2014年鄂州二中高二下期末考试数学检测题(含答案)

2014 年鄂州二中高二下学期期末数学检测题 2(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.若复数 z ? ( x2 ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为 ( A. ?1 B. 0 C. 1
2

) D. ?1 或 1 m/s,则该物体从 0 秒到 4

2.一个物体作变速直线运动,速度和时间关系为 v(t)= 4 ? t 秒运动所经过的位移为( ) 16 A. m B. ?

C.16m

D.﹣16m

16 m 3

3

3.在极坐标系中,直线 ( A . ) B.

与直线 l 关于极轴对称,则直线 l 的方程为

C.

D.

4.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图 有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律, 第 6 幅图的蜂巢总数为( ) A.61 B.90 C.91 D.127 5. 若 < <0,则下列不等式,① a<b;② a+b<ab;③ |a|>|b|;④ 式为( A ① 、③ . ) B.① 、④
x

>2 中,正确的不等

C.② 、③

D.② 、④

6.设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则( A、 a ? ?



1 e

B、 a ? ?1

C、 a ? ?1

D、 a ? ?

1 e
) D. a b ? 1
2 2

7.已知 a 1 ? b2 ? b 1 ? a2 ? 1 ,由柯西不等式知以下一定成立的是( A. a ? b ? 1
2 2

B. a ? b ? 1
2 2

C. a ? b ? 1
2 2

8. 若 a +b >1,则能推出下列不等式中一定成立的是( A |a|>1 且|b|>1 B.|a+b|>1 C.|ab|>1 .

2

2

) D.|a|+|b|>1

9.极坐标系中, 有点 A ? 2, ? ? 和点 B ? 2, ?
2

? ?

2 ? 3 ?

? ?

??
2

曲线 C2 的极坐标方程为 ρ= ?, 3? ) D.30



设 M 是曲线 C2 上的动点,则|MA| +|MB| 的最大值是( A.24 B.26 C.28

10.定义在 (0, ?? ) 上的单调递减函数 f ( x ) ,若 f ( x ) 的导函数存在且满足 则下列不等式成立的是( ) A. 3 f (2) ? 2 f (3) B. 3 f (4) ? 4 f (3)

f ( x) ? x, f ?( x)

C. 2 f (3) ? 3 f (4)

D. f (2) ? 2 f (1)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 12. 已知 2 ? = .

2

3 3 8 8 15 15 t,n 为正实数, n ? 2 ) , 通过归纳推理, 可推测 a, t 的值, 则 a ?t ? 果用 n 表示)

?2

2

,

3?

3

?3

3

,

4?

4

?4

4

,

, 若 n?

a t

?n

a t

(a, (结 .

13.将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 ,则 S 的最小值是 .

14.大家知道:在平面几何中,△ABC 的三条 点,这个点叫三角形的重心,并且重心分 1(从顶点到中点) .据此,我们拓展到空 体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空 线,则四条中轴线相交于一点,这点叫此 心.类比上述命题,请写出四面体重心的 ________ .

中线相交于一 中线之比为 2∶ 间:把空间四面 间四面体的中轴 四 面 体 的 重 一 条 性 质 :

15.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,两种坐标系取相同 的单位长度.已知曲线 C: ? sin θ=2acosθ(a>0) ,过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方
2

程为

,直线 l 与曲线 C 分别交于 M、N.若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列,

则实数 a 的值为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知关于 t 的方程 t2﹣zt+4+3i=0(z∈ C)有实数解, (1)设 z=5+ai(a∈ R) ,求 a 的值. (2)设 z=b+ai(b,a∈ R)求|z|的取值范围.

17. 已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ )当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ )当 x ? ? ,1? 时,f(x)≤g(x)成立,求 a 的取值范围.

?1 ? ?2 ?

18. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2ln( x ? a) ? x2 ? x 在 x ? 0 处取得极值. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? b ? 0 在区间 [?1,1] 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的 取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=|x﹣m|,

? 2; (Ⅰ )求证: f ( ? x ) ? f ( )
(Ⅱ )若 m=1 且 a ? b ? c ?

1 x

2 时, f (log2 x) ? f (2 ? log2 x) ? a ? 2 b ? 3 c 对任意正 7

数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值范围. .

20. (本小题满分 13 分) 一座桥,两端的桥墩已建好,这两桥墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的 桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻桥墩之间的 桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑 其他因素,记余下 工程的费用为 y 万元. .. (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数), g n ( x) ? 1 ? x ?
x

x2 2!

?

x3 3!

