

D.④③②

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据甲、乙、丙的三视图,得出甲、乙、丙各个几何体几何特征,进而可得答案. 解答: 解:根据甲、乙、丙的三视图,得出甲是圆柱体,乙是三棱锥,丙是圆锥; ∴甲乙丙对应的标号应是④③②. 故选:D. 点评: 本题考查了空间几何体的三视图的知识, 解题时应根据几何体的三视图能判断该几 何体是什么,是基础题. 6. (5 分)若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题中的真命 题是() A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B. 若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β C. 若 α ⊥γ,α⊥β,则 β⊥γ D.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β 考点: 平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 可以通过空间想象的方法, 想象每个选项中的图形, 并通过图形判断是否能得到每 个选项中的结论,即可找出正确选项. 解答: 解:A.错误,由 β⊥α,得不出 β 内的直线垂直于 α; B. 正确, m∥α, 根据线面平行的性质定理知, α 内存在直线 n∥m, ∵m⊥β, ∴n⊥β, n?α, ∴α⊥β; C.错误,若两个平面同时和一个平面垂直,可以想象这两个平面可能平行,即不一定得到 β⊥γ; D.错误,可以想象两个平面 α、β 都和 γ 相交,交线平行 ,这两个平面不一定平行. 故选 B. 点评: 考查空间想象能力,以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念.

7. (5 分)设实数 x、y 满足不等式组

,若 x、y 为整数,则 3x+4y 的最小值

是() A.14

B.16

C.17

D.19

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件

的平面区域,然后分析平面区域里各个整点,然后将其代入 3x+4y 中,求出

3x+4y 的最小值.

解答: 解:依题意作出可行性区域

如图,目标函数 z=3x+4y 在点(4,1)

处取到最小值 z=16.

故选 B. 点评: 在解决线性规划的小题时,常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域 ?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解. 8. (5 分)设 A 是棱长 为 a 的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面, 对正方体的所有顶点都如此操作, 所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体, 则关于 此多面体有以下结论: ①有 12 个顶点;②有 24 条棱;③有 12 个面;④表面积为 3a ;⑤体积为 a . 其中正确的结论是() A.①③④ B.①②⑤
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C.②③⑤

D.②④⑤

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 先根据题意画出图形,如图,原来的六个面仍然在,但是却变成了一个小正方形, 再添了八个顶点各对应的一个三角形的面,计算或数一数它的顶点数目、棱数及面数,可判 断①、②、③ ; 再结合割补法求出它的表面积及体积,可判断④与⑤.

解答: 解:如图, 对于①,由于所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置,原来的棱的数目是 12,所 以现在的顶点的数目是 12,故①正确; 对于②,每个正方形 4 条边,每个三角形 3 条边,4×6+3×8=48,考虑到每条边对应两个面, 所以实际只有 ×48=24(从图片上可以看出每个顶点对应 4 条棱,每条棱很明显对应两个顶 点,所以棱数为 ×48=24 个) ,故②正确; 对于③,原来的六个面仍在,却是变成了一个小正方形,且添了八个顶点各对应的一个三 角形的面,所以总计 6+8=14 个面, 故③错; 对于④,三角形和四边形的边长都是 为 8× × a sin60°= 表面积(3+
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a,所以正方形总面积为 6× a =3a ,三角形总面积

2

2

a,

2

)a ,故④错; = a,
3

对于⑤, 体积为原正方形体积减去 8 个三棱锥体积, 每个三棱锥体积为 8× × 剩余总体积为 a ﹣ a = a . 故⑤正确. 故选:B.
3 3 3

点评: 本题主要考查棱柱的结构特征, 多面体的表面积与体积等基础知识, 考查化归思想 与空间想象能力、运算求解能力,属于难题. 9. (5 分)若圆 C1:x +y ﹣2tx+t ﹣4=0 与圆 C2:x +y +2x﹣4ty+4t ﹣8=0 相交,则 t 的取 值范围是() A.﹣ C. ﹣ <t<2 B. ﹣ D .﹣ <t<0 或 0<t<2
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考点: 圆 与圆的位置关系及其判定.

