江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:数列

江苏省 12 市 2015 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 数列
一、填空题
3 1、 (常州市 2015 届高三)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ( 0 ? q ? 1 ) ,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 4a3a4 ,且 a 6 与 a4 的 4

等差中项为 a 5 ,则 S6 ?



2、 (连云港、 徐州、 淮安、 宿迁四市 2015 届高三) 在等差数列 ?a n ? 中, 已知 a2 ? a8 ? 11 , 则 3a3 ? a11 的值为 ▲ 3、 (南京市、 盐城市 2015 届高三) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , 若数列 ?a2n?1? a2 ? a1 , | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) , 单调递减,数列 ?a2 n ? 单调递增,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ▲ .

4、 (南通市 2015 届高三)在等差数列 {an } 中,已知首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 .若 a1 ? a2 ? 60, a2 ? a3 ? 100 ,则

5a1 ? a5 的最大值为
5、 (苏州市 2015 届高三上期末)已知等差数列 {an } 中, a4 ? a6 ? 10 ,若前 5 项的和 S5 ? 5 ,则其公差为 6、 (泰州市 2015 届高三上期末)等比数列 {an } 中, a1 ? 32a6 ? 0 , a3a4 a5 ? 1 ,则数列的前 6 项和为 7、 ( 无 锡 市 2015 届 高 三 上 期 末 ) 已 知 数 列 {an } 的 首 项 a1 = 1 , 前 ▲

n 项 和 为 Sn , 且 满 足

2an + 1 + Sn = 2 (n

? * ) ,则满足

1001 S2n 11 < < 的 n 的最大值为 1000 Sn 10
1 2

n ?1 8、 (扬州市 2015 届高三上期末)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 an ? 4 ? (? ) ,若对任意 n ? N * ,都有

1 ? p(Sn ? 4n) ? 3 ,则实数 p 的取值范围是____

二、解答题
? ? d , 1 ≤ n ≤ 15, ? * 1 ≤ n ≤ 46 ) 1、 (常州市 2015 届高三) 已知数列 {an } ( n?N , 满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? ? 1 , 16 ≤ n ≤ 30, 其中 d ? 0 , ?1 ? , 31 ≤ n ≤ 45, ?d
n ? N* .

(1)当 a ? 1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围; (2)设集合 M ? {b | b ? ai ? a j ? ak , i, j, k ? N? ,1≤ i ? j ? k ≤16} .
1 1 ①若 a ? , d ? ,求证: 2?M ; 3 4

1 53 ②是否存在实数 a , d ,使 , 1 , 恒谦网 都属于 M ?若存在,请求出实数 a , d ;若不存在,请说明 40 8 理由.

2、 (连云港、 徐州、 淮安、 宿迁四市 2015 届高三) 在数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? a2 ? 1 , 且满足 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 ,

n ? N* , ? 为常数. (1)证明: a1 , a4 , a5 成等差数列;

(2)设 cn ? 2an?2 ?an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ; (3)当 ? ? 0 时,数列 ?an ?1 ? 中是否存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, a p?1 ? 1 成等比数列,且 s , t , p 也成等 比数列?若存在,求出 s , t , p 的值;若不存在,说明理由.

3、 (南京市、盐城市 2015 届高三)设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1a5 ? 64 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证: “ m ? k ? 1 且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构 成等差数列”成立的充要条件; (3)设 数 列 ?bn ? 满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ?

S5 ? S3 ? 48 .

? anb1

? b ? ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有且仅有 3 个元素,试求 ? 的取 ? an ?
值范围.

4、 (南通市 2015 届高三)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若

1 an ?1 ? ? 2 ? n ? N * ? ,则称 {an } 是“紧密数列”. 2 an

?1? 若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 4 ? n 2 ? 3n ?? n ? N * ? ,证明: {an } 是“紧密数列”;

1

? 2 ? 设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列.若数列 {an } 与 {Sn } 都是“紧密数列”,求. q 的取值范围.
5、 (苏州市 2015 届高三上期末)已知数列 {an } 中 a1 ? 1, an ?1 ? ? 3

?1 ? an ? n (n为奇数) . ( n 为偶数) ? ?an ? 3n

(1)是否存在实数 ? ,使数列 {a2n -?} 是等比数列?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由; (2)若 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n .

