指数幂及运算


2.1

1 理解教 材新知

知识点一 知识点二 题型一 题型二

2.1.1

第 二 章

第二 课时 指数幂 及运算

2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍

4 应用落 实体验

随堂即时演练 课时达标检测

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2.1
2.1.1

指数函数
指数与指数幂的运算

第二课时

指数幂及运算

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分数指数幂的意义
[提出问题]

问题 1:判断下列运算是否正确. (1) 3 5 a = ?a2?5=a2=a (a>0);
12 10

5

10 5

(2) a = ?a4?3=a4=a (a>0).
提示:正确.
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3

12 3

问题 2:能否把 a , b , c5 写成下列形式: 4 3 4 a3=a (a>0); b2=b (b>0); c5=c (c>0).
5 4 2 3 3 4

4

3

3

2

4

提示:能.

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[导入新知]
分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是: a =
m n

n

am (a>0,m,n∈N*,且 n>1).

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是: 1 m _ n n m 1 a (a>0,m,n∈N*,且 n>1). a = m= an (3)0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 无意义 .
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[化解疑难] 对分数指数幂的理解 m m n (1)指数幂 a 不可以理解为 n 个 a 相乘,它是根式的一种新 写法. 在定义的规定下, 根式与分数指数幂是表示相同意义的量, 只是形式上不同而已,这种写法更便于指数运算,所以分数指数 幂与根式可以相互转化; (2)通常规定分数指数幂的底数 a>0, 但要注意在像(-a) = 4 -a中的 a,则需要 a≤0.
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1 4

有理指数幂的运算性质 [导入新知]
有理数指数幂的运算性质
r a (1)a a =
r s r s
+s

(a>0,r,s∈Q);

rs a (2)(a ) = (a>0,r,s∈Q); r r a b (a>0,b>0,r∈Q). (3)(ab) = ·
r

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[化解疑难] 有理指数幂的运算性质的理解与巧记 (1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性 质推广而来,可以用文字语言叙述为:①同底数幂相乘, 底数不变,指数相加;②幂的幂,底数不变,指数相乘; ③积的幂等于幂的积. (2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循: 乘相加,除相减,幂相乘.
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根式与分数指数幂的互化
[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(
1 2

)

A.- x=(-x) (x>0) 4 1 C. x = ?x?3(x>0)
? 3 4

B. y2=y (y<0) D. x
- 1 3

6

1 3

=- x(x≠0)

3

返回

(2)用分数指数幂的形式表示下列各式. ①a2· a(a>0); ② a a(a>0);
? ?4 ③? ? ??2 2? 3 ? (b>0); 3? b ?



y2 x

x3 3 y6 y x3(x>0,y>0).

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(1)[解析] 6

- x=-x (x>0);
1 2 6 1 3

1 2

y2=[(y) ] =-y (y<0);
? 3 4 1 -3 4

4 ?1? ? ?3(x>0); x =(x ) = ?x? x
? 1 3

3 ?1? 1 =?x? 3 = ? ?

1 x(x≠0).

[答案]

C

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(2)[解] ②

①a2· a=a2· a =a a· a =
2 1 2

1 2

1 2+ 2

=a .
3 ?1 ? 2?2
?

5 2

a a=

a =a
2 1 ? 2?

3 2

? ? ? ?

=a .

3 4

? ? ?? ? ? ?? 2 ? 1 ? ? 3 4 ? 3? ? ? ? 3 9 ③原式=? = b = b . 3?4 ? ? ??b ? ?

1

④法一:从外向里化为分数指数幂. y2 x x3 3 y6 ?y2 ? y x3=? x x y
33

y? x3?

6?

1 2

返回

? 2? 3 ?y ?x 3 =? x ? ? ?y

? y? 3? x?
6

1 ?1 2?2

? ?

2 3 6 ? ?y ?x ? y ? =? x ? ?x3? ? ?y? ? ?

1 ?1 ?1 ? 3?2?2

? ? ?

?y2? 1 ?x3? 1 ? y6 ? 1 ? ?4 · ? 3? 12 =? x ? 2 · ? ? ? y ? ?x ?
5 y x y x · y = 1 · 1 · 1 = 3 1 =y 4 . x2 y4 x4 x4 · y4 3 4 1 2 3 4 3 2

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法二:从里向外化为分数指数幂. y x =
2

x y y2 x

33

y x3=

6

y x

2

x y 3 ? 3? y ?x ?