专题: 直线与圆. 分析: 根据这两个圆相交,可得圆心距大于半径之差而小于半径之和,可得 3﹣2< <3+2,即 0<5t +2t<24,由此求得 t 的取值范围. 解答: 解:圆 C1:x +y ﹣2tx+t ﹣4=0 即 (x﹣t) +y =4,表示以 C1(t,0)为圆心、 半径等于 2 的圆; 圆 C2:x +y +2x﹣4ty+4t ﹣8=0 即 (x+1) +(y﹣2t) =9,表示以 C2(﹣1,2t)为圆心、 半径等于 3 的圆. 再根据这两个圆相交,可得圆心距大于半径之差而小于半径之和, 即 3﹣2< <3+2,即 0<5t +2t<24,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2





解得﹣

或 0<t<2,

故选:D. 点评: 本题主要考查圆的标准方程, 两圆的位置关系的判定方法, 两点间的距离公式的应 用,属于基础题.

10. (5 分)已知 E 为不等式组
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,表示区域内的一点,过点 E 的直线 l 与圆 M: (x

﹣1) +y =9 相交于 A,C 两点,过点 E 与 l 垂直的直线交圆 M 于 B、D 两点,当 AC 取最 小值时,四边形 ABCD 的面积为() A.12 B. 6 C.12 D.4 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域, 由圆的方程画出圆, 可知可行域内距离圆心最远的点为满 足条件的 E 点,求出 E 与 M 的距离,解直角三角形求得 AC 的长度,则四边形 ABCD 的面 积为 AC 长度与 BD 长度乘积的一半.

解答: 解:由约束条件

作可行域如图,

圆 M: (x﹣1) +y =9 的圆心为 M(1,0) ,半径为 3. E 为图中阴影三角形及其内部一动点, 由图可知,当 E 点位于直线 x+y=2 与 y 轴交点时,E 为可行域内距离圆心 M 最远的点. 此时当 AC 过 E 且与 ME 垂直时最短.与 AC 垂直的直线交圆得到直径 BD. |ME|= ,|AC|=2 =4,

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S 四边形 ABCD= ×6×4=12. 故选:A 点评: 本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,关键是确定使 AC 最短 时的 E 的位置,是中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)过点 P(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为 2x+y﹣1=0. 考点: 直线的一般式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 计算题. 分析: 设与直线 x﹣2y+3=0 垂直的直线的方程为 2x+y+c=0,把点 P(﹣1,3)的坐标代 入求出 c 值,即得所求的直线的方程. 解答: 解:设所求的直线方程为 2x+y+c=0,把点 P(﹣1,3)的坐标代入得﹣2+3+c=0, ∴c=﹣1, 故所求的直线的方程为 2x+y﹣1=0, 故答案为 2x+y﹣1=0. 点评: 本题考查利用待定系数法求直线的方程,与 ax+by+c=0 垂直的直线的方程为 bx ﹣ay+m=0 的形式. 12. (5 分)已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图是顶角为 120°的等腰 三角形,则该三棱锥的侧视图面积为 1.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 规律型. 分析: 根据三视图的原则,高平齐、长对正、宽相等来判断几何体的俯视图即可. 解答: 解:根据三棱锥的俯视图是顶角为 120°的等腰三角形,且底边长为 2 , ∴三棱锥的底面三角形的高为 ×tan30°=1,即,侧视图的宽为 1, 由正视图的高为 2?侧视图的高为 2, ∴其面积 S=1. 故答案是:1. 点评: 本题考查简单几何体的三视图,属基础题. 13. (5 分)已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB(其中 O 为坐标原 点) ,则实数 a 等于±2. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 利用 OA⊥OB,OA=OB,可得出三角形 AOB 为等腰直角三角形,由圆的标准方 程得到圆心坐标与半径 R,可得出 AB,求出 AB 的长,圆心到直线 y=x+a 的距离为 AB 的 一半,利用点到直线的距离公式列出关于 a 的方程,求出方程的解即可得到实数 a 的值. 解答: 解:∵OA⊥OB,OA=OB, ∴△AOB 为等腰直角三角形, 又圆心坐标为(0,0) ,半径 R=2, ∴AB= R=2 , ∴圆心到直线 y=x+a 的距离 d= AB= = ,
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∴|a|=2, ∴a=±2. 故答案为:±2. 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:等腰直角三角形的判定与性质, 以及点到直线的距离公式,其中根据题意得出△ AOB 为等腰直角三角形是解本题的关键. 14. (5 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 四边形 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, 且 AP= , AB=4,BC=2,点 M 为 PC 中点,若 PD 上存在一点 N 使得 BM∥平面 ACN,求 PN 长度 2.

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 连接 AC,BD,AC∩BD=O,取 MD 中点 E,连接 CN 与 PD 交于 N,取 PN 中点 F, 连接 MF,则 BM∥平面 ACN.证明 F,N 为 PD 的三等分点,即可得出结论.

