山西省太原五中2011届高三4月月考试题数学文

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2010——2011 学年度第二学期月考(4 月)







学(文)

出题人: 郭贞 一、选择题

校对人: 郭贞

2 1.已知集合 A = {x | ax + 2 x + 1 = 0, a ∈ R , x ∈ R} 只有一个元素,则 a 的值 (



A.0

B.1

C.0 或 1

D.—1 ( ) A.4 B. -4

2.若复数 C.1 3. m = “

a ? 2i ( a ∈ R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 + 2i
D.-1

1 ”是直线 ( m + 2) x + 3my + 1 = 0与直线(m ? 2) x + ( m + 2) y ? 3 = 0 相互垂直的 2





A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 4.在 2010 年 3 月 15 日那天,哈市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查, 5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示:

由散点图可知销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是 ? = ?3.2 x + a (参考 y 公式:回归方程; ? = bx + a, a = y ? bx ),则 a = y B 35.6 C 40.5 A ? 24 ( ) A.2 6.下列命题:
x

5 . 已 知 等 比 数 列 {an } 中 有 a3 a11 = 4a7 , 数 列 {bn } 是 等 差 数 列 , 且 a7 = b7 , 则 b5 + b9 = B.4
2

D

( 40



C.8

D.16

① ?x ∈ R ,不等式 x + 2 x > 4 x ? 3 成立; ②若 log 2 + log x ≥ 2 ,则 x >1;
2

③命题“ 若a > b > 0且c < 0, 则

c c > 的逆否命题; a b” ④若命题 p: ?x ∈ R , x 2 + 1 ≥ 1 ,命题 q: ?x ∈ R , x 2 ? 2 x ? 1 ≤ 0 .则命题 p ∧ ?q 是真命题.其中真命题只
( A.①②③ B.①②④ C. ①③④ ) D.②③④

有 7 . 在 区 间 [0 , ( ) A.

π ] 上 随 机 取 一 个 数 x , 则 事 件 “ sin x + 3 cos x ≤ 1 ” 发 生 的 概 率 为

1 1 1 2 B. C. D. 4 3 2 3 8.设 a、b、c 表示三条直线, α、β 表示两个平面,则下列命题中不
正确的是 ( )

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1

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c ⊥ α? A ??c ⊥ β α // β ?
? ? B b?β ? ? b⊥ c c是a在β内的射影 ? ?
D

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a⊥ b

b // c ? ? C b ? α? ? c / /α c ?α? ?
① 函数在区间 ? , ?8 8 ?

a // α ? ??b ⊥α b ⊥ a?

9.函数 f ( x) = 2cos 2 x + sin 2 x ? 1 ,给出下列四个命题
π 5π ? π ②直线 x = 是函数图像的一条对 ? 上是减函数; 8 ?

称轴;③函 若 ( ( ) )

数 f ( x) 的图像可由函数 y = 2 sin 2 x 的图像向左平移

π
4

而得到;④

? π? x ∈ ?0, ? ,则 f ( x) 的值域是 [?1, 2] .其中所有正确的命题的序号是 ? 2?

A ①② B ①③ C ①②④ D ②④ 10 . 一 个 算 法 的 程 序 框 图 如 图 所 示 , 该 程 序 输 出 的 结 果 为 A.

10 11 D. 11 12 2 2 11.已知直线 x ? y + a = 0 与圆 x + y = 1 交于 A 、 B 两点,且向量
B. C.

8 9

9 10

OA 、 OB 满足
( )

OA + OB = OA ? OB , 其 中 O 为 坐 标 原 点 , 则 实 数 a 的 值 为
A. 0 12. 如图,椭圆 B. ?1
2 2

C. 1

D. ±1

x y 1 + 2 = 1 (a>b> 0 )的离心率 e = , 左焦点为 F,A,B,C 为其三个顶点,直线 CF 与 2 2 a b
( D. ? 3 3 )

AB 交于 D,则 tan∠BDC 的值等于 A. 3 3 B.

