北京市重点中学2014_2015学年高二数学下学期期中试卷理(含解析)

北京市重点中学 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷(理科) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的.) 1.已知复数 z 满足:zi=2+i(i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为( ) A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解答: 解:由 zi=2+i,得 , ∴z 的虚部是﹣2. 故选:D. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2.图书馆的书架有三层,第一层有 3 本不同的数学书,第二层有 5 本不同的语文书,第三 层有 8 本不同的英语书,现从中任取一本书,共有( )种不同的取法. A.120 B.16 C.64 D.39 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题;排列组合. 分析:利用分类加法原理,即可得出结论. 解答: 解:由于书架上有 3+5+8=16 本书,则从中任取一本书,共有 16 种不同的取法. 故选 B. 点评:本题先确定拿哪种类型的书,考查分类计数原理的应用,考查两种原理的区别. 3.已知曲线 y= A.3 ﹣3lnx+1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( B.2 C.1 D. ) 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用. 分析:求出函数的定义域和导数,利用导数是切线的斜率进行求解即可. 解答: 解:函数的定义域为(0,+∞) , 则函数的导数 f′(x)= ﹣ , 由 f′(x)= ﹣ = , 即 x ﹣x﹣6=0, 2 1 解得 x=3 或 x=﹣2(舍) , 故切点的横坐标为 3, 故选:A. 点评:本题主要考查导数的几何意义的应用,求函数的导数,解导数方程即可,注意定义域 的限制. 4.由直线 y= ,y=2,曲线 y= 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是( A.2ln2 B.2ln2﹣1 C. ln2 D. ) 考点:定积分. 专题:导数的综合应用. 分析: 利用定积分的几何意义, 首先利用定积分表示出图形的面积, 求出原函数, 计算即可. 解答: 解:由题意,直线 y= ,y=2,曲线 y= 及 y 轴所围成的封闭图形的面积如图阴影 部分, 面积为 =lny =ln2﹣ln =2ln2; 故选 A. 点评:本题考查定积分的运用,利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积,考查了学生的计 算能力,属于基础题. 5.以下说法正确的是( ) A.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件 B.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的必要条件 C.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的充分条件 D.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件 考点:分析法和综合法. 专题:证明题. 分析:利用综合法证题思路(执因索果)与分析法的证题思路(执果索因)及充分条件与必 要条件的概念即可得到答案. 解答: 解:设已知条件为 P,所证结论为 Q, 综合法的证题思路为执因索果,即 P? Q1? Q2? …? Qn? Q, 2 ∴在用综合法证明的过程中, 每一个分步结论都是条件成立的必要条件, 故 A 错误, B 正确; 分析法的证题思路是执果索因,即 Q?Qn?…?Q2?Q1?P 显然,在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的必要条件,故 C 错误; 在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的充分条件. 故选 B. 点评:本题考查分析法与综合法的应用,考查充分条件与必要条件的概念,属于中档题. 6.设函数 f(x)=xlnx,则 f(x)的极小值点为( A.x=e B.x=ln2 C.x=e 2 ) D.x= 考点:利用导数研究函数的极值. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:确定函数的定义域,求导函数,确定函数的单调性,即可求得函数 f(x)的极小值 点. 解答: 解:函数的定义域为(0,+∞) 求导函数,可得 f′(x)=1+lnx 令 f′(x)=1+lnx=0,可得 x= ∴0<x< 时,f′(x)<0,x> 时,f′(x)>0 ∴x= 时,函数取得极小值, 故选:D. 点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极小值点,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 7. 已知 2 ×1=2, 2 ×1×3=3×4, 2 ×1×3×5=4×5×6, …, 以此类推, 第 5 个等式为( 4 5 A.2 ×1×3×5×7=5×6×7×8 B.2 ×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9 4 5 C.2 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 D.2 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 1 2 3 ) 考点:类比推理. 专题:综合题;推理和证明. 分析:根据已知可以得出规律,即可得出结论. 1 2 3 解答: 解:∵2 ×1=2,2 ×1×3=3×4,2 ×1×3×5=4×5×6,…, 5 ∴第 5 个等式为 2 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 故选:D 点评:此题主要考查了数字变化规律,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并 应用发现的规律解决问题.对于等式,要注意分别发现:等式的左边和右边的规律. 8.在复平面内,复数 3﹣4i,i(2+i)对应的点分别为 A、B,则线段 AB 的中点 C 对应的复 数为( ) A.﹣2+2i B.2﹣2i C.﹣1+i D.1﹣i 3 考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由复数代数形式的乘法运算化简 i(2+i) ,求出 A,B 的坐标,利用中点坐标公式求 得 C 的坐标,则答案可求. 解答: 解:∵i(2+i)=﹣1+2i, ∴复数 3﹣4i,i(2+i)对应的点分别为 A、

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