解答: 解:如图所示,连接 AC,BD,AC∩BD=O, 取 MD 中点 E,连接 CN 与 PD 交于 N,取 PN 中点 F,连接 MF,则 ∵BM∥OE,BM?平面 ACN,OE?平面 ACN, ∴BM∥平面 ACN. ∵M 为 PC 中点,F 为 PN 中点, ∴MF∥CN, ∵E 为 MD 中点, ∴N 为 DF 中点, ∵PA= ,BC=2,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, ∴PD= =3, ∴PN=2, 故答案为:2.

点评: 本题考查直线与平面平行的判定,考查学生的计算能力,确定 F,N 为 PD 的三等 分点是关键. 15. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 ①③④⑤(写出所有正确命题的编号) . ①当 CQ=1 时,S 的面积为 .

②当 <CQ<1 时,S 为六边形 ③当 CQ= 时,S 与 m 的交点 R 满足 C1R1= ④当 CQ= 时,S 为等腰梯形 ⑤当 0<CQ< 时,S 为四边形.

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关 系与距离. 分析: ①,当 CQ=1 时,点 Q 与点 C1 重合,如图知,截面 S 为菱形,易求其面积为 ,

可判断①; 取 AD 的中点 M,在 DD1 上取点 N,使得 DN=CQ,则 MN∥PQ;作 AT∥MN,交直线 DD1 于点 T,则 A、P、Q、T 四点共面; ②,当 <CQ<1 时, <DN<1? DT=2DN∈( ,2) ,T 在 DD1 的延长线上,设 TQ 与 C1D1 交于点 E,AT 与 A1D1 交于点 F,则 S 为五边形 APQEF,可判断②; ③,当 CQ= 时,则 DN= ?DT=2DN= ?D1T= ;由 D1R:TD1=BC:DT 可求得 D1R= , 继而可得 C1R= ,可判断③; ④,当 CQ= 时,则 DN= ,易知点 T 与 D1 重合,从而知 S 为等腰梯形 APQD1,可判断 ④; ⑤,当 0<CQ< 时,则 0<DN< ?DT=2DN<1?S 为四边形 APQT,可判断⑤; . 解答: 解:对于①,当 CQ=1 时,点 Q 与点 C1 重合,此时过点 A,P,Q 的平面与 A1D1 相交于 R,且点 R 为 A1D1 的中点,

此时,截面 APQR 为菱形,该菱形的两条对角线分别为:AQ= 所以 S= × × = ,故①正确;

,PR=



取 AD 的中点 M,在 DD1 上取点 N,使得 DN=CQ,则 MN∥PQ;作 AT∥MN,交直线 DD1 于点 T,则 A、P、Q、T 四点共面;

对于②,当 <CQ<1 时, <DN<1?DT=2DN∈( ,2) ,T 在 DD1 的延长线上,设 TQ 与 C1D1 交于点 E,AT 与 A1D1 交于点 F,则 S 为五边形 APQEF,故②错误; 对于③,当 CQ= 时,则 DN= ?DT=2DN= ?D1T= ;由 D1R:TD1=BC: DT?D1R= ?C1R= ,故③正确; 对于④,当 CQ= 时,则 DN= ?DT=2DN=1?点 T 与 D1 重合?S 为等腰梯形 APQD1,故 ④正确; 对于⑤,当 0<CQ< 时,则 0<DN< ?DT=2DN<1?S 为四边形 APQT,故⑤正确; 综上,命题正确的是:①③④⑤. 故答案为:①③④⑤. 点评: 本题考查多面体与截面的问题, 要求学生掌握作截面的方法, 要充分利用面面平行、 线面平行的性质定理确定截面,再利用相似性质进行具体的计算,属于难题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知直线 l1:2x+(m+1)y﹣2=0;直线 l2:mx+y﹣1=0. (Ⅰ)若 l1⊥l2 求实数 m 的值. (Ⅱ)若 l1∥l2,求实数 m 的值. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: (I)由两条直线垂直的条件,建立关于 m 的方程,解之可得实数 m 的值 (II)根据两条直线平行的条件,建立关于 m 的关系式,即可得到使 l1∥l2 的实数 m 的值. 解答: 解(1)由 2m+(m+1)×1=0?3m+1=0?m=﹣ …(4 分) (2)由已知?2﹣(m+1)m=0?m +m﹣2=0?m=﹣2 或 m=1…(6 分) 当 m=﹣2 时? 满足 …(8 分)
2

当 m=1 时?

