高中数学必修1人教A教案导学案3.2.1几类不同增长的函数模型

§ 3.2.1 几类不同增长的函数模型教案

【教学目标】 1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它 们的增长差异; 2. 借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的 增长差异; 3. 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际 问题. 【教学重难点】 教学 重点:将实际问题转化为数学问题,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增 长等不同函数类型增长的含义。 教学难点:如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。 【教学过程】 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、展示目标。 材料:澳大利亚兔子数“爆炸” 1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天 敌,兔子数量不断增加,不到 100 年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可 爱的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率 大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消 灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔, 澳大利亚人才算松了一口气. 一般而言,在理想条件(食物或养料充足,空间条件充裕,气候适宜,没有敌害等) 下,种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线;在有限环境(空间有限,食物有限, 有捕食者存在等)中,种群增长到一定程度后不增长,曲线呈“S”型.可用指数函数描述 一个种群的前期增长,用对数函数描述后期增长的,感知指数函数变化剧烈。 (三)典型例题 例 1 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如 下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪 种投资方案? (1)请你分析比较三种方案每天回报的大小情况 思考:各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映 (2)你会选择哪种投资方案? 思考:选择投资方案的依据是什么? 反思: ① 在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述这些数量关系? ② 根据此例的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?借

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助计算器或计算机作出函数图象,并通过图象描述一下三种方案的特点. 解析:我们可以先建立三种投资方案所对应的模型,在通过比较他们的增长情况,为 选择方案的依据。 解:设第 x 天的回报为 y 元,则方案一可以用 y ? 40( x ? N ) 进行描述,方案二可以
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用 y ? 10 x( x ? N ) 进行描述,方案三可以用 y ? 0.4 ? 2 ( x ? N ) 进行描述,要对三个 方案进行选择,就要对增长情况进行分析。 (见课本 95 页分析 ) 点评:在解决实际问题中,函数图像能够发挥很好的作用,因此,我们应该注意提高 学生的读图能力。 变式训练 1 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种 病毒,那么每轮病毒发作时,这台计算机都可能感染没被感染的 20 台计算机. 现在 10 台计 算机在第 1 轮病毒发作时被感染,问在第 5 轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染
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例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案: 在销售利润达到 10 万元时, 按销售利润进行奖励, 且奖金 y(单位: 万元) 随销售利润 x(单 位:万元)的增加而增加但奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖 励模型:
y ? 0.25x ; y ? log7 x ? 1 ; y ? 1.002 x .

问:其中哪个模型能符合公司的要求?

反思: ① 此例涉及了哪几类函数模型?本例实质如何? ② 根据问题中的数据,如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求? 解析:根据实际,提示引导, 判定所给的奖励模型是否符合公司要求,就是依据这个模 型进行奖励时,总奖金不超过 5 万元。 变式训练 2 经市场调查分析知,某地明年从年初开始的前 n 个月,对某种商品需求总量 f ? n ? (万 件)近似地满足关系
1 n ? n ? 1?? 35 ? 2n ?? n ? 1, 2,3,?,12 ? . 150 写出明年第 n 个月这种商品需求量 g ? n ? (万件)与月份 n 的函数关系式. f ? n? ?

(四)小结 解决应用题的一般程序: ① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; ② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③ 解模:求解数学模型,得出数学结论; ④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义。 【板书设计】 一、几类函数模型
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二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】课本 98 页 1,2

§ 3.2.1 几类不同增长的函数模型学案

课前预习学案
一、预习目标 对于基本的实际问题能抽象出数学模型。 二、预习内容 (预习教材 P95~ P98,找出疑惑之处) 阅读:澳大利亚兔子数“爆炸” 有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859 年,有人 从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断 增加,不到 100 年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可爱的兔子变得可恶 起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是 澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二 十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算 松了 一口气. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它 们的增长差异; 2. 借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的 增长差异; 3. 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格 )并借助信息技术解决一些实际 问题. 学习重点:将实际问题转化为数学问题,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增 长等不同函数类型增长的含义。 学习难点:如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。 二、学习过程

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典型例题 例 1 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如 下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案?

反思: ① 在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述这些数量关系? ② 根据此例的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?借 助计算器或计算机作出函数图象,并通 过图象描述一下三种方案的特点.

变式训练 1 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种 病毒,那么每轮病毒发作时,这台计算机都可能感染没被感染的 20 台计算机. 现在 10 台计 算机在第 1 轮病毒发作时被感染,问在第 5 轮 病毒发作时可能有多少台计算机被感染?

例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案: 在销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励, 且奖金 y (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而增加但奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三 个奖励模型: y ? 0.25x ; y ? log7 x ? 1 ; y ? 1.002 x . 问:其中哪个模型能符合公司的要求?

反思:
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① 此例涉及了哪几类函数模型?本例实质如何?

② 根据问题中的数据,如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求?

变式训练 2 经市场调查分析知,某地明年从年初开始的前 n 个月,对某种商品需求总量 f ? n ? (万
件)近似地满足关系 1 f ? n? ? n ? n ? 1?? 35 ? 2n ?? n ? 1, 2,3,?,12 ? . 150 写出明年第 n 个月这种商品需求量 g ? n ? (万件)与月份 n 的函数关系式.

四、反思总结 解决应用题的一般程序: ① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; ② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③ 解模:求解数学模型,得出数学结论; ④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义. 五、当堂达标:课本 108 页 2 题

课后练习与提高
1. 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,4 个分裂成 8 个??,现有 2 个这样的细胞,分裂 x 次后得到的细胞个数 y 为( ). x ?1 x?1 x A. y ? 2 B. y=2 C. y=2 D. y=2 x 2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后 来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系, 可选用( ). A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数 3. 一等腰三角形的周长是 20,底边长 y 是关于腰长 x 的函数,它的解析式为( ). A. y=20-2x (x≤10) B. y=20-2x (x<10) C. y=20-2x (5≤x≤10) D. y=20-2x(5<x<10 ) 4. 某新品电视投放市场后第 1 个月销售 100 台,第 2 个月销售 200 台,第 3 个月销售 400 台, 4 个月销售 790 台, 第 则销量 y 与投放市场的月数 x 之间的关系可写成 . 5. 如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量 y 与净化时间 t

5

(月)的近似函数关系: y ? a t (t≥0,a>0 且 a≠1).有以下叙述 1 ① 第 4 个月时,剩留量就会低于 ; 5 ② 每月减少的有害物质量都相等; 1 1 1 ③ 若 剩 留 量 为 , , 所 经 过 的 时 间 分 别 是 t1 , t2 , t3 , 则 2 4 8 t1 ? t2 ? t3 . 其中所有正确的叙述是 .

y 1

4 (2, ) 9
1 4 2 3 t(月)

6.某服装个体户在进一批服装时,进价已按原价打了七五折,他打算对该服装定一新价 标在价目卡上,并注明按该价 20%销售. 这样,仍可获得 25%的 纯利.求此个体户给这批服 装定的新标价与原标价之间的函数关系.

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