6、 (泰州市 2015 届高三上期末)数列 an ? , bn ? , cn ? 满足:bn ? an ? 2an?1 ,cn ? an?1 ? 2an?2 ? 2 ,n ? N * . (1)若数列 an ? 是等差数列,求证:数列 bn ? 是等差数列; (2)若数列 bn ? , cn ? 都是等差数列,求证:数列 an ? 从第二项起为等差数列; (3)若数列 bn ? 是等差数列,试判断当 b1 ? a3 ? 0 时,数列 an ? 是否成等差数列?证明你的结论.

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

7、 (无锡市 2015 届高三上期末)在数列 {an }、 {bn }中,已知 a1 = 0,a2 = 1,b1 = 1,b2 =

1 ,数列 {an } 2

的前 n 项和为 Sn ,数列 {bn }的前 n 项和为 Tn ,且满足 Sn + Sn + 1 = n 2 , 2Tn + 2 = 3Tn + 1 - Tn ,其中 n 为 正整数. (1)求数列 {an }、 {bn }的通项公式; (2) 问是否存在正整数 m , n ,使

Tn + 1 - m > 1 + bm + 2 成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对 Tn - m

(m, n ) ,若不存在,请说明理由.
8、 (扬州市 2015 届高三上期末)已知数列{ an }中,a1 ? 1, a2 ? a ,且 an?1 ? k (an ? an?2 ) 对任意正整数都成立, 数列{ an }的前 n 项和为 Sn。

1 ,且 S2015 ? 2015a ,求 a; 2 (2)是否存在实数 k,使数列{ an }是公比不为 1 的等比数列,且任意相邻三项 am , am?1 , am? 2 按某顺序排列后成
(1)若 k ? 等差数列,若存在,求出所有 k 值,若不存在,请说明理由; (3)若 k ? ?

1 , 求Sn 。 2

参考答案
一、填空题

1、

63 4

? ?2n ? 1 , n为奇数 ? ( ?2) n ? 1 ? 3 2、22 3、 ( 说明:本答案也可以写成 ? n 3 ? 2 ? 1 , n为偶数 ? ? 3
21 4
7、9 8、 [2,3]

4、200 5、2 6、 ?

二、解答题 1、解: (1)当 a ? 1 时,
1 a16 ? 1 ? 15d , a31 ? 16 ? 15d , a46 ? 16 ? 15(d ? ) . d

?????????2 分

因为 d ? 0 , d ?

1 1 ≥ 2 ,或 d ? ≤ ?2 , d d

所以 a46 ? (??, ?14] [46, ??) .

?????????4 分 ?????6 分

1 n ?1 i ? j ? k ?3 (2)①由题意 an ? ? , 1 ≤ n ≤ 16 , b ? 1 ? . 3 4 4

令1?

i ? j ? k ?3 ? 2 ,得 i ? j ? k ? 7 . 4

因为 i, j , k ? N? , 1 ≤ i ? j ? k ≤ 16 , 所以令 i ? 1, j ? 2, k ? 4 ,则 2?M .
1 53 ②不存在实数 a , d ,使 , 1 , 同时属于 M . 8 40 1 53 假设存在实数 a , d ,使 , 1 , 同时属于 M . 8 40
an ? a ? (n ? 1)d ,∴ b ? 3a ? (i ? j ? k ? 3)d ,

?????????8 分 ?????????9 分

从而 M ? {b | b ? 3a ? md ,3 ≤ m ≤ 42, m ? Z } .

?????????11 分

1 53 因为 , 1 , 同时属于 M ,所以存在三个不同的整数 x, y, z ( x, y, z ? ?3, 42? ) , 8 40
1 ? ?3a ? xd ? 8 , ? 使得 ?3a ? yd ? 1, ? 53 ?3a ? zd ? , 40 ?
7 ? ( y ? x )d ? , ? ? 8 从而 ? 6 ? ( z ? x )d ? , ? 5 ?



y ? x 35 . ? z ? x 48

?????????13 分

因为 35 与 48 互质,且 y ? x 与 z ? x 为整数, 所以 | y ? x |≥ 35,| z ? x |≥ 48 ,但 | z ? x |≤ 39 ,矛盾.
1 53 所以不存在实数 a , d ,使 , 1 , 都属于 M . 8 40