不满足 …(10 分)

综上 m=﹣2 …(12 分) 点评: 本题给出含有参数的两条直线方程,在两条直线平行或垂直的情况下,求参数 m 之值.着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识,属于基础 题. 17. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AD,AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 连结 BD, 得 EF∥BD, 又 BD∥B1D1 , 所以 EF∥B1D1, 由此能证明直线 EF∥ 平面 CB1D1. (2)由已知得 A1C1⊥B1D1,CC1⊥平面 A1B1C1D1,从而 CC1⊥B1D1,由此能证明 B1D1⊥ 平面 CAA1C1,从而能证明平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. 解答: (1)证明:连结 BD,在△ ABD 中, E、F 分别为棱 AD、AB 的中点,故 EF∥BD, 又 BD∥B1D1,所以 EF∥B1D1,…(2 分) 又 B1D1?平面 CB1D1,EF 不包含于平面 CB1D1, 所以直线 EF∥平面 CB1D1.…(6 分) (2)证明:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 A1B1C1D1 是正方形, 则 A1C1⊥B1D1…(8 分) 又 CC1⊥平面 A1B1C1D1,B1D1?平面 A1B1C1D1, 则 CC1⊥B1D1,…(10 分) 又 A1C1∩CC1=C1,A1C1?平面 CAA1C1,CC1?平面 CAA1C1, 所以 B1D1⊥平面 CAA1C1,又 B1D1?平面 CB1D1, 所以平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.…(12 分) 点评: 本题考查直线与平面平行的证明, 考查平面与平面垂直的证明, 解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 18. (12 分)已知一圆 C 的圆心为(2,﹣1) ,且该圆被直线 l:x﹣y﹣1=0 截得的弦长为 2 , (Ⅰ)求该圆的方程 (Ⅱ)求过点 P(4,3)的该圆的切线方程. 考点: 圆的切线方程;圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)设圆 C 的方程是(x﹣2) +(y+1) =r (r>0) ,则弦长 P=2 由此能求出圆的方程. (Ⅱ)设切线方程为 y﹣3=k(x﹣4) ,由 的时候,切线方程为:x=4.由此能求出圆的切线方程. =2,得 k= ;当切线斜率不存在
2 2 2



解答: 解: (Ⅰ)设圆 C 的方程是(x﹣2) +(y+1) =r (r>0) , 则弦长 P=2 ,

2

2

2

其中 d 为圆心到直线 x﹣y﹣1=0 的距离, 2 ∴P=2 ,∴r =4, 2 2 ∴圆的方程为(x﹣2) +(y+1) =4…(4 分) (Ⅱ)设切线方程为 y﹣3=k(x﹣4) 由 =2,得 k=

所以切线方程为 3x﹣4y=0 …(10 分) 当切线斜率不存在的时候,切线方程为:x=4. 故圆的切线方程为 3x﹣4y=0 或 x=4.…(12 分) 点评: 本题考查圆的方程与圆的切线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆 的性质的合理运用. 19. (12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AE=3,AB=6. (1)求证:AB⊥平面 ADE; (2)求凸多面体 ABCDE 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;组合几何体的面积、体积问题. 专题: 证明题;转化思想. 分析: (1)根据 AE⊥平面 CDE 的性质可知 AE⊥CD,而 CD⊥AD,AD∩AE=A,根据 线面垂直的判定定理可知 CD⊥平面 ADE,而 AB∥CD, ,从而 AB⊥平面 ADE; (2) 在 Rt△ ADE 中, 求出 AE, AD, DE, 过点 E 作 EF⊥AD 于点 F, 根据 AB⊥平面 ADE, EF?平面 ADE,可知 EF⊥AB,而 AD∩AB=A,从而 EF⊥平面 ABCD,因 AD?EF=AE?DE, 可求出 EF,又正方形 ABCD 的面积 SABCD=36,则 = ,得到结论.

解答: (1)证明:∵AE⊥平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴AE⊥CD. 在正方形 ABCD 中,CD⊥AD, ∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面 ADE. ∵AB∥CD, ∴AB⊥平面 ADE.

(2)解:在 Rt△ ADE 中,AE=3,AD=6, ∴ .

过点 E 作 EF⊥AD 于点 F, ∵AB⊥平面 ADE,EF?平面 ADE, ∴EF⊥AB. ∵AD∩AB=A, ∴EF⊥ 平面 ABCD. ∵AD?EF=AE?DE, ∴ .