3 5

C. ?

3 5

二、填空题

?2 x + y ? 6 ≤ 0, ? 13.设不等式组 ? x + y ? 3 ≥ 0 , 表示的平面区域为 M,若函数 y = k ( x + 1) + 1 的图象经过区域 M,则实 ? y≤2 ?
数 k 的取值范围是 . 14.某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表 面积是 . 15 . 已 知

b>0





线 最 小 值

b 2 x + y + 1 = 0与ax ? (b 2 + 4) y + 2 = 0 互相垂直,则 ab 的
为 . 16.已知双曲线
的离心率为


x2 y 2 ? = 1 a > b > 0)的两条渐近线的夹角为 ( a 2 b2 .
第14题图

π
3

,则双曲线

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2

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2010——2011 学年度第二学期月考(4 月)

高三数学答卷纸(文)
一、选择题
1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题 13. 15. 三、解答题

14. 16.

17.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a1 = 1 ,an +1 = 2 S n + 1 (n ∈ N* ) ,等差数列 {bn } 中, bn > 0 (n ∈ N* ) , 且 b1 + b2 + b3 = 15 ,又 a1 + b1 、 a2 + b2 、 a3 + b3 成等比数列. (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn .

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3

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18.已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 = 0 ,直线 l2 : ax ? by + 1 = 0 ,其中 a , b ∈ {1, 2,3, 4,5, 6} . (1)求直线 l1 ∩ l2 = ? 的概率; (2)求直线 l1 与 l2 的交点位于第一象限的概率.

19 . 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 ,

CC1 = AC = BC
C1 A1 B1



∠ACB = 90° , P 是 AA1 的中点, Q 是 AB 的
(1)求异面直线 PQ 与 B1C 所成角的大小; (2)若直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 积.
A

中点.

1 , 2

P
C

求四棱锥 C ? BAPB1 的体
B

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4

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20.如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB = 6 , CD = 4 ,梯形 ABCD 的面积是 5 7 .若分别以 A 、 B 为椭圆 E 的左 右焦点,且 C 、 D 在椭圆 E 上. ⑴求椭圆 E 的标准方程; y ⑵设椭圆 E 的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P 、 Q 两点,那么是否 存在直线 l , 使 M D C B 点恰为 ?PQM 的垂心?如果存在, 求出直线 l 的方程; 如果不存在, x 请说明理由.
A
O B

21.已知函数

2 f ( x ) = x3 ? x 2 + ax + b a,b ∈ ( R)的一个极值点为 x = 1 .方程 ax + x + b = 0 的两个实根为 α , β (α < β ) , 函数 f ( x ) 在区间 [α , β ] 上是单调的.

(1) 求 a 的值和 b 的取值范围; (2) 若

x1 , x2 ∈ [α , β ]

, 证明:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ 1

.

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5

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四、选考内容 22.已知曲线 C 的参数方程是 ?

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? ? x = 2 + 2 cos θ ? y = 2 sin θ ?

(θ 为参数),且曲线 C 与直线 x ? 3 y =0 相交于两点 A、B

(1)求曲线 C 的普通方程; (2)求弦 AB 的垂直平分线的方程(3)求弦 AB 的长

23.已知函数 f ( x ) = x x ? a + 2 x ? 3 (1) 当 a = 4,2 ≤ x ≤ 5 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值; (2) 若 x ≥ a ,试求 f ( x ) + 3 > 0 的解集; (3) 当 x ∈ [1,2] 时, f ( x ) ≤ 2 x ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

高三数学四月月考(文) 一、选择题 1. (2010·安徽 5 月检测)已知集合 A = {x | ax 2 + 2 x + 1 = 0, a ∈ R , x ∈ R} 只有一个元素,则 a 的值为 ( )