?????????16 分

2、 (1)因为 an ? an?2 ? ? ? 2an?1,a1 ? a2 ? 1,所以 a3 ? 2a2 -a1 +? ? ? ? 1 , 同理, a4 ? 2a3 -a2 +? ? 3? ? 1 , a5 ? 2a4 -a3 +? ? 6? ? 1 , ????????2 分 又因为 a4 ? a1 ? 3? , a5 ? a4 ? 3? ,???????????????????3 分 所以 a4 ? a1 ? a5 ? a4 ,故 a1 , a4 , a5 成等差数列.????????????4 分 (2) 由 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 ,得 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an +? ,??????????5 分 令 bn ? an?1 ? an ,则 bn?1 ? bn ? ? , b1 ? a2 ? a1 ? 0 , 所以 ?bn ? 是以 0 为首项公差为 ? 的等差数列,故 bn ? b1 ? (n ? 1)? ? (n ?1)? ,?6 分 即 an?1 ? an ? (n ?1)? ,所以 an?2 ? an ? 2(an?1 ? an ) ? ? ? (2n ?1)? , 所以 cn ? 2an?2 ?an ? 2(2n?1)? . ?????????????????????8 分

Sn ? c1 ? c2 ? L ? cn ? 2? ? 23? ? 25? ? L ? 2(2n?1)? ,
当 ? ? 0时,Sn ? n , 当 ? ? 0 时,Sn ? 2 ? 2
?

???????????????????????9 分
3?

? 25? ? L ? 2(2 n ?1) ? ?

2? (1 ? 22 n? ) .??????10 分 1 ? 22 ?

? ? 0, ?n, ? ? 所以数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ? ? 2 (1 ? 22 n? ) , ? ? 0. ? ? 1 ? 22 ?
(3)由(2)知 an?1 ? an ? (n ?1)? ,用累加法可求得 an ? 1+

(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ≥ 2? , 2
????????12 分

当 n ? 1 时也适合,所以 an ? 1+

(n ? 1)( n ? 2) ? ? n ? N? ? 2

假设存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列,

t 2 (t ? 1)2 s( s ? 1) p( p ? 1) ? 则 (at ?1 ?1) ? (as?1 ?1)(ap?1 ?1) ,即 , ???14 分 4 4
2
2 2 因为 s , t , p 成等比数列,所以 t ? sp ,所以 (t ? 1) ? (s ?1)( p ?1) ,

化简得 s ? p ? 2t ,联立 t 2 ? sp ,得 s ? t ? p .这与题设矛盾. 故不存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列.?16 分 3、解: (1) 又
2 数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a3 ? 64 ,? a3 ? 8 ,

S5 ? S3 ? 48 ,?a4 ? a5 ? 8q2 ? 8q ? 48 ,? q ? 2 ,? an ? 8 ? 2n?3 ? 2n ; ???? 4 分 (2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ①若 2 ? 5ak ? am ? al ,则 10 ? 2k ? 2m ? 2l ,?10 ? 2m?k ? 2l ?k ,?5 ? 2m?k ?1 ? 2l ?k ?1 ,
?2m ? k ?1 ? 1 ?m ? k ? 1 ? ? ? l ? k ?1 , ?? . ?4 ? ?l ? k ? 3 ?2
分 ②若 2am ? 5ak ? al ,则 2 ? 2m ? 5 ? 2k ? 2l ,? 2m?1?k ? 2l ?k ? 5 ,左边为偶数,等式不成立, ③若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立, 综合①②③,得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 ,所以必要性成立. (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1 , l ? k ? 3 , ????8 分 ???? 6

则 5ak , am , al 这三项为 5ak , ak ?1 , ak ?3 ,即 5ak , 2ak ,8ak ,调整顺序后易知 2ak ,5ak ,8ak 成等差数列, 所以充分性也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ) ,原命题成立. ????10 分 (3)因为 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ?
1 2 3

? anb1 ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,
? 2n b1 ? 3? 2n?1 ? 4n ? 6 , (*) ? 2n?1b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 , (**)
4 2 3

即 2 bn ? 2 bn?1 ? 2 bn?2 ?

? 当 n ? 2 时, 21bn?1 ? 22 bn?2 ? 23 bn?3 ?

则(**)式两边同乘以 2,得 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 bn?3 ?

? 2n b1 ? 3 ? 2n?1 ? 8n ? 4 , (***)

? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,
2 又当 n ? 1 时, 2b1 ? 3 ? 2 ? 10 ? 2 ,即 b1 ? 1 ,适合 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,?bn ? 2n ? 1 . ??? 14



?

bn 2n ? 1 b b 2n ? 1 2 n ? 3 5 ? 2 n ? n ,? n ? n?1 ? n ? n?1 ? , an 2 an an?1 2 2 2n bn bn?1 b b ? 0 ,即 2 ? 1 ; ? n ? 2 时, ? an an?1 a2 a1
? n ? 3 时,

bn bn?1 ?b ? ? ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an?1 ? an ? b1 1 b2 3 b3 5 b4 7 7 1 ? , ? , ? , ? ,? ? ? ? . 又 a 4 a 16 a1 2 a3 8 16 2 2 4

?????16 分

4、

5、解: (1)设 bn ? a2n ? ? ,

因为 bn ?1

bn 1 ?3

?

a2 n ? 2 ? ? a2 n ? ?