又正方形 ABCD 的面积 SABCD=36, ∴ 故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 = . .

点评: 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 20 . (13 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,则面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= , 底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ)线段 AD 上是否存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 若不存在,请说明理由. ?若存在,求出 的值;

考点: 直线与平面垂直的判定;异面直线及其所成的角;点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;证明题;综合题. 分析: 法一: (Ⅰ)证明直线 PO⊥平面 ABCD,因为平面 PAD⊥底面 ABCD,只需证明 面 PAD 内的直线 PO 垂直这两个平面的交线即可即;

(Ⅱ)连接 BO,说明∠PBC 是异面直线 PB 与 CD 所成的角,然后解三角形,求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ)线段 AD 上存在点 Q,设 QD=x,利用等体积方法,求出比值. 法二:建立空间直角坐标系,求出向量 利用向量数量积解答(Ⅱ) ;利用平面的法向量和数量积解答(Ⅲ)即可. 解答: 解: (Ⅰ)证明:在△ PAD 中,PA=PD,O 为 AD 的中点,所以 PO⊥AD 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO?平面 PAD 所以 PO⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连接 BO,在直角梯形 ABCD 中,BC∥AD,AD=2AB=2BC=2 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形,所以 OB∥DC 由(Ⅰ)知 PO⊥OB,∠PBC 是锐角, 所以∠PBC 是异面直线 PB 与 CD 所成的角 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△ AOB 中,AB=1,AO=1,所以 OB= 在 Rt△ AOP 中 因为 AP= AO=1,所以 OP=1 在 Rt△ AOP 中 tan∠PBC= 所以:异面直线 PB 与 CD 所成角的大小 . .

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 设 QD=x,则 在 Rt△ POC 中, 所以 PC=CD=DP, ,由(Ⅱ)得 CD=OB= , , ,



由 Vp﹣DQC=VQ﹣PCD,得 x= ,所以存在点 Q 满足题意,此时



解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以 O 为坐标原点, 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空

间直角坐标系 O﹣xyz, 依题意,易得 A(0,﹣1,0) ,B(1,﹣1,0) ,C(1,0,0) ,D(0,1,0) ,P(0, 0, 1) , 所以 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos , .

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 由(Ⅱ)知 设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0) . 则 所以 即 x0=y0=z0,

, .

取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 =(1,1,1) . 设 , 解 y=﹣ 或 y= (舍去) , 此时 ,所以存在点 Q 满足题意,此时 . ,由 ,得

点 评: 本题主要考查直线与平面位置关系、 异面直线所成角、 点到平面的距离等基本知识, 考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 第一问就建立坐标系的就会导致错误.再者就是线与线所成角应该在 才可

21. (14 分)已知圆 A 过点 于直线 x﹣y+2=0 对称. (1)求圆 A 的方程;

,且与圆 B: (x+2) +(y﹣2) =r (r>0)关

2

2

2

(2)若 HE、HF 是圆 A 的两条切线,E、F 是切点,求

的最小值. ,

(3) 过平面上一点 Q (x0, y0) 向圆 A 和圆 B 各引一条切线, 切点分别为 C、 D, 设 求证:平面上存在一定点 M 使得 Q 到 M 的距离为定值,并求出该定值.

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 2 2 2 分析: (1)设出圆心坐标,利用圆与圆 B: (x+2) +(y﹣2) =r (r>0)关于直线 x﹣ y+2=0 对称,求出圆心坐标,再代入 P 的坐标,即可得出圆 A 的方程;

(2)设∠EHF=2θ, 可求 (3)利用 的最小值.

,利用向量的数量积公式表示出

,再利用基本不等式,

,确定 Q(x0,y0)的轨迹方程,结合距离公式可得结论.

解答: (1)解:设圆 A 的圆心 A(a,b) ,由题意得:
2 2 2

解得



设圆 A 的方程为 x +y =r ,将点 2 2 ∴圆 A 的方程为:x +y =4; (2)解:设∠EHF=2θ, 则 ,

代入得 r=2,

=

当且仅当 ∴

即 的最小值为

时取等号, ;
2 2 2 2

(3)由(1)得圆 A 的方程为:x +y =4,圆 B: (x+2) +(y﹣2) =4, 由题设得|QD|=2|QC|,即 ∴ 化简得: ∴ ∴存在定点 M( , )使得 Q 到 M 的距离为定值 . , , ,

点评: 本题考查圆的方程,考查向量的数量积公式,考查轨迹方程,考查学分析解决问题 的能力,属于中档题.


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