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A.0 1.【答案】C B.1 C.0 或 1

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D.—1

【解析】可验证选项选 C,可也分 a = 0, a ≠ 0 讨论. 2.若复数

a ? 2i ( a ∈ R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 + 2i
D.-1





A.4 B.-4 C.1 2【答案】A 【解析】纯虚数的实部为零,代入选项验证可选 A. 3. (文) m = “

1 ”是直线 ( m + 2) x + 3my + 1 = 0与直线( m ? 2) x + ( m + 2) y ? 3 = 0 相互垂直的 2
( ) B.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分必要条件 C.必要而不充分条件 (文) 【答案】B 【解析】由 m =

1 1 可推出两直线垂直,但由两直线垂直推出 m = 或 ? 2 ,故选 B.k*s*5*u 2 2

4. (2010·东北三省四市二模)在 2010 年 3 月 15 日那天,哈市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一 天销售量及其价格进行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示:

由散点图可知销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是 ? = ?3.2 x + a (参考 y 公式:回归方程; ? = bx + a, a = y ? bx ),则 a = y A ( D 40 )

? 24

B 35.6

C 40.5

4.【答案】D 【解析】根据公式 a = y ? bx 可得 a=40。 5. (2010·安庆重点中学联考)已知等比数列 {an } 中有 a3 a11 = 4a7 ,数列 {bn } 是等差数列,且 a7 = b7 , 则 b5 + b9 = A.2 B.4 5. 【答案】C k*s*5*u
2

( C.8 D.16



【解析】由 a3 a11 = 4a7 ,可知 a7 = 4a7 得 a7=4, b5 + b9 = 2b7 = 2a7 = 8. 6. (2010·合肥高三第一次质量检测文)下列命题: ① ?x ∈ R ,不等式 x + 2 x > 4 x ? 3 成立;
2

②若 log 2 + log x ≥ 2 ,则 x >1;
x
2

③命题“ 若a > b > 0且c < 0, 则

c c > 的逆否命题; a b”
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2 2

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④若命题 p: ?x ∈ R , x + 1 ≥ 1 ,命题 q: ?x ∈ R , x ? 2 x ? 1 ≤ 0 .则命题 p ∧ ?q 是真命题.其中真命题只 有 A.①②③ 6.【答案】A ( B.①②④ C. ①③④ D.②③④ )

【解析】 因为 x 2 + 2 x ? 4 x + 3 = ( x ? 1) 2 + 2 ≥ 2 > 0 , 故①正确, ②中若 log 2 x + log x 2 ≥ 2 , log 2 x > 0 , 则 故 x >1,故②正确; ③中原命题正确可知逆否命题也正确,④中命题 p、q 均为真命题,故 p ∧ ?q 题. 7. (2010·肇庆二模)在区间[0, π ]上随机取一个数 x,则事件“ sin x + 3 cos x ≤ 1 ”发生的概率为 ( ) A. 为假命

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

7. 【答案】C

?π ? ? 2 ,π ? 1 ?π ? ? ?= . 【解析】根据 sin x + 3 cos x ≤ 1 ,可求得 x ∈ ? , π ? ,故 P = [ 0, π ] 2 ?2 ?
8. (2010·聊城模拟)设 a、b、c 表示三条直线, α、β 表示两个平面,则下列命题中不 正确的是 ( ) k*s*5*u

c ⊥ α? A ??c ⊥ β α // β ?

? ? B b?β ? ? b⊥ c c是a在β内的射影 ? ? a // α ? ??b ⊥α b ⊥ a?

a⊥ b

b // c ? ? C b ? α? ? c / /α c ?α? ?
8. 【答案】D

D

【解析】由 a // α , b ⊥ a可得的位置关系有:b // α , b ? α , b与α相交不一定垂直, 所以答案 D 不正确.

9.(文) (2010·安庆二模文)函数 f ( x) = 2cos 2 x + sin 2 x ? 1 ,给出下列四个命题 ② 函数在区间 ? , ?
π 5π ? π 上是减函数;②直线 x = 是函数图像的一条对称轴;③函数 f ( x) 的图像可由函数 8 8 8? ? ?

y = 2 sin 2 x 的图像向左平移

π
4

π 而得到;④若 x ∈ ?0, ? ,则 f ( x) 的值域是 [?1, 2] .其中所有正确的命题的 ? ? ? 2?