3? 6 ? 1

x3 y2 y· x=

y2 2 1 2 ? x · y ? x

5 1 ?1 ?y2 2?2 =? · =y 4 . xy ?x ?

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[类题通法] 根式与分数指数幂的互化技巧 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时, 关键是熟记根式 与分数指数幂的转化式子:a = a 和 a 母 a 要使式子有意义. (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条: 一 是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.
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m n

n

m

?

m n



1 a
m n



1 n am

,其中字

[活学活用] 将下列根式化为分数指数幂的形式: (1) (2) 1 a 1 3 1 a(a>0); (x>0);

5 x· ? x2?2 ab3 ab5(a>0,b>0).

(3)

返回

解:(1)原式= (2)原式= 1 3 1 x
3 5

1?1? 1 ? ?2= a?a? =
2? ?2 5?
?

3 ?1? 3 ?1? 3 ? ? ? 2 =? ? 4 =a 4 . ?a? ?a?

1 3 x· x
4 5



1 3 x
9 5

x· x

? ? ? ?

=?
? ? ?

1
9 ?1 ? 5?3
?



=x .
1 5 2 1 2 1 2 1 5 2 1 2
11 ? 1 ? 2 ?2
?

?

3 5

x

(3)原式=[ab3(ab ) ] =[a· a b3(b ) ] = a b =a b .
3 4
11 4

? ? ? ?

3 2

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指数幂的运算
[例 2] 计算下列各式:

? 3?0 ? 1? ? 1 -2 (1)?25? +2 ×?24? 2 -0.010.5; ? ? ? ?

(2)0.064
?1? (3)?4? ? ?
?

?

1 3

4 ? 7?0 ? -?-8? +[(-2)3] 3 +16-0.75; ? ?

1 2

· 1 (a>0,b>0). 0.1-2?a3b-3? 2

? 4ab-1?3

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? 1 ?1 1 ?4? 1 1 1 16 [解] (1)原式=1+4×?9? 2 -?100? 2 =1+6-10=15. ? ? ? ?

5 1 1 27 (2)原式=0.4 -1+(-2) +2 =2-1+16+8=16.
-1 -4 -3

3 3 3 - - 4 · 4 3 4 0 0 4 2 2 2 2 (3)原式= 100 · a · a · b · b =25a b =25.

1 2

3 2

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[类题通法] 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式 为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序. (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方 数的符号,则可以对根式进行化简运算. (3)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的 形式表示.

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[活学活用] 计算下列各式的值: (1)0.027
- 1 3

? 1?-2 ? 7? 1 ? 2 ? ? ? ? - -7 + 29 -?? ? ? ? ?

2-1???0;

1 ? 8 ?- 1 ? 3? 0 (2)?125? 3 -?-5? +160.75+0.25 2 ; ? ? ? ?

?1?-2 (3)?4? + ? ?

? 3+ 2 6? ? 0 3 -1.03 ×?- ? . 2? 3- 2 ? ?

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? 27 ?-1 ?1?-2 ?25? 1 10 5 3 2 ? ? ? ? ? ? 解:(1)原式= 1 000 - 7 + 9 -1= 3 -49+3-1=-45. ? ? ? ? ? ?
3 5 5 4 (2)原式=2-1+16 +0.5=2-1+8+0.5=10.

2 ? ?3? 1 ? ? 3 + 2 ? 3 2 3 2 ? ? ? ? (3)原式=4 + -1× - 2 =16+5+2 6+4 6= 3-2 ? ? ? ?

11 21+ 4 6.

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4.含附加条件的幂的求值问题

[典例]
1 2 1 2

(12 分)已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求:
1 2 1 2

(1)x +y ; (2)x -y ; (3)x-y.

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[解题流程]

求 x +y ,x -y ,x-y 的值,应建立 其与 x+y 及 xy 的关系后求解
?1?将 x +y ,x -y 平方后即可建立其与 x+y 及 xy 的关系; ?2?可利用平方差公式将 x-y 分解成 ?x +y ??x -y ?求解
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

返回

?x +y ? =x+y+2 xy ↓ ?x -y ? =x+y-2 xy ↓
(x-y=?x ? -?y ? =?x +y ? = ?x +y ??x -y ?
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2

1 2

1 2 2

1 2

1 2 2

返回

[规范解答] (1) x +y
1 2 1 2
? ? ? ?