?L ?

xn n!

( n ? N? ) .

(Ⅰ)证明: f ( x ) ≥g1 ( x) ; (Ⅱ)证明:当 x≥0 时, f ( x ) ≥g2 ( x) ; (Ⅲ)当 x≥0 时,比较 f ( x ) 与 gn ( x) 的大小,并证明.

参 考 答



一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.若复数 z ? ( x2 ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为 ( A. ?1 B. 0 C. 1 A ) D. ?1 或 1

? x2 ?1 ? 0 【解析】由 ? ? x ? ?1 ,故选 A. ?x ?1 ? 0
2.一个物体作变速直线运动,速度和时间关系为 v(t)=4﹣t m/s,则该物体从 0 秒到 4 秒运动所经过的路程为( B ) A B. C.16m D.﹣16m . 解:∵ 速度和时间关系为 v(t)=4﹣t m/s, ∴ 该物体从 0 秒到 4 秒运动所经过的路程 S= 故选:B. 3.在极坐标系中,直线 ( A ) A B. . 提示:把 ? 换成 ?? ,即得结果 与直线 l 关于极轴对称,则直线 l 的方程为 = = =16 = ,
2 2

C.

D.

4.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图 有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律, 第 6 幅图的蜂巢总数为( C ) A.61 B.90 C.91 D.127

5. 若 < <0,则下列不等式,① a<b;② a+b<ab;③ |a|>|b|;④ 式为( D ) A.① 、③

>2 中,正确的不等

B.① 、④

C.② 、③

D.② 、④

6.设 a ? R ,若函数 y ? e x ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则( C A、 a ? ?



1 e

B、 a ? ?1

C、 a ? ?1

D、 a ? ? B )
2 2

1 e

7.已知 a 1 ? b2 ? b 1 ? a2 ? 1 ,则以下成立的是( A. a ? b ? 1
2 2

B. a ? b ? 1
2 2

C. a ? b ? 1

D. a b ? 1
2 2











西











a 1 ? b2 ? b 1 ? a2 ? a2 ? 1 ? a2 b2 ? 1 ? b2 ?1
1 ? b2 ? 当且仅当 时,上式取等号, a 1? a2 b

?

?

???

?

??

? ab ? 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 ,
a 2b 2 ? 1 ? a 2 1 ? b 2 ,
于是
2 2

?

??

?

a2 ? b2 ?1 。

8. 若 x +y >1,则下列不等式成立的是(D ) A.|x|>1 且|y|>1 B.|x+y|>1 C.|xy|>1 解:取 x=0.5,y=﹣2,则|a|<1 排除 A, 取 x=0.5,y=﹣1,则|x+y|<1 排除 B, 取 x=0.5,y=﹣2,则|xy|=1 排除 C, 故不等式成立的是 D. 故选 D. 法二: 画出不等式表示的平面区域即得。

D.|x|+|y|>1

9. 极坐标系中,有点 A ? 2, ? ? 和点 B ? 2, ?

? ?

2 ? 3 ?

? ?

??

? ,曲线 C2 的极坐标方程为 3?
2 2

ρ=

,设 M 是曲线 C2 上的动点,则|MA| +|MB| 的最大值是(B



A.24 解: A 由 ρ= ,

B.26

C.28

D.30

, 化为 ρ (4+5sin θ) =36, ∴ 4ρ +5 (ρsinθ) =36, 化为 4 (x +y ) +5y =36,

2

2

2

2

2

2

2

化为
2 2

,设曲线 C2 上的动点 M(3cosα,2sinα) , +

|MA| +|MB| =

=18cos α+8sin α+8 2 =10cos α+16≤26,当 cosα=±1 时,取得最大值 26. 2 2 ∴ |MA| +|MB| 的最大值是 26. 10.定义在 (0, ??) 上的单调递减函数 f ( x ) ,若 f ( x ) 的导函数存在且满足 则下列不等式成立的是( A ) A. 3 f (2) ? 2 f (3) B. 3 f (4) ? 4 f (3)

2

2

f ( x) ? x, f ?( x)

C. 2 f (3) ? 3 f (4)

D. f (2) ? 2 f (1)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 12.已知 2 ? = .

2

3 3 8 8 15 15 实数, n ? 2 ) ,通过归纳推理,可推测 a,t 的值,则 a ? t ? 用 n 表示)
2

?2

2

, 3?

3

?3

3

, 4?