序号是 ( C ) A ①② B ①③ C ①②④ (文) 【答案】C

D ②④
π π
8

【解析】函数 f ( x) = 2cos 2 x + sin 2 x ? 1 = 2 sin(2 x + ) ,可知①②④正确,③中为向左平移
4

.

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8

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10.一个算法的程序框图如图所示,该程序输出的结果为 B.





A.

8 9

9 10

C.

10 11

D.

11 12

10. 【答案】B 【解析】根据程序框图可知当 i=10 时输出 S,故

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 × 7 7 × 8 8 × 9 9 × 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 = 1 ? )( ? ) + ( ? ) + ? + ( ? ) + ( ? ) = . ( + 2 2 3 3 4 8 9 9 10 10 S=

=

2 2 11. (2010·青岛二模)已知直线 x ? y + a = 0 与圆 x + y = 1 交于 A 、 B 两点,且向量 OA 、 OB 满足

OA + OB = OA ? OB ,其中 O 为坐标原点,则实数 a 的值为
A. 0 11.【答案】D B. ?1 C. 1 D. ±1





【解析】根据 OA + OB = OA ? OB

可知

OA ⊥ OB ,故圆心到直线的距离 d =

2 ,可求得 a = ±1 . k*s*5*u 2

12. (2010·安徽六校联考)如图,椭圆

x2 y2 1 + 2 = 1 (a>b> 0 )的离心率 e = , 左焦点为 F,A,B,C 2 2 a b
( )

为其三个顶点,直线 CF 与 AB 交于 D,则 tan∠BDC 的值等于 A. 3 3 B.

3 5

C. ?

3 5

D. ? 3 3

12. 【答案】D 【解析】由图可知,

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tan ∠BDC = tan(∠BAO + ∠OFC ),∵ tan ∠BAO =
代入公式即得. 答题纸 一、选择题 二、填空题

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BO b 3 OC b = = = = 3, , tan ∠OFC = AO a 2 OF c

?2 x + y ? 6 ≤ 0, ? 13.(2010·湖南师大附中第七次月考文)设不等式组 ? x + y ? 3 ≥ 0 , 表示的平面区域为 M,若函数 ? y≤2 ?
y = k ( x + 1) + 1 的图象经过区域 M,则实数 k 的取值范围是
13.【答案】 ? ? .

? 1 1? , ? 4 2? ?

【解析】作可行域,如图. k*s*5*u 因为函数 y = k ( x + 1) + 1 的图象是过点 P(-1,1),且斜率为 k 的直线 l,由图知,当直线 l 过点 A(1,2)

时,k 取最大值

1 1 ? 1 1? ,当直线 l 过点 B(3,0)时,k 取最小值 ? ,故 k ∈ ? ? , ? . 2 4 ? 4 2?
形,侧视图是半

14.某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角 径为 1 的半圆,则该几何体的表面积是 . 14. 【答案】 2(π + 3) 【解析】此图形的表面积分为两部分:底面积即俯视图的 侧面为一个完整的圆锥的侧面,母线长为 2,底面半径 积为 2π ,两部分加起来即为答案. 15 .( 2010 · 聊 城 模 拟 ) 已 知 b > 0 , 直 线

面积为: 2 3 , 为 1,所以侧面

b 2 x + y + 1 = 0与ax ? (b 2 + 4) y + 2 = 0 互相垂直,则 ab 的最小值为
15. 【答案】4 【解析】由已知两直线垂直的充要条件得



b 2 a ? b 2 ? 4 = 0, 即a =

b2 + 4 4 , 所以,ab = b + ≥ 4(b > 0) . 2 b b
x2 y 2 π ? 2 = 1 a > b > 0)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率 ( 2 a b 3
第14题图

16. (2010·深圳一模)已知双曲线
为 16. 【答案】 .