1 ?3

a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ? ? a2 n ? ? 1 ?3 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ? 1 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ?

? a2 n ? 6n ? ? ? 2n ? 1? ? ?
a2 n ? ?

. ?????????????2 分

若数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列,则必须有 3

, ? q (常数)

1 ? q? ? 1 ? ?q ?0 ? ? 3 ?1 ? ?? 即 ? ? q ? a2 n ? ? q ? 1? ? ? 1 ? 0 ,即 ? 3 , 3 ?3 ? ? ? ?? ?? q ? 1? ? ? 1 ? 0 ? ? 2
此时 b1 ? a2 ?

???????5 分

3 1 3 1 ? a1 ? 1 ? ? ? ? 0 , 2 3 2 6

3 ,使数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列???????????????6 分 2 (注:利用前几项,求出 ? 的值,并证明不扣分)
所以存在实数 ? ? (2)由(1)得 ?bn ? 是以 ? 故 bn ? a2 n ?

1 1 为首项, 为公比的等比数列, 6 3

3 1 ?1? ? ? ?? ? 2 6 ? 3?

n ?1

1 ?1? 1 ?1? 3 ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? ,???????8 分 2 ? 3? 2 ? 3? 2
n ?1

n

n

由 a2 n ?

1 1 1? a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ,得 a2n?1 ? 3a2n ? 3 ? 2n ? 1? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? 3?

? 6n ?

15 ,??10 分 2

n ?1 n n 1 ?? 1 ? ?1? ? ?1? 所以 a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6n ? 9 ? ?2 ? ? ? ? 6n ? 9 , 2 ? ?3? ? ?3? ?? 3 ? ?

S2n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? L ? ? a2n?1 ? a2n ?
1? ?1? ?1 ? ? ? 3? ?3? ? ?2 ? ? 1 1? 3
n
n

?1 ? ? ?2 ? ? ? ? ?3 ?

2 n 1? ? 1 ? ? ? L ? ? ? 2 L ? n ? ? n9 ? ? ? ? ? 6? 1 3? ? 3 ? ? ?

? ? ? ? ? 6 ? n(n ? 1) ? 9n 2
n

2 ?1? ?1? ? ? ? ? 1 ? 3n2 ? 6n ? ? ? ? 3 ? n ? 1? ? 2 ,????????????????????????12 分 ? 3? ? 3?

显然当 n ? N * 时, ?S2 n ? 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 ? 0 ,当 n ? 2 时, S 4 ? ? ? 0 ,所以当 n≥ 2 时, S2 n ? 0 ; 3 9
n

3 ?1? 5 S2n?1 ? S2n ? a2n ? ? ? ? ? ? 3n2 ? 6n , 2 ? 3? 2
同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n?1 ? 0 . 综上,满足 Sn ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.????????????????? 16 分 6、证明: (1)设数列 an ? 的公差为 d , ∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ bn?1 ? bn ? (an?1 ? 2an?2 ) ? (an ? 2an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2(an?2 ? an?1 ) ? d ? 2d ? ?d ,

?

∴数列 bn ? 是公差为 ? d 的等差数列. (2)当 n ? 2 时, cn?1 ? an ? 2an?1 ? 2 ,

?

??????4分

bn ? cn ?1 b ?c ? 1,∴ an ?1 ? n ?1 n ? 1 , 2 2 bn ?1 ? cn bn ? cn ?1 bn ?1 ? bn cn ? cn ?1 ? ? ? ∴ an ?1 ? an ? , 2 2 2 2 b ? bn cn ? cn ?1 ? ∵数列 ?bn ? , ?cn ? 都是等差数列,∴ n ?1 为常数, 2 2
∵ bn ? an ? 2an?1 ,∴ an ? ∴数列 an ? 从第二项起为等差数列. (3)数列 an ? 成等差数列. 解法1 设数列 bn ? 的公差为 d ? , ∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ 2n bn ? 2n an ? 2n?1 an?1 ,∴ 2n?1 bn?1 ? 2n?1 an?1 ? 2n an ,?, 2b1 ? 2a1 ? 22 a2 , ∴ 2n bn ? 2n?1 bn?1 ? 设 Tn ? 2b1 ? 22 b2

?

??????10分

?

?

