高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质课后习题新人教A版必修1

2.2.2 1.y=2 与 y=log2x 的图象关于( A.x 轴对称 C.原点对称 x x 对数函数及其性质 一、A 组 ) B.直线 y=x 对称 D.y 轴对称 解析:函数 y=2 与 y=log2x 互为反函数,故函数图象关于直线 y=x 对称. 答案:B 2.函数 y=ln(1-x)的图象大致为( ) 解析:函数的定义域为(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选 C. 答案:C 3.函数 f(x)=lo (5-4x-x )的值域为( A.[2,+∞) C.[-2,+∞) B.(-∞,-2] D.(-∞,2] 2 ) 解析:令 u=5-4x-x =-(x+2) +9,由题意知 u∈(0,9],而 y=lo u 在(0,9]上为减函数,∴y≥lo 9=-2. 答案:C 2 2 4.(2016·广东汕尾高二期末)函数 y= 的定义域为 . 解析:要使函数 y= (1,+∞). 有意义,须 解得 x>0,且 x≠1,所以函数 y= 的 定义域为(0,1)∪ 答案:(0,1)∪(1,+∞) 5.若对数函数 f(x)的图象经过点 P(8,3),则 f 解析:设 f(x)=logax(a>0,a≠1),则 loga8=3, = . ∴a3=8,∴a=2. 1 ∴f(x)=log2x,故 f 答案:-1 =log2 =-1. 6.若函数 f(x)=f ·lg x+1,则 f(10)= . 解析:令 x= 10,得 f(10)=f +1; ① 令 x= ,得 f =f(10)·(-1)+1. ② 由①②,得 f(10)=1. 答案:1 7.若函数 f(x)= loga(x+1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为-1,则 a= . 解析:当 a>1 时,f(x)单调递增;当 0<a<1 时,f(x)单调递减,所以最大值与最小值的和均为 f(0)+f(1)=loga1+loga2=loga2.所以 loga2=-1,即 a= . 答案: 8.已知函数 f(x)=lg(x-1). (1)求函数 f(x)的定义域和值域; (2)证明 f(x)在定义域上是增函数. (1)解:要使函数有意义,则 x-1>0,解得 x>1, 即函数 f(x)的定义域是(1,+∞). 由于函数 f(x)的定义域是(1,+∞),则有 u=x-1 的值域是(0,+∞),则函数 f(x)的值域是 R. (2)证 明:设 x1,x2 为(1,+∞)上的任意两个实数,且 x1<x2,则有 f(x1)-f(x2)=lg(x1-1)-lg(x2- 1)=lg . ∵1<x1<x2,∴0<x1-1<x2-1.∴0< <1. 又当 0<x< 1 时,y=lg x<0,∴lg <0. 2 ∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在定义域上是增函数. 9. 导学号 29900099 作出函数 y=|log2x|+2 的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域. 解:先作出函数 y=log2x 的图象,如图甲.再将 y=log2 x 在 x 轴下方的图象关于 x 轴对称翻折到 x 轴 上方(原来在 x 轴上方的图象不变),得函数 y=|log2x|的图象,如图乙;然后将 y=|log2x|的图象向上 平移 2 个单位长度,得函数 y=|log2x|+2 的图象,如图丙.由图丙得函数 y=|log2x|+2 的单调递增区 间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞). 二、B 组 1.函数 y=loga(x+2)+1(a>0,且 a≠1)的图象过定点( A.(1,2) C.(-2,1) 答案:D B.(2,1) D.(-1,1) ) 解 析:令 x+2=1,得 x=-1,此时 y=1. 2.若函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=g(x),且 g(a)= ,则 a= ( ) A.2 B.-2 x C. D.- 解析:由题意,得 g(x)=2 . ∵g(a)= 答案:B ,∴2 = a ,∴a=-2. 3.(2016·山东高唐高一期末)已知 ab=1,函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)与函数 g(x)=-logbx(b>0,且 x b≠1)的图象可能是( ) 解析:∵ab=1,∴g(x)=-logbx=logax, ∴函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)与 g(x)=-logbx(b>0,且 b≠1)互为反函数. ∴函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)与 g(x)=-logbx(b>0,且 b≠1)的图象关于直线 y=x 对称,故选 B. 3 答案:B 4.(2016·湖南长沙一中高一期中)函 数 f(x)= +log3(x+2)的定义域是 . 解析:由题意得 答案:(-2,-1)∪(-1,3] 解得-2<x≤3,且 x≠-1. 5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取 值范围是 . 解析:由已知条件可得函数 f(x)的解析式为 f(x)= 其图象如图所示. 由函数图象可得不等式 f(x)>0 时,x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 6.已知函数 f(x)=log2(1+x ). 求证:(1)函数 f(x)是偶函数; (2)函数 f(x)在区间(0,+∞)上是增函数. 证明:(1)函数 f(x)的定义域是 R, 2 f(-x)=log2[1+(-x)2]=log2(1+x2)=f(x), 所以函数 f(x)是偶函数. (2)设 x1,x2 为(0,+∞)上的任意两个实数,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=log2(1+ 由于 0<x1<x2,则 0< )-log2(1+ ,0<1+ )=log2 . ,

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