2 3 3

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【解析】∵ a > b > 0, 渐近线y = ∴

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b π x的斜率小于1, 因为两条渐近线的夹角为 ,所以,渐近线的倾 a 3 2 π b π 3 1 c 4 2 3 斜角为 ,即 = tan = , 又 ∵ c 2 = a 2 + b 2 ∴ c 2 = a 2 + a 2 ,∴ 2 = ,∴ e = 。 6 a 6 3 3 3 3 a

三、解答题 17.(12 分) (2010·丰台模拟)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 = 1 , an +1 = 2 S n + 1 (n ∈ N* ) ,等差数
* 列 {bn } 中, bn > 0 (n ∈ N ) ,且 b1 + b2 + b3 = 15 ,又 a1 + b1 、 a2 + b2 、 a3 + b3 成等比数列.

(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn . k*s*5*u 17.解: 解 (Ⅰ)∵ a1 = 1 , an +1 = 2 S n + 1 (n ∈ N* ) , ∴ an = 2 S n ?1 + 1 n ∈ N*, n > 1 ,
∴ an +1 ? an = 2( S n ? S n ?1 ) , ∴ an +1 ? an = 2an , ∴ an +1 = 3an n ∈ N , n > 1
*

(

)

(

). (
*

而 a2 = 2a1 + 1 = 3 = 3a1 ,∴ an +1 = 3an n ∈ N

).

∴数列 {an } 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列, ∴ an = 3
n ?1

(n ∈ N ) .
*

∴ a1 = 1, a2 = 3, a3 = 9 , 在等差数列 {bn } 中,∵ b1 + b2 + b3 = 15 ,∴ b2 = 5 . 又因 a1 + b1 、 a2 + b2 、 a3 + b3 成等比数列,设等差数列 {bn } 的公差为 d, ∴( 1 + 5 ? d ) (9 + 5 + d ) = 64 . 解得 d=-10,或 d=2, ∵ bn > 0 (n ∈ N ) ,∴舍去 d=-10,取 d=2, ∴b1=3,
*

∴bn=2n+1 (n ∈ N ) .
*

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

Tn = 3 × 1 + 5 × 3 + 7 × 32 + ? + (2n ? 1)3n ? 2 + (2n + 1)3n ?1 3Tn = 3 × 3 + 5 × 32 + 7 × 33 + ? + (2n ? 1)3n ?1 + (2n + 1)3n

① ②

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①-②得

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?2Tn = 3 × 1 + 2 × 3 + 2 × 32 + 2 × 33 + ? + 2 × 3n ?1 ? (2n + 1)3n

= 3 + 2(3 + 32 + 33 + ? + 3n ?1 ) ? (2n + 1)3n = 3+ 2×
∴ Tn = n ? 3 .
n

3 ? 3n ? (2n + 1)3n = 3n ? (2n + 1)3n = ?2n ? 3n , 1? 3

b 18. (文) 2010· ( 广州一模) 已知直线 l1 : ? 2 y ? 1 = 0 , 直线 l2 : ? by + 1 = 0 , 其中 a , ∈ {1, 2,3, 4,5, 6} . x ax
(1)求直线 l1 ∩ l2 = ? 的概率; (2)求直线 l1 与 l2 的交点位于第一象限的概率. (文)

a , b ∈ {1, 2,3, 4,5, 6} 的总事件数为 (1,1) , (1, 2 ) ,…, (1, 6 ) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) ,…, ( 2, 6 ) ,…, ( 5, 6 ) ,
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( 6, 6 ) 共 36 种.