[名师批注]
=x+y+2 xy=18,(2 分) 由x与x ,y与y 都具有平方
1 2 1 2

1 2

1? ?2 2?
?

∴x +y =3 2.(4 分)
? ? ? ?

关系,故可先求 x +y
1 2 1 2

? ? ? ?

1 2

1? ?2 2?
?



然后求 x +y 的值,解题 (2) x -y ? =x+y-2 xy=6,(6 分) 时常因找不到此关系而使 1 1 问题不能得以正确求解. 2 2 又 x<y,∴x -y =- 6.(8 分)
1 2 1? ?2 2?

返回

(3)x-y= x
? ? ? ?

? ? ? ?

1? ?2 2?
?

-y
1? ? 2?
?

? ? ? ?

1? ?2 2?
?

= x +y ??x -y

1 2

1 ?? ?? 2 ??

1 2

(10 分)
1 2 1 2

易忽视条件x<y, 得出错误答案.
1 2

=3 2×(- 6)=-3×2 ×2 ×3 =-6 3.(12 分)

此处巧妙利用了?1??2? 结论使问题得以解决.

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[活学活用] 已知 a+a-1=5,求下列各式的值; (1)a2+a-2; (2)a -a .
1 2 ? 1 2

解:(1)法一:由 a+a 1=5 两边平方得:


a2+2aa-1+a-2=25, 即:a2+a-2=23;

返回

法二:a2+a-2=a2+2aa-1+a-2-2aa-1 =(a+a-1)2-2=25-2=23; (2)∵(a -a ) =a+a 1-2=5-2=3,


1 2

?

1 2 2

∴|a -a |= 3.∴a -a =± 3.

1 2

?

1 2

1 2

?

1 2

返回

[随堂即时演练]
1.若 2<a<3,化简 ?2-a? + ?3-a?4的结果是 A.5-2a C.1 B.2a-5 D.-1
2

4

(

)

解析:由于 2<a<3, 所以 2-a<0,3-a>0, 所以原式=a-2+3-a=1.

答案:C
返回

2.(-2a b · (-a b ) ÷ (-3a b )等于
5 ? 2 8 A.3a 3 b 2 5 ? 2 1 C.-3a 6 b 6

1 3

?

3 4

1 2

?

1 3 6

2 3

?

1 4

(

)

2 8 B.-3a 3
5 ? 2 1 D.3a 6 b 2
1 3 ?

解析:原式=(-2)×(-1)6÷ (-3)· (a b )· (a3· b 2)÷ (a b )=


3 4

2 3

?

1 4

2 -2-? _ ? 2 8 ? 5 +3- 2 1 ? 4? 3 3 4 3 2 a b = a b 注意符号不能弄错. 3 3

3

? 1?

答案:A

返回

3.若 10x=3,10y=4,则 102x-y=________.
解析:∵10x=3,∴102x=9,
2x 10 9 2 x- y ∴10 = 10y =4. 9 答案:4 3 4.化简 a a的结果是________.

解析:
答案:a

3
1 2

a a= a a? = a· a

? ? ?

1 ?3 ?

? ? ? ?

1 ?1 ? 2?3
?

=a

? ? ? ?

3 ?1 ? 2?3
?

=a .

1 2

返回

5.计算(或化简)下列各式: (1)4 (2)
1 2

2+1

· 23-2
1 2

2



· 64 ;
1 2 1 2 1 2 1 2

2 3

a-b a +b



a+b-2a · b a -b
2+1

.
- 2 3

解:(1)原式=(22) =22 =22
2+2

· 23-2 2· (26)

· 23-2 2· 2-4
2-4

“课时达标检测”见“课时

2+2+3-2
1 2

=21=2.
1 2 1 2 1 2 1 2

跟踪检测(十三)”
1 2 2

?a + b ?a -b ? ?a -b ? (2)原式= - 1 1 1 1 a 2 +b 2 a 2 -b 2 =a -b - a -b ?=0.
1 2 1 2
? ? ? ?

1 2

1? ? 2?

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