? 2b1 ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , ? 2n?1bn?1 ? 2n bn ,∴ 2Tn ? 22 b1 ? ? 2n bn?1 ? 2n?1bn ,

两式相减得: ?Tn ? 2b1 ? (22 ?

? 2n?1 ? 2n )d ? ? 2n?1bn ,

即 Tn ? ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ,∴ ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , ∴ 2n?1 an?1 ? 2a1 ? 2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 2n?1 (bn ? d ?) ,

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? (bn ? d ?) , ??????12分 2n ?1 2a ? 2b1 ? 4d ? 2a ? 2b1 ? 4d ? ? (b2 ? d ?) ? 1 ? b1 , 令 n ? 2 ,得 a3 ? 1 3 2 23
∴ an ?1 ?

∵ b1 ? a3 ? 0 ,∴

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? b1 ? a3 ? 0 ,∴ 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 0 , 23

∴ an?1 ? ?(bn ? d ?) ,∴ an?2 ? an?1 ? ?(bn?1 ? d ?) ? (bn ? d ?) ? ?d ? , ∴数列 an ? ( n ? 2 )是公差为 ?d ? 的等差数列,

?

??????14分

∵ bn ? an ? 2an?1 ,令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ,

∴数列 an ? 是公差为 ?d ? 的等差数列. 解法 2 ∵ bn ? an ? 2an?1 , b1 ? a3 ? 0 ,

?

??????16分

令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴ bn?1 ? an?1 ? 2an?2 , bn?2 ? an?2 ? 2an?3 , ∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? (2an?1 ? an ? an?2 ) ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵数列 bn ? 是等差数列,∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? 0 , ∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵ a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ,∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 0 , ∴数列 an ? 是等差数列. 7、

??????12分

?

??????14分

?

??????16分

8、⑴ k ?

1 1 时, an ?1 ? (an ? an ? 2 ) , an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,所以数列 {an } 是等差数列, ??1 分 2 2 1 此时首项 a1 ? 1 ,公差 d ? a2 ? a1 ? a ? 1,数列 {an } 的前 n 项和是 S n ? n ? n(n ? 1)(a ? 1) , ??3 分 2
故 2015a ? 2015 ?

1 1 ? 2015 ? 2014(a ? 1) ,即 a ? 1 ? ? 2014(a ? 1) ,得 a ? 1 ;??4 分 2 2

(没有过程,直接写 a ? 1 不给分) ⑵设数列 {an } 是等比数列,则它的公比 q ?

a2 ? a ,所以 am ? am?1 , am?1 ? am , am?2 ? a m?1 , ??6 分 a1

m m?1 m?1 ①若 am?1 为等差中项,则 2am?1 ? am ? am?2 ,即 2a ? a ? a ,解得: a ? 1 ,不合题意;

②若 am 为等差中项,则 2am ? am?1 ? am?2 ,即 2a

m?1

? a m ? a m?1 ,化简得: a 2 ? a ? 2 ? 0 ,

am?1 am a 2 解得 a ? ?2 (舍 1) ;k ? ? m?1 m1? ? 2 ? ? ; am ? am?2 a ? a 1? a 5
③若 am?2 为等差中项,则 2am?2 ? am?1 ? am ,即 2a 解得 a ? ?
m?1

? a m ? a m?1 ,化简得: 2a 2 ? a ? 1 ? 0 ,
??9 分

am?1 1 am a 2 ;k ? ? m?1 m?1 ? ?? ; 2 2 am ? am?2 a ? a 1? a 5
2 ; 5

综上可得,满足要求的实数 k 有且仅有一个, k ? ?

??10 分

⑶k ? ?

1 1 则 an ?1 ? ? (an ? an ? 2 ) , 2 2
??12 分

an?2 ? an?1 ? ?(an?1 ? an ) , an?3 ? an?2 ? ?(an?2 ? an?1 ) ? an?1 ? an ,
当 n 是偶数时,

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?
?

? an?1 ? an ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?

? (an?1 ? an )

n n (a1 ? a2 ) ? (a ? 1) , 2 2

当 n 是奇数时,

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?
? a1 ?

? an?1 ? an ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ?

? (an?1 ? an )
??15 分

n ?1 n ?1 n ?1 (a2 ? a3 ) ? a1 ? [?(a1 ? a2 )] ? 1 ? ( a ? 1) , n ? 1 也适合上式, 2 2 2
n ?1
??16 分

? 1 ? 2 (a ? 1), n是奇数 综上可得, Sn ? ? . n是偶数 ? n (a ? 1),
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