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满足条件的实数对 ( a, b ) 有 (1,3) 、 (1, 4 ) 、 (1,5 ) 、 (1, 6 ) 、 ( 2,5 ) 、 ( 2, 6 ) 共六种. 所以 P ( B ) =

6 1 = . 36 6 1 . 6

∴直线 l1 与 l2 的交点位于第一象限的概率为

19. . (本题满分 15 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 8 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CC1 = AC = BC , ∠ACB = 90° , P 是 AA1 的中点, Q 是 AB 的中点. (1)求异面直线 PQ 与 B1C 所成角的大小; (2) 若直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为
A1 C1 B1

1 , 求四棱锥 C ? BAPB1 的体积. 2

19.解: (1)如图,建立空间直角坐标系.不妨设 CC1 = AC = BC = 2 . 依题意,可得点的坐标 P ( 2, 0,1) , Q (1,1, 0 ) , B1 ( 0, 2, 2 ) . 于是, PQ = ( ?1,1, ?1) , B1C = ( 0, ?2, ?2 ) .k*s*5*u 由 PQ ? B1C = 0 ,则异面直线 PQ 与 B1C 所成角的大小为

P
C

B

A

π
2



(2)解:连结 CQ .

由 AC = BC , Q 是 AB 的中点,得 CQ ⊥ AB ; 面 ABC ,得 CQ ⊥ AA1 .

由 AA1 ⊥ 面 ABC , CQ

又 AA1 ∩ AB = A ,因此 CQ ⊥ 面 ABB1 A1 由直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 所以,四棱锥 C ? BAPB1 的体积为

1 2 ? CC1 = AC = BC = 1 .可得 CQ = . 2 2

1 1 2 ?1 ? 1 ? ? 1 VC ? BAPB1 = ? CQ ? S BAPB1 = ? ? ? ? + 1? ? 2 ? = . 3 3 2 ?2 ? 2 ? ? 4

20.(12 分) (2010·安庆二模)如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB = 6 , )
DM

y
C x 13 O B

CD = 4 , 梯 形

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A

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ABCD 的面积是 5 7 .若分别以 A 、 B 为椭圆 E 的左右焦点,且 C 、 D 在椭圆 E 上.

⑴求椭圆 E 的标准方程; ⑵设椭圆 E 的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P 、 Q 两点,那么是否存在直线 l ,使 B 点恰为 ?PQM 的垂心? 如果存在,求出直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 (1)解:设椭圆的标准方程为 2 + 2 = 1 ,k*s*5*u a b
∵ 在等腰梯形 ABCD 中, AB = 6 , CD = 4 ,梯形 ABCD 的面积是 5 7


1 (6 + 4) ? y C = 5 7 ,即 yC = 7 ,所以点 C 的坐标为 (2, 7 ) , 2

又 A(?3,0) 、 B (3,0) ∴ 2a = CA + CB =

(2 + 3) 2 + ( 7 ) 2 + (2 ? 3) 2 + ( 7 ) 2 = 6 2 c = 3 ,∴ b = a 2 ? c 2 = 3

2c = AB = 6 ∴ a = 3 2 ,
∴椭圆的标准方程为

x2 y2 + =1 18 9 (2)解:假设存在直线 l 与椭圆 E 相交于 P ( x1 , y1 ) 、 Q ( x 2 , y 2 ) 两点,且 B 点恰为 ?PQM 垂心。∵ M (0,3) , B (3,0) , ∴ k MB = ?1 ,∴ k PQ = 1 ,故设直线 l 的方程为 y = x + m

∴ x1 ( x2 ? 3) + ( x2 + m)( x1 + m ? 3) = 0, 2 x1 x2 + ( x1 + x2 )(m ? 3) + m 2 ? 3m = 0 ∴2× 2m 2 ? 18 4m ? (m ? 3) + m 2 ? 3m = 0 3 3 2 故 m + m ? 12 = 0
k*s*5*u

21. (14 分)(2010·广州毕业班测试)已知函数 )

f ( x ) = x3 ? x 2 + ax + b a,b ∈ ( R)的一个极值点为 x = 1 . 2 (α < β ) , 函数 f ( x ) 在区间 [α , β ] 上是单调的. 方程 ax + x + b = 0 的两个实根为 α , β

(1) 求 a 的值和 b 的取值范围;

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(2) 若

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.

x1 , x2 ∈ [α , β ]

, 证明:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ 1
,

21.解: (1) 解:∵ ∴ ∵ ∴

f ( x ) = x3 ? x 2 + ax + b
.

f ' ( x ) = 3x 2 ? 2 x + a

f ( x ) = x3 ? x 2 + ax + b

的一个极值点为 x = 1 , .

f ' (1) = 3 × 12 ? 2 × 1 + a = 0

∴ a = ?1 . ∴

f ' ( x ) = 3x 2 ? 2 x ? 1 = ( 3x + 1)( x ? 1)

,



x<?