4

?4

4

,

,若 n ?

a t

?n

a t

(a,t,n 为正 . (结果

【答案】 n ? n ? 1 【解析】通过归纳推理, a ? n, t =n2 ?1,? a ? t ? n2 ? n ?1 . 13.将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 ,则 S 的最小值是 解:设剪成的小正三角形的边长为 x,则: .

(方法一)利用导数求函数最小值.



=

, 当 故当 故当 时,S′ (x)<0,递减;当 时,S 的最小值是 . . 时,S′ (x)>0,递增;

时,S 的最小值是

14.大家知道:在平面几何中,△ABC 的三条中线相交于一 点,这个点叫三角形的重心,并 且重心分中线之比为 2∶1(从顶点到中点) .据此,我们拓展到空间:把空间四面体的 顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线,则四条中轴线相交于一点,这 点叫此四面体的重心.类比上述命题,请写出四面体重心的一条性质:________. 答案: 四面体重心分中轴线之比为 3∶1

【解析】如图所示,AE,BP 为四面 体的中轴线,P,E 分别为 ?ACD, ?BCD 的重心,连结 PE,因 为 AP∶PF=2∶1,BE∶EF=2∶1,所以 AP∶PF=BE∶EF, PE // AB ,所以 AG∶GE=BG∶ GP=AB∶PE=3∶1. 15.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,两种坐标系取相同 的单位长度.已知曲线 C:psin θ=2acosθ(a>0) ,过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方
2

程为

,直线 l 与曲线 C 分别交于 M、N.若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列,

则实数 a 的值为

1 .

提 示 : 设 点 M 对 应 的 参 数 为 t1 , 点 N 对 应 的 参 数 为 t 2 , 则 有 ? t1 ? t2 ? ? t1t2 , 即
2

? t1 ? t2 ?

2

? 5t1t2 直 线 参 数 方 程 代 入 到 抛 物 线 普 通 方 程 y 2 ? 2ax , 得

t2 ? 4 2 ? 2a t ? 16 ? 4a ? 0 , 2
有 t1 ? t2 ? 8 2 ? 2 2a,

?

?

t1 ? t2 ? 32 ? 8a ,代入得 a=1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知关于 t 的方程 t2﹣zt+4+3i=0(z∈ C)有实数解, (1)设 z=5+ai(a∈ R) ,求 a 的值. (2)设 z=a+bi(a,b∈ R)求|z|的取值范围. 【解答】 : (1)设实数解为 t,由 t ﹣(5+ai)t+4+3i=0 得 (t ﹣5t+4 )+(﹣at+3) i=0. 故 ,∴ ,或 .
2 2

∴ a=3,或 a= .

(2)∵ ∴ .

,∴



17. 已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ )当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ )当 x ? ? ,1? 时,f(x)≤g(x)成立,求 a 的取值范围. 【解答】 : (1)解集为(0,2) (2)当 x ? ? ,1? 时,f(x)≤g(x)为 2x ?1 ? 2x ? a ? x ? 3

?1 ? ?2 ?

?1 ? ?2 ?

2 x ? a ? 4 ? x , x ? 4 ? 2 x ? a ? 4 ? x , ?4 ? a ? x ?
? ?4 ? a ?
1 4?a 9 ?1? ?? ? a ? 1 2 3 2

4?a 3

(法二:数形结合法)

18. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2ln( x ? a) ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值.
2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? b ? 0 在区间 [?1,1] 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的 取值范围. 【解答】 (Ⅰ) f ?( x) ?

2 ? 2 x ? 1 ,当 x ? 0 时, f ( x) 取得极值, x?a

? f ?( x) ? 0 ,解得 a ? 2 ,检验 a ? 2 符合题意.
(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? b ? 2ln( x ? 2) ? x2 ? x ? b, 则 g ?( x) ? 当 x ? (?2, 0) 时, g ?( x) ? 0,? g ( x) 在 (?2, 0) 上单调递增; 当 x ? (0, ??) 时, g ?( x) ? 0,? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 要使 f ( x) ? b ? 0 在区间 [?1,1] 上恰有两个不同的实数根,

2 ? 2 x ? 1( x ? ?2), x?2

? g (?1) ? 0 ? 只需 ? g (0) ? 0 ? g (1) ? 0 ?

?b ? 0 ? 即 ?2 ln 2 ? b ? 0 , ??2 ln 2 ? b ? 2 ? 2 ln 3. ?2 ln 3 ? 2 ? b ? 0 ?

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=|x﹣m|,

? 2; (Ⅰ )求证: f ( ? x ) ? f ( )
(Ⅱ )若 m=1 且 a ? b ? c ?

1 x

2 时, f (log2 x) ? f (2 ? log2 x) ? a ? 2 b ? 3 c 对任意正 7

数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值范围.

【解答】 : (I) f (? x) ? f ( ) = ?x ? m ?
2

1 x

1 1 1 ? m ? x ? ? x ? ? 2 ;…(4 分) x x x
2 2 2

(II)∵ 根据柯西不等式,有(a+b+c) (1 +2 +3 )≥( a ? 2 b ? 3 c ) , ∴ a ?2 b ?3 c ? 2 (8 分)

f (log2 x) ? f (2 ? log2 x) >2, log2 x ?1 ? log2 x ?1 ? 2
∴ 从而 ? log2 x ?1?? log2 x ?1? ? 0

∴ x 的取值范围是 x ? 2或0 ? x ?

1 (12 分) 2

20. (本小题满分 12 分) 一座桥,两端的桥墩已建好,这两桥墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的 桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻桥墩之间的 桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑 其他因素,记余下 工程的费用为 y 万元. .. (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 【解答】 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n ? 1) x ? m,即n= 所以 y ? f ( x)=256n+(n+1)(2+ x )x =256(

m ? 1, x

m m -1)+ (2 ? x ) x x x

?

256m ? m x ? 2m ? 256. x
256m x2 ? 1 2 mx
?
1 2

(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)知, f ?( x) ? ?
3

?

m 2x2

3

( x 2 ? 512) ,

令 f ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时, f ?( x ) <0, f ( x ) 在区间(0,64)内为减函数; 当 64 ? x ? 640 时, f ?( x ) >0, f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 方法二: y ?

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64
x 2 x 2

256m x

? m x ? 2m ? 256 ? m(

256 x

?

?

) ? 2m ? 256

? 3m 3 6 4? 2 m ? 256 ? m 1 4? (当且仅当 256
21. (本小题满分 14 分)

256 x ? , 即 x ? 64 取等) x 2

设函数 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数), g n ( x) ? 1 ? x ?
x

x2 2!

?

x3 3!

?L ?

xn n!

( n ? N? ) .

(Ⅰ)证明: f ( x ) ≥g1 ( x) ;

(Ⅱ)证明:当 x≥0 时, f ( x ) ≥g2 ( x) ; (Ⅲ)当 x≥0 时,比较 f ( x ) 与 gn ( x) 的大小,并证明.
x 【解答】 (Ⅰ)证明:设 ?1 ( x) ? f ( x) ? g1 ( x) ? ex ? x ?1 ,所以 ?1? ( x ) ? e ? 1 .

当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 . 即函数 ?1 ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增, 在 x ? 0 处取得唯一极小值, 因为 ?1 (0) ? 0 ,所以对任意实数 x 均有

?1 ( x)≥?1 (0) ? 0 .

即 f ( x) ? g1 ( x)≥0 ,所以 f ( x ) ≥g1 ( x) . (Ⅱ)证明:设 ?2 ( x) ? f ( x) ? g 2 ( x) ? e ? 1 ? x ?
x

x2 2

? 2? ( x) ? e x ? 1 ? x ,由(1)知 ? 2? ( x) ? 0 ,所以 ?2 ( x)在?0, +?? 单增,

?2 ( x) ? ?2 (0)=0 ,所以 f ( x) ≥g2 ( x)
(Ⅲ)当 x≥0 时, f ( x)≥ gn ( x) . 用数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,由(1)知 f ( x ) ≥g1 ( x) ; ②假设当 n ? k ( k ? N? )时,对任意 x≥0 均有 f ( x)≥ gk ( x) , 令 ?k ( x) ? f ( x) ? gk ( x) , ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? gk ?1 ( x) ,

? ?1 ? x ? ? f ( x) ? g k ( x) , , ? ?k ?1 ( x) ? f ? ? x ? ? g k
由归纳假设知, ? ?k ?1 ( x ) ? f ( x ) ? g k ( x )≥0 , 即 ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? gk ?1 ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,亦即 ?k ?1 ( x)≥?k ?1 (0) , 因为 ?k ?1 (0) ? 0 ,所以 ?k ?1 ( x)≥0 . 从而对任意 x≥0 ,有 f ( x) ? gk ?1 ( x)≥0 ,即对任意 x≥0 ,有 f ( x)≥gk ?1 ( x) , 这就是说,当 n ? k ? 1 时,对任意 x≥0 ,也有 f ( x)≥ g k ?1 ( x) . 由①,②知,当 x ? 0 时,都有 f ( x)≥ gn ( x) .


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