1 1 ? < x <1 f ' ( x) > 0 f ' ( x) < 0 f ' ( x) > 0 3 时, ;当 3 时, ;当 x > 1 时, ;

1? ? ? 1 ? ? ,1 ? ?∞, ? ? f ( x) ? 3 ? 上单调递增, 在 ? 3 ? 上单调递减,在 [1, +∞ ) 上单调递增. ? ? 在 ∴函数
∵方程 ax + x + b = 0 的两个实根为 α , β , 即 x ? x ? b = 0 的两根为 α , β
2 2

(α < β ) ,



α=

1 ? 1 + 4b 1 + 1 + 4b ,β = 2 2 .

∴ α + β = 1, αβ = ?b , α ? β = ? 1 + 4b . ∵ 函数

f ( x)

在区间

[α , β ] 上是单调的,

k*s*5*u

1? ? 1 ? ? ? ?∞, ? ? ? ? ,1? [1, +∞ ) [α , β ] 只能是区间 ? 3? , ? 3 ? , ∴区间 之一的子区间.
由于 α + β = 1, α < β ,故

[α , β ] ? ? ? ?

1 ? ,1 ? 3 ?. ?

若 α < 0 ,则 α + β < 1 ,与 α + β = 1 矛盾. ∴

[α , β ] ? [0,1] .
2

[ 0,1] 上. ∴方程 x ? x ? b = 0 的两根 α , β 都在区间


g ( x ) = x2 ? x ? b g ( x )
,

1 x = ∈ [ 0,1] 2 的对称轴为 ,

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? g ( 0 ) = ?b ≥ 0, ? ? g (1) = ?b ≥ 0, ?? = 1 + 4b > 0. ?

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1 <b≤0 解得 4 . ?

? 1 ? ? ? , 0? ∴实数 b 的取值范围为 ? 4 ? .

选讲内容 22.(12 分)已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x = 2 + 2 cos θ ? (θ 为参数),且曲线 C 与直线 x ? 3 y =0 相交于两 ? y = 2 sin θ ?

点 A、B (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求弦 AB 的垂直平分线的方程(3)求弦 AB 的长

22.(12 分)解析: 解析 (1)由 ?

? x = 2 + 2 cos θ ? x ? 2 = 2 cos θ ? ? ?? ? ( x ? 2) 2 + y 2 = 2 ? y = 2 sin θ ? y = 2 sin θ ? ?
2 2

所以,曲线 C 的普通方程为(x-2) +y =2…………………………4 (2)因为 k AB =

3 ,所以 AB 的垂直平分线斜率为 k = ? 3 ………………5 分 3

又垂直平分线过圆心(2,0) ,所以其方程为 y= ? 3 ( x ? 2) …………………8 分 (3)圆心到直线 AB 的距离 d =

|2| 1+ 3

= 1 ,圆的半径为 r = 2

所以 | AB |= 2 r 2 ? d 2 = 2 2 ? 1 = 2 ……………………………………12 分 23.已知函数 f ( x ) = x x ? a + 2 x ? 3 (4) 当 a = 4,2 ≤ x ≤ 5 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值; (5) 若 x ≥ a ,试求 f ( x ) + 3 > 0 的解集; (6) 当 x ∈ [1,2] 时, f ( x ) ≤ 2 x ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 答(1) x = 2或4, f ( x ) min = 5,当x = 5时, f ( x ) max = 5 (2) a > 0, 解集为[a ,+∞ ), a ≤ 0, 解集为( 0,+∞ )

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(3)

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3 ≤a